訊號處理/維納濾波器

訊號預測

訊號預測的概念非常重要，不僅在訊號處理領域，而且在大多數工程領域。正式地說，預測問題是

給定一系列輸入樣本u(n), u(n - 1), u(n - 2) ...，以儘可能小的誤差預測下一個未來輸入u(n + 1)的值。

簡而言之，預測器的思想是利用我們已經知道的訊號的先前值的知識來嘗試確定訊號的下一個值。由於許多訊號往往是自相關的，因此先前值與下一個值之間通常存在很強的關係。

維納濾波器

右側顯示了一個簡短的框圖，表示預測問題。輸入訊號w[n]被饋送到具有抽頭權重a_i的預測器。預測器的輸出為x[n]。

現在，我們想要將x[n]與我們的期望訊號進行比較，這裡表示為s[n]。這兩個訊號之間的差值是我們的誤差訊號e[n]。維納濾波器背後的思想是我們可以選擇最佳抽頭權重a_i，以使誤差訊號最小化。

最小化型別

值得問的是，我們到底是如何最小化誤差的？換句話說，我們試圖最小化與誤差相關的哪個量？這個問題最常見、也是數學上最容易處理的答案是我們將最小化訊號的均方誤差。也就是說，我們想要最小化平均期望誤差，而不是任何單個誤差值。換句話說，我們可以將成本函式J定義為我們誤差平方的期望

$J=E[e[n]e^{*}[n]]$

其中e^*[n]是我們系統的複共軛。我們將討論複數作為最一般的情況，學生將能夠輕鬆地將其簡化為實數的情況。同樣重要的是要注意，在許多情況下，例如通訊通道或其他型別的訊號處理，訊號和濾波器係數通常本質上是複數，需要用複數值表示。

為了最小化我們的成本函式，我們需要對成本函式進行梯度運算，找到梯度完全等於零的點

$\nabla J=0$

我們在這裡使用向量梯度而不是一維導數，因為最終我們的訊號將變得更加複雜的向量。

整體概覽

到目前為止，非專業讀者可能想知道維納濾波器的確切用途及其可能的應用方式。雖然最初的公式似乎沒有太多用處，但將自適應演算法（如最速下降演算法）應用於維納濾波器，才揭示了該系統的真正強大之處。

我們不是選擇一個代表最佳解決方案的單個抽頭權重向量，而是可以連續應用維納-霍夫方程來連續更新濾波器係數。考慮透過通訊通道傳輸的資料訊號的情況。到達接收器的訊號是另外兩個項的總和

$w(t)=u(t)+n(t)$

其中u(t)是傳輸的資料訊號，n(t)是隨機噪聲訊號。像維納濾波器這樣的濾波器的目的是我們知道傳輸資料的特性，但接收訊號的特性隨著噪聲訊號隨時間的變化而變化。使用自適應濾波器（如維納濾波器），我們可以隨著噪聲隨時間的變化，繼續最小化由噪聲引起的誤差。