訊號處理/卡爾曼濾波
卡爾曼濾波器跟蹤系統的估計狀態和估計的方差或不確定性。估計使用狀態轉移模型和測量值進行更新。{\displaystyle {\hat {x}}_{k\mid k-1}} {\hat {x}}_{k\mid k-1} 表示在考慮第 k 次測量 yk 之前，時間步長 k 時系統的狀態估計；{\displaystyle P_{k\mid k-1}} {\displaystyle P_{k\mid k-1}} 是相應的誤差。卡爾曼濾波，也稱為線性二次估計 (LQE)，是一種演算法，它使用一系列隨時間觀察到的測量值，這些測量值包含統計噪聲和其他誤差，併產生對未知變數的估計，這些估計通常比僅基於單個測量值的估計更準確，透過為每個時間框架估計變數的聯合機率分佈。該濾波器以魯道夫·E·卡爾曼的名字命名，他是該理論的主要開發者之一。
卡爾曼濾波器在技術中有著廣泛的應用。一個常見的應用是車輛的制導、導航和控制，特別是飛機和航天器。[1] 此外，卡爾曼濾波器是時間序列分析中廣泛應用的概念，用於訊號處理和計量經濟學等領域。卡爾曼濾波器也是機器人運動規劃和控制領域的主要主題之一，有時也包含在軌跡最佳化中。卡爾曼濾波器還可以用來模擬中樞神經系統對運動的控制。由於發出運動指令和接收感覺反饋之間存在時間延遲，卡爾曼濾波器的使用支援了一種現實的模型，用於估計運動系統的當前狀態併發出更新的指令。
該演算法透過兩步過程執行。在預測步驟中，卡爾曼濾波器會生成當前狀態變數的估計值以及它們的不確定性。一旦觀察到下一個測量值的結果（必然會包含一定程度的誤差，包括隨機噪聲），這些估計值就會使用加權平均值進行更新，權重更多地分配給確定性更高的估計值。該演算法是遞迴的。它可以在即時執行，只需要當前輸入測量值以及先前計算的狀態及其不確定性矩陣；不需要任何其他過去資訊。
使用卡爾曼濾波器並不假設誤差是高斯分佈的。[3] 但是，如果所有誤差都是高斯分佈的，則該濾波器會產生精確的條件機率估計。
該方法的擴充套件和推廣也得到了發展，例如擴充套件卡爾曼濾波器和無跡卡爾曼濾波器，它們適用於非線性系統。基礎模型類似於隱馬爾可夫模型，只是潛在變數的狀態空間是連續的，所有潛在變數和觀測變數都具有高斯分佈。