訊號與系統/週期訊號

訊號與系統

週期訊號

如果一個訊號在一個可測的時間範圍內完成一個模式，這個時間範圍稱為週期，並且在相同的後續週期中重複這個模式，則該訊號為週期訊號。完成一個完整模式稱為一個迴圈。週期被定義為完成一個完整迴圈所需的時間量（以秒為單位）。週期持續時間由 T 表示，每個訊號的持續時間可能不同，但對於任何給定的週期訊號來說是恆定的。

術語

這裡我們將討論一些與週期函式相關的常見術語。設g(t)為滿足g(t + T) = g(t)對所有t成立的週期函式。

週期

週期是滿足g(t + T) = g(t)對所有t成立的T的最小值。週期之所以這樣定義是因為如果g(t + T) = g(t)對所有t成立，則可以驗證g(t + T') = g(t)對所有t成立，其中T' = 2T, 3T, 4T, ... 本質上，它是函式自身重複所需的最短時間。如果函式的週期是有限的，則該函式稱為“週期函式”。永遠不重複自身的函式具有無限週期，被稱為“非週期函式”。

週期性波形的週期將用大寫字母T表示。週期以秒為單位。

頻率

週期函式的頻率是每秒可以發生的完整迴圈次數。頻率用小寫字母f表示。它定義為週期的函式，如下所示

f={\frac {1}{T}}

頻率的單位是赫茲或每秒迴圈。

角頻率

角頻率是弧度表示的頻率。它定義如下

\omega =2\pi f

振幅

給定波的振幅是在該點的波值。振幅也稱為該特定點的波的“幅度”。振幅沒有特定的變數，儘管大寫字母 A、大寫字母 M 和大寫字母 R 是常見的。

振幅可以以不同的單位測量，具體取決於我們正在研究的訊號。在電訊號中，振幅通常以伏特為單位測量。在建築物或其他類似結構中，振動的振幅可以用米為單位測量。

連續訊號

連續訊號是一個“平滑”訊號，其中訊號在一個特定範圍內定義。例如，正弦函式是一個連續訊號，指數函式或常數函式也是連續訊號。正弦訊號在 0 到 6 秒時間範圍內的一部分也是連續的。非連續函式的例子是任何離散訊號，其中訊號值僅在特定間隔定義。

直流偏移

直流偏移是指週期函式的平均值沒有圍繞x軸中心對稱的量。

如果週期訊號沒有圍繞x軸中心對稱，則它具有直流偏移分量。一般來說，直流值是指必須從訊號中減去才能使其圍繞x軸中心對稱的值。根據定義

A_{0}=(1/T)*\int _{-T/2}^{T/2}f(x)dx

其中A₀為直流偏移。如果A₀ = 0，則函式是中心對稱的，沒有偏移。

半波對稱

要確定週期為 2L 的訊號是否具有半波對稱性，我們需要檢查訊號的一個週期。如果將訊號偏移半個週期後發現該訊號是原始訊號的負值，則該訊號具有半波對稱性。也就是說，滿足以下屬性

f(t-L)=-f(t)\,

半波對稱意味著波的第二部分與第一部分完全相反。具有半波對稱性的函式不必是偶函式或奇函式，因為該屬性只需要偏移的訊號相反，並且這可以發生在任何時間偏移。但是，它確實要求直流偏移為零，因為一個半部分必須完全抵消另一個半部分。如果整個訊號具有直流偏移，則這種情況不會發生，因為當一個半部分加到另一個半部分時，偏移量將相加，而不是抵消。

請注意，如果一個訊號關於半週期點對稱，則它不一定具有半波對稱性。t³ 函式就是一個例子，它在 [-1,1) 上是週期性的，關於t=0 具有奇對稱性，但沒有直流偏移。但是，當偏移 1 時，該訊號不與原始訊號相反。

半波對稱訊號沒有偶數“正弦和餘弦”諧波。

四分之一波對稱

如果一個訊號具有以下屬性，則稱其為四分之一波對稱

它具有半波對稱性。
它關於四分之一週期點（即距離一端或中心 L/2 的距離）具有對稱性（奇數或偶數）。


具有四分之一波對稱性的偶訊號	具有四分之一波對稱性的奇訊號

任何具有四分之一波對稱性的訊號都可以透過在時間軸上上下移動來使其成為偶數或奇數。一個訊號不必是奇數或偶數才能具有四分之一波對稱性，但為了找到四分之一週期點，需要將該訊號上下移動以使其成為奇數或偶數。下面是一個具有四分之一波對稱性的訊號（紅色）的例子，在沒有首先沿時間軸移動的情況下（綠色，虛線），它沒有顯示此屬性。