訊號與系統/傅立葉級數分析

繪製結果

從傅立葉級數的極座標形式，我們可以看到，傅立葉級數本質上提供了兩個量：幅度和相移。如果我們將整個級數簡化為極座標形式，我們可以看到，它不再是無限多個不同正弦波的總和，而只是無限多個餘弦波的總和，它們具有不同的幅度和相位引數。這使得整個級數更容易處理，也允許我們開始使用不同的圖形分析方法。

幅度圖

在這一點上要記住，傅立葉級數將連續的週期性時間訊號轉換為離散的頻率分量集。從本質上講，傅立葉分量的任何圖都是莖圖，並且不會是連續的。使用者不應該犯將分量插值到平滑圖的錯誤。

傅立葉級數表示的幅度圖繪製了係數的幅度（無論是$X_{n}$ 在極座標形式，還是$C_{n}$ 在指數形式）相對於頻率（以弧度/秒為單位）。X 軸將具有自變數，在本例中為頻率。Y 軸將儲存每個分量的幅度。幅度可以是電流或電壓的度量，具體取決於原始訊號的表示方式。但是請記住，大多數訊號及其生成的幅度圖都是用電壓（而不是電流）來討論的。

相點陣圖

與幅度圖類似，傅立葉表示的相點陣圖將繪製每個分量的相位角相對於頻率。頻率（X 軸）和相位角（Y 軸）都將以弧度/秒為單位繪製。偶爾，赫茲可能會用於其中一個（甚至兩個），但這並不常見。與幅度圖一樣，傅立葉級數的相點陣圖將是離散的，應該繪製為單個點，而不是平滑的線條。

功率

通常，討論給定週期波中的功率非常重要。討論每個不同諧波傳輸的功率也同樣重要。例如，如果某個通道具有有限的頻寬並且正在濾除訊號的某些諧波，那麼瞭解通道從訊號中消除了多少功率非常重要。

歸一化

現在讓我們看一下功率方程

$P=iv$

歐姆定律
$v=ir$

如果我們使用歐姆定律分別求解 v 和 i，然後將這些值代入我們的方程，我們將得到以下結果

$P=i^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}$

如果我們歸一化方程並將 R 設定為 1，那麼兩個方程都變得容易得多。在任何使用“歸一化功率”一詞的地方，都表示我們使用的是歸一化電阻（R = 1）。

要“取消歸一化”功率並找到非歸一化電阻負載上的功率損耗，我們只需除以電阻（當以電壓表示時）並乘以電阻（當以電流表示時）。

功率圖

由於以上結果，我們可以假設所有負載都是歸一化的，我們可以透過簡單地對訊號本身進行平方來找到訊號中的功率。就傅立葉級數諧波而言，我們分別對每個諧波的幅度進行平方以生成功率譜。功率譜向我們顯示每個諧波有多少功率。

帕塞瓦爾定理

如果傅立葉表示和時域表示只是考慮同一組資訊的兩種不同方式，那麼兩種表示在許多方面相等是有道理的。訊號在時域表示中的功率和能量應該等於同一訊號在頻域表示中的功率和能量。**帕塞瓦爾定理**將兩者聯絡起來。

帕塞瓦爾定理指出，在時域計算的功率與在頻域計算的功率相同。有兩種看待帕塞瓦爾定理的方法，一種是使用傅立葉級數的單邊（極座標）形式，另一種是使用雙邊（指數）形式。

$P=\int _{0}^{T}f^{2}(t)dt=X_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {X_{n}^{2}}{2}}$

和

$P=\sum _{-\infty }^{\infty }C_{n}C_{-n}=\sum _{-\infty }^{\infty }|C_{n}|^{2}$

透過改變頻域中求和的上限，我們可以將功率計算限制在有限數量的諧波內。例如，如果通道頻寬將特定訊號限制為僅前 5 個諧波，則上限可以設定為 5，結果可以計算出來。

能量譜

利用帕塞瓦爾定理，我們可以計算訊號在頻譜不同部分使用的能量。這在許多應用中很有用，例如我們將在後面討論的濾波。

我們從帕塞瓦爾定理中知道，為了獲得訊號諧波的能量，我們需要對頻域表示進行平方，以便觀察能量。我們可以將訊號的**能量譜密度**定義為訊號傅立葉變換的平方。

${\mathcal {E}}_{F}(\theta )={\mathcal {F}}^{2}(\theta )$

圖形在不同頻率下的幅度表示位於這些頻率分量內的能量。

功率譜密度

訊號中的能量是訊號中的功率。要找到訊號的功率譜或**功率譜密度**（PSD），

對訊號的自相關函式（位於頻域）進行傅立葉變換。

信噪比

在噪聲存在的情況下，瞭解訊號（你想要的）和噪聲（你不想的）之間的比率通常很重要。噪聲和訊號之間的比率稱為**信噪比**，縮寫為**SNR**。

實際上有兩種表示 SNR 的方法，一種是直接比率，另一種是分貝。這兩個術語在功能上是等效的，儘管由於它們是不同的量，因此不能在同一公式中使用。值得強調的是，分貝不能像比率那樣在計算中使用。

$SNR={\frac {Signal}{Noise}}$

這裡，SNR 可以是功率或電壓方面的，因此必須指定比較的是哪一個量。現在，當我們將 SNR 轉換為分貝時

$SNR_{db}=10log_{10}\left({\frac {Signal}{Noise}}\right)$

例如，SNR 為 3db 表示訊號的功率是噪聲訊號的兩倍。更高的 SNR（在任一表示中）總是更好的。