訊號與系統/機率運算

期望值運算子

期望值運算子是一個線性運算子，它提供了一種數學方法來確定隨機分佈的許多不同引數。當然，缺點是期望值運算子以積分的形式存在，這可能難以計算。

期望值運算子將用符號表示

$\mathbb {E} [\cdot ]$

對於具有機率密度f_x的隨機變數X，期望值定義為

$\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)dx$.

前提是積分存在。

訊號的期望是將期望值運算子應用於該訊號的結果。期望是訊號平均值的另一個詞

$\mu _{x}=\mathbb {E} [X]$

矩

X的N次方的期望值稱為X或其分佈的N次矩

$\mathbb {E} [X^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{N}f_{X}(x)dx$.

有些矩有特殊的名稱，並且每個矩都描述了分佈的某個方面。

中心矩

一旦我們知道了分佈的期望值，我們就知道了它的位置。我們可以考慮所有其他相對於此位置的矩，並計算隨機變數X - E[X]的N^th矩；結果稱為分佈的N^th中心矩。每個中心矩都有不同的含義，並描述了隨機分佈的不同方面。X的N次中心矩為

$\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X])^{N}f_{X}(x)dx$.

為了符號表示的簡潔，第一個矩，期望值被命名為

$\mathbb {E} [X]=\mu _{X}$,

然後X的N次中心矩的公式變為

$\mathbb {E} [(X-\mu _{X})^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu _{X})^{N}f_{X}(x)dx$.

很明顯，第一個中心矩為零

$\mathbb {E} [(X-\mu _{X})]=0$

第二個中心矩是方差，

$\mathbb {E} [(X-\mu _{X})^{2}]=\sigma ^{2}$

方差

方差，即第二個中心矩，用符號 σ_x² 表示，定義如下：

$\sigma _{x}^{2}=\mathrm {var} (X)=\mathbb {E} [X-\mathbb {E} [X]]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}$

標準差

隨機分佈的標準差是方差的平方根，表示如下：

$\sigma _{x}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}}}$

時間平均運算子

時間平均運算子提供了一種數學方法來確定函式在給定時間範圍內 的平均值。時間平均運算子可以提供給定訊號的平均值，但最重要的是，它可以用於 找到給定訊號的樣本平均值。該運算子還為求平均提供了一種有用的簡寫方法，這在許多 方程中都有使用。

時間平均運算子用尖括號 (< 和 >) 表示，定義如下：

$\langle f(t)\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)dt$