訊號與系統/非週期訊號

非週期訊號

與週期訊號相反的是非週期訊號。非週期函式從不重複，儘管從技術上講，非週期函式可以被視為週期為無窮大的週期函式。

背景

如果我們考慮非週期訊號，我們會發現我們可以將傅立葉級數和推廣成一個名為傅立葉變換的積分。傅立葉變換的使用方式與傅立葉級數類似，因為它將時域函式轉換為頻域表示。但是，它們之間也有一些區別。

1. 傅立葉變換可以處理非週期訊號。
2. 傅立葉變換是無限小的正弦波的無限和。
3. 傅立葉變換具有逆變換，可以將頻域轉換回時域。

傅立葉變換

可以使用以下 MATLAB 命令執行此操作。

fft

傅立葉變換是以下積分

${\mathcal {F}}(f(t))=F(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

傅立葉變換的例子

1. 單位衝激函式，$\delta (t)$: ${\mathcal {F}}(\delta (t))=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=1$
2. 矩形脈衝函式
3. $\exp(-at)u(t)~~~a>0$

傅立葉逆變換

逆變換由類似的積分給出

${\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

使用這些公式，可以根據需要將時域訊號轉換為頻域或從頻域轉換回時域。

部分分式展開

在嘗試尋找傅立葉逆變換時，最重要的工具之一是部分分式理論。部分分式理論允許將一個複雜的帶分數分解成多個簡單的小分數的和。這種技術在處理其他變換（如拉普拉斯變換和 Z 變換）時也非常重要。

對偶性

傅立葉變換具有許多特殊性質，但也許最重要的性質是對偶性。

我們將使用“雙箭頭”訊號來表示對偶性。如果我們有一個偶訊號f，它的傅立葉變換為F，我們可以這樣表示對偶性

$f(t)\Leftrightarrow F(j\omega )$

這意味著以下規則成立

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(j\omega )$ 並且 ${\mathcal {F}}\{F(t)\}=f(j\omega )$

請注意，在第二部分中，我們對變換後的方程式進行變換，只是我們從時域開始。然後我們轉換為原始的時域表示，只是使用頻率變數。對偶定理有許多結果。

卷積定理

卷積定理是對偶性質的重要結果。卷積定理說明以下內容

卷積定理

時域的卷積是頻域的乘積。時域的乘積是頻域的卷積。

或者，另一種寫法（使用我們的新符號）如下

$A\times B\Leftrightarrow A*B$

訊號寬度

另一個需要牢記的原則是在時域中訊號的寬度與頻域中的頻寬相關。這可以用一句話概括

時域中的窄訊號佔用寬頻寬。時域中的寬訊號佔用窄頻寬.

這個結論很重要，因為在現代通訊系統中，目標是擁有更窄（因此更頻繁）的脈衝以提高資料速率，但結果是需要大量的頻寬來傳輸所有這些快速、小的脈衝。

功率和能量

能量譜密度

與傅立葉級數不同，傅立葉變換沒有為我們提供可以以離散方式加減的離散諧波數。如果我們的通道頻寬受限，在傅立葉級數表示中，我們可以簡單地刪除一些諧波。然而，在連續頻譜中，我們沒有單個諧波可以操縱，而是必須檢查整個連續訊號。

給定訊號的能量譜密度 (ESD) 是其傅立葉變換的平方。根據定義，函式f(t)的ESD由F²(jω)給出。給定範圍（有限頻寬）上的功率是在ESD圖下、截止點之間的積分。ESD通常用變數E_f(jω)表示。

$E_{f}(j\omega )=F^{2}(j\omega )$

功率譜密度

功率譜密度 (PSD) 與ESD類似。它顯示了特定訊號頻譜中功率的分佈。

$P_{f}(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )d\omega$

功率譜密度和自相關形成傅立葉變換對偶對。這意味著

$P_{f}(j\omega )={\mathcal {F}}[R_{ff}(t)]$

如果我們知道訊號的自相關，我們可以透過進行傅立葉變換來找到PSD。類似地，如果我們知道PSD，我們可以進行逆傅立葉變換來找到自相關訊號。