訊號與系統/傅立葉級數

傅立葉級數

傅立葉級數是一個專門的工具，它允許任何週期訊號（滿足某些條件）分解為無限個永恆正弦波的總和。這對許多人來說可能並不明顯，但它在數學和圖形上都是可以證明的。實際上，這允許傅立葉級數的使用者將週期訊號理解為各種頻率分量的總和。（或者）將訊號在特定時間段內的表示形式表示為正交函式線性組合稱為傅立葉級數。

矩形級數

矩形級數將訊號表示為正弦和餘弦項的總和。週期訊號可以分解成的正弦波型別完全取決於週期訊號的特性。

計算

如果我們有一個週期為 2L 的函式 f(x)，我們可以將其分解為正弦和餘弦函式的總和，如下所示

$$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right]$$

係數 a 和 b 可以使用以下積分求出

$$a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx$$

$$b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx$$

"n" 是一個整數變數。它可以取正整數（1、2、3 等）。n 的每個值都對應於 A 和 B 的值。幅度為 A 和 B 的正弦波稱為諧波。使用傅立葉表示，諧波是訊號的原子（不可分割）成分，據說它是正交的。

當我們將 n 設定為 1 時，從上述方程得到的正弦頻率值稱為基頻。給定訊號的基頻是訊號中最強大的正弦分量，也是最需要忠實傳輸的分量。由於 n 取整數，因此訊號的所有其他頻率分量都是基頻的整數倍。

如果我們考慮時間上的訊號，週期T₀類似於上述定義中的 2L。那麼基頻由下式給出

$f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

那麼基頻角頻率為

$\omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$

因此，我們可以用更簡潔的 $(n\omega _{0}x)$ 替換每個 $\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)$ 項。

訊號特性

不同的訊號特性會轉化為傅立葉級數的特定特性。如果我們能夠提前識別這些特性，可以避免不必要的計算。

直流偏移

如果週期訊號存在直流偏移，則訊號的傅立葉級數將包含一個零頻分量，稱為直流分量。如果訊號不存在直流偏移，則直流分量的幅值為 0。由於傅立葉級數過程的線性性，如果去除直流偏移，我們可以進一步分析訊號（例如對稱性），並在最後添加回直流偏移。

奇偶訊號

如果訊號為偶函式（關於參考垂直軸對稱），則它由余弦波組成。如果訊號為奇函式（關於參考垂直軸反對稱），則它由正弦波組成。如果訊號既不是偶函式也不是奇函式，則它由正弦波和餘弦波組成。

不連續訊號

如果訊號不連續（即存在“跳躍”），則每個諧波n的幅值將按 1/n 的比例下降。

不連續導數

如果訊號是連續的，但訊號的導數不連續，則每個諧波n的幅值將按 1/n² 的比例下降。

半波對稱

如果訊號具有半波對稱性，則不存在直流偏移，並且訊號由僅位於奇次諧波（1、3、5 等）上的正弦波組成。這很重要，因為具有半波對稱性的訊號，要傳輸相同數量的諧波，需要比沒有半波對稱性的訊號兩倍的頻寬。

$a_{0}=0\,$ $a_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

$b_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

偶函式的四分之一波對稱

如果一個 2L 週期訊號具有四分之一波對稱性，那麼它也必須是半波對稱的，所以沒有偶次諧波。如果訊號是偶函式且具有四分之一波對稱性，我們只需要對第一個四分之一週期進行積分。

$a_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {4}{L}}\int _{0}^{L/2}f(x)\cos(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

我們也知道，因為訊號是半波對稱的，所以沒有直流偏移。

$a_{0}=0\,$

因為訊號是偶函式，所以沒有正弦項。

$b_{n}=0\,$

奇訊號的四分之一波對稱性

如果訊號是奇函式且具有四分之一波對稱性，那麼我們可以說

因為訊號是奇函式，所以沒有餘弦項。

$a_{0}=0\,$

$a_{n}=0\,$

由於半波對稱性，沒有偶次正弦項，並且由於四分之一波對稱性，我們只需要對第一個四分之一週期進行積分。

$b_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {4}{L}}\int _{0}^{L/2}f(x)\sin(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

總結

按照慣例，餘弦分量的係數用“a”標記，正弦分量的係數用“b”標記。然後可以提到一些重要的結論。

• 如果函式有直流偏移，a₀ 將不為零。沒有 B₀ 項。
• 如果訊號是偶函式，所有 b 項為 0（沒有正弦分量）。
• 如果訊號是奇函式，所有 a 項為 0（沒有餘弦分量）。
• 如果函式具有半波對稱性，那麼所有偶次係數（正弦項和餘弦項的係數）都為零，我們只需要對訊號進行一半積分。
• 如果函式具有四分之一波對稱性，我們只需要對訊號的四分之一進行積分。
• 正弦波或餘弦波的傅立葉級數只包含一個諧波，因為正弦波或餘弦波不能分解成其他正弦波或餘弦波。
• 我們可以透過觀察訊號或訊號導數的不連續性來檢查級數。如果存在不連續性，諧波將以 1/n 的速度衰減，如果導數不連續，諧波將以 1/n² 的速度衰減。

極座標級數

傅立葉級數也可以用極座標形式表示，這種形式更緊湊，更易於操作。

如果我們有矩形傅立葉級數的係數 a 和 b，我們可以定義一個係數 x 和一個相位角 φ，它們可以透過以下方式計算：

$x_{0}=a_{0}\,$

$x_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

$\phi _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)$

然後，我們可以使用餘弦基函式來根據我們新的傅立葉表示來定義 f(x)：

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cos(n\omega x-\phi _{n})$

使用餘弦基而不是正弦基是一個任意區別，但很重要。如果我們想使用正弦基而不是餘弦基，則需要修改上面 φ 的方程。

等價性證明

我們可以明確地證明極座標餘弦基函式等效於具有正弦項和餘弦項的“笛卡爾”形式。

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cos(n\omega x-\phi _{n})$

根據餘弦的倍角公式

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\left[\cos(n\omega x)\cos(-\phi _{n})-\sin(n\omega x)\sin(-\phi _{n})\right]$

根據餘弦和正弦的奇偶性質

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\left[\cos(n\omega x)\cos(\phi _{n})+\sin(n\omega x)\sin(\phi _{n})\right]$

將係數分組

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[x_{n}\cos(\phi _{n})\cos(n\omega x)+x_{n}\sin(\phi _{n})\sin(n\omega x)]$

這等效於給定以下條件的矩形級數

$a_{n}=x_{n}\cos(\phi _{n})\,$

$b_{n}=x_{n}\sin(\phi _{n})\,$

除以，我們得到

${\frac {b_{n}}{a_{n}}}={\frac {x_{n}\sin(\phi _{n})}{x_{n}\cos(\phi _{n})}}=\tan(\phi _{n})$

$\phi _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)$

平方並相加，我們得到

$a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=x_{n}^{2}\left[\cos ^{2}(\phi _{n})+sin^{2}(\phi _{n})\right]$

$a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=x_{n}^{2}\,$

$x_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

因此，鑑於上述對 x_n 和 φ_n 的定義，兩者是等價的。對於正弦基函式，只需使用正弦倍角公式。其餘過程非常相似。

指數級數

使用尤拉公式，以及一些技巧，我們可以將標準的矩形傅立葉級數轉換為指數形式。即使複數更難理解，我們出於多種原因使用這種形式

1. 只需要執行一次積分
2. 單個指數比正弦波的總和更容易操作
3. 它為進一步討論傅立葉變換提供了邏輯過渡。

我們可以使用尤拉公式從矩形級數構建指數級數

$\sin(x)={\frac {-i}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right);\quad \quad \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$

矩形級數由下式給出

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(n\omega x)+b_{n}\sin(n\omega x)\right]$

將尤拉公式代入

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {a_{n}}{2}}e^{in\omega x}+{\frac {a_{n}}{2}}e^{-in\omega x}-{\frac {ib_{n}}{2}}e^{in\omega x}+{\frac {ib_{n}}{2}}e^{-in\omega x}\right]$

將表示式分成“正n”和“負n”兩部分，得到

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {a_{n}}{2}}e^{in\omega x}-{\frac {ib_{n}}{2}}e^{in\omega x}\right]+\sum _{n=-\infty }^{-1}\left[{\frac {a_{-n}}{2}}e^{in\omega x}+{\frac {ib_{-n}}{2}}e^{in\omega x}\right]$

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})e^{in\omega x}+\sum _{n=-\infty }^{-1}{\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})e^{in\omega x}$

現在將這個表示式合併成一個

[指數傅立葉級數]

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega x}$

我們可以將c_n與矩形級數中的a_n和b_n聯絡起來

$c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n}),&n<0\\a_{0},&n=0\\{\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),&n>0\end{cases}}$

這是f(x)的指數傅立葉級數。注意，c_n一般來說是複數。還要注意

• $\Re (c_{n})=\Re (c_{-n})$
• $\Im (c_{n})=-\Im (c_{-n})$

我們可以直接計算2L週期函式的c_n

$c_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(x)e^{-in\pi x/L}dx$

這可以與使用尤拉公式的矩形形式中的a_n和b_n定義相關聯：$e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$.

負頻率

傅立葉級數的指數形式做了一些與級數的矩形和極座標形式相比非常有趣的事情：它允許存在負頻率分量。為此，指數級數通常被稱為“雙邊傅立葉級數”，因為頻譜同時具有正負兩側。當然，這引出了一個問題，“什麼是負頻率？”

負頻率似乎違反直覺，許多人會很快將其視為無稽之談。然而，進一步研究電氣工程（超出了本書的範圍）將提供許多負頻率在對某些系統建模和理解中起著非常重要作用的示例。雖然一開始可能不太容易理解，但在研究傅立葉域時需要考慮負頻率。

負頻率遵循對稱性的重要規則：對於真實訊號，負頻率分量始終是正頻率分量的映象。一旦掌握了這個規則，一旦繪製了正側頻譜，繪製負側頻譜就變得微不足道。

然而，在檢視雙邊頻譜時，需要考慮負頻率的影響。如果負頻率是正頻率的映象，並且如果負頻率類似於正頻率，那麼將負分量新增到訊號中的效果與將正分量加倍相同。這是計算中指數傅立葉級數係數乘以二分之一的主要原因之一：因為一半的係數位於負頻率。

注意：負頻率的概念實際上是不切實際的。負頻率僅在我們使用傅立葉級數的指數形式時出現在頻譜中。為了表示餘弦函式，尤拉的關係告訴我們，需要正負指數。為什麼？因為要表示一個實函式，如餘弦，指數表示法中存在的虛部必須消失。因此，尤拉公式中的負指數使它看起來存在負頻率，而實際上並不存在。

示例：吊扇

理解負頻率的另一種方法是使用它們來描述物理世界的數學完整性。假設我們要將頭頂正上方旋轉的吊扇的旋轉情況描述給坐在附近的人。我們會說“它以每分鐘 60 轉的速度逆時針旋轉”。但是，如果我們要將它的旋轉描述給從上面觀察風扇的人，我們會說“它以每分鐘 60 轉的速度順時針旋轉”。如果我們習慣上用負號表示順時針旋轉，那麼我們會用正號表示逆時針旋轉。我們使用正負號來描述相同的過程，具體取決於我們選擇的參考系。

頻寬

頻寬是訊號傳輸所需的頻率範圍的名稱，也是特定傳輸介質的頻率容量的名稱。例如，如果給定訊號的頻寬為 10kHz，則它需要頻寬至少為 10kHz 的傳輸介質才能在不衰減的情況下進行傳輸。

頻寬可以用赫茲或弧度每秒來衡量。頻寬僅測量正頻率分量。所有真實訊號都具有負頻率分量，但由於它們只是正頻率分量的映象，因此不包括在頻寬計算中。

頻寬問題

需要注意的是，大多數週期訊號是由無限個正弦波的總和組成的，因此需要無限的頻寬才能在沒有失真地傳輸。不幸的是，任何可用的通訊介質（線路、光纖、無線）都沒有無限的頻寬可用。這意味著某些諧波將透過介質，而訊號的其他諧波將被衰減。

工程學都是權衡。這裡的問題是“我需要傳輸多少個諧波，我可以安全地去除多少個？”使用更少的諧波會導致頻寬要求降低，但也導致訊號失真增加。這些主題將在未來更詳細地考慮。

脈衝寬度

利用週期和頻率之間的關係，我們可以看到一個重要的結論

$f_{0}={\frac {1}{T}}$

隨著訊號週期的減小，基頻增加。這意味著每個額外的諧波將被進一步隔開，現在傳輸相同數量的諧波將需要更多的頻寬！一般來說，在考慮週期訊號時，必須遵循一條規則：時域中較短的週期需要頻域中更多的頻寬。在頻域中使用較少頻寬的訊號將需要時域中較長的週期。

示例

示例：x³

讓我們考慮基於三次多項式的重複模式

$f\left(x\right)=x^{3},\quad -\pi \leq x<\pi \,$

並且f(x)是 2π 週期的

透過觀察，我們可以確定傅立葉級數的一些特徵

• 該函式是奇函式，因此餘弦係數 (a_n) 將全部為零。
• 該函式沒有直流偏移，因此將沒有常數項 (a₀)。
• 存在間斷，因此我們預計會有 1/n 的下降。

因此，我們只需要計算b_n項。這些可以透過以下公式找到

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f\left(x\right)\sin \left({nx}\right)dx}$

將目標函式代入，得

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x^{3}\sin \left({nx}\right)dx}$

利用分部積分法求解，

$b_{n}={1 \over \pi }\left({\left[{-x^{3}{{\cos \left({nx}\right)} \over n}}\right]_{-\pi }^{\pi }+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{3x^{2}{{\cos \left({nx}\right)} \over n}dx}}\right)$

提取公因子

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({\left[{-x^{3}\cos \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }+3\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x^{2}\cos \left({nx}\right)dx}}\right)$

將積分上限和下限代入方括號中，並再次使用分部積分法求解

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-\left({\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+\pi ^{3}\cos \left({-n\pi }\right)}\right)+3\left({\left[{x^{2}{{\sin \left({nx}\right)} \over n}}\right]_{-\pi }^{\pi }-\int \limits _{-\pi }^{\pi }{2x{{\sin \left({nx}\right)} \over n}dx}}\right)}\right)$

因為 cos(x) 是偶函式，所以 cos(-nπ) = cos(nπ)。另外，將積分中的 1/n 提取出來

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-\left({\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)}\right)+{3 \over n}\left({\left[{x^{2}\sin \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }-2\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x\sin \left({nx}\right)dx}}\right)}\right)$

簡化左邊部分，並將積分上限和下限代入方括號中，

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+{3 \over n}\left({\left({\pi ^{2}\sin \left({n\pi }\right)-\pi \sin \left({-n\pi }\right)}\right)-2\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x\sin \left({nx}\right)dx}}\right)}\right)$

回想一下，對於整數 n，sin(nπ) 始終等於零。

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+{3 \over n}\left({0-2\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x\sin \left({nx}\right)dx}}\right)}\right)$

提出因子並使用分部積分法

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over n}\left[{-\left[{x{{\cos \left({nx}\right)} \over n}}\right]_{-\pi }^{\pi }+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{{\cos \left({nx}\right)} \over n}dx}}\right]}\right)$

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over {n^{2}}}\left[-{\left[{x\cos \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos \left({nx}\right)dx}}\right]}\right)$

求解現在簡單的積分，並將極限代入方括號中

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over {n^{2}}}\left[{-\left({\pi \cos \left({n\pi }\right)+\pi \cos \left({-n\pi }\right)}\right)+\left[{\sin \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }}\right]}\right)$

由於正弦波一個週期內的面積為零，因此我們可以消除積分。我們再次使用 cos(x) 是偶函式這一事實來簡化

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over {n^{2}}}\left[{-2\pi \cos \left({n\pi }\right)+0}\right]}\right)$

簡化

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+{{12\pi } \over {n^{2}}}\cos \left({n\pi }\right)}\right)$

$b_{n}={{-2\pi ^{2}\cos \left({n\pi }\right)} \over n}+{{12\cos \left({n\pi }\right)} \over {n^{3}}}$

$b_{n}=\cos \left({n\pi }\right)\left({{{-2\pi ^{2}n^{2}} \over {n^{3}}}+{{12} \over {n^{3}}}}\right)$

$b_{n}={{-2\cos \left({n\pi }\right)} \over {n^{3}}}\left({\pi ^{2}n^{2}-6}\right)$

現在，利用cos(nπ)=(-1)ⁿ

$b_{n}={{-2\left({-1}\right)^{n}} \over {n^{3}}}\left({\pi ^{2}n^{2}-6}\right)$

這是我們最終的b_n。我們看到，我們有一個近似1/n的關係（常數“6”隨著n的增長變得無關緊要），正如我們預期的那樣。現在，我們可以根據以下公式找到傅立葉逼近

$f\left(x\right)={1 \over 2}a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left[{a_{n}\cos \left({nx}\right)+b_{n}\sin \left({nx}\right)}\right]}$

由於所有a項均為零，

$f\left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \left({nx}\right)}$

所以，f(x) = x³的傅立葉級數逼近是

$f\left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left[{{{-2\left({-1}\right)^{n}} \over {n^{3}}}\left({\pi ^{2}n^{2}-6}\right)\sin \left({nx}\right)}\right]}$

下圖顯示了前 7 項（紅色）和前 15 項（藍色）的逼近。原始函式以黑色顯示。

示例：方波

我們有以下方波訊號，作為電壓的函式，透過通訊介質傳播

我們將設定以下值：A = 4 伏特，T = 1 秒。此外，還給定單個脈衝的寬度為T/2。

找到該訊號的矩形傅立葉級數。

首先，我們可以清楚地看到該訊號確實具有直流值：該訊號完全存在於水平軸之上。直流值意味著我們將不得不計算a₀項。接下來，我們可以看到，如果我們移除直流分量（將訊號向下移動，直到它以水平軸為中心），我們的訊號就是一個奇訊號。這意味著我們將有b_n項，但沒有a_n項。我們還可以看到，該函式具有不連續性和半波對稱性。讓我們回顧一下

1. 直流值（必須計算a₀）
2. 奇函式（a_n = 0 對於 n > 0）
3. 不連續性（項隨著 1/n 衰減）
4. 半波對稱性（沒有偶次諧波）

現在，我們可以按如下方式計算這些值

$a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)dt$

$a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T/2}4dt$

$a_{0}={\frac {1}{T}}\left[4t\right]_{0}^{T/2}={\frac {4\times T}{T\times 2}}=2$

直觀地看，由於訊號的佔空比為 50%，因此平均值為最大值的一半。

由於函式的奇性，沒有餘弦項

$a_{n}=0\quad {\mbox{ for all }}n>0$.

由於半波對稱性，只有奇數的正弦項，由以下公式給出：

$b_{n}={\frac {1}{T/2}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2n\pi t}{T}}\right)dt$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T/2}4\sin \left(2n\pi t\right)dt$

$b_{n}=-2\left[{\frac {4}{2n\pi }}\cos \left(2n\pi t\right)\right]_{0}^{1/2}$

$b_{n}=-2\left[{\frac {4}{2n\pi }}\cos \left({\frac {2n\pi }{2}}\right)-{\frac {4}{2n\pi }}\cos \left(2n\pi \times 0\right)\right]$

$b_{n}=-{\frac {4}{n\pi }}\left[\cos \left(n\pi \right)-1\right]$

考慮到 cos(nπ)=(-1)ⁿ

$b_{n}=-{\frac {4\left((-1)^{n}-1\right)}{n\pi }}$

對於任何偶數 n，這個值等於零，這與我們根據半波對稱性做出的預測相符。由於存在不連續性，它也按 1/n 的速率衰減，正如我們預期的那樣。

最後，我們可以將傅立葉級數組合在一起，如下所示：

$f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \left({\frac {\pi nt}{\frac {L}{2}}}\right)}$

$f(t)=2-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}-1}{n}}\sin(2\pi nt)}$

這與以下公式相同：

$f(t)=2+{\frac {8}{\pi }}\sum _{n=1,3,5,\ldots }^{\infty }{{\frac {1}{n}}\sin(2\pi nt)}$

我們可以看到傅立葉級數與原始函式非常吻合。

進一步閱讀

維基百科有一篇關於傅立葉級數的文章，但文章的數學推導非常嚴格。