社會統計學，第 11 章：互動模型
人們常說教育是通往美好生活的關鍵。教育使人更聰明，更明智。教育打開了人們的心靈，讓他們接觸到新的思想、新的體驗和新的機遇。教育甚至能帶來更好的健康狀況。教育之所以能產生所有這些影響，是因為教育改變了人們的本質。因為你追求了高等教育，所以你成為了一個與過去不同的你。你可能不願意承認上大學正在改變你，但無論好壞，它確實在改變你。在學術環境中學習和社交幾年而不受任何影響是不可能的。對大多數人來說，教育帶來更充實、更快樂、更長久的生命。教育也與收入密切相關。人們早年完成的教育程度與其多年後的收入高度相關。這在全世界都是如此，無論是在富裕國家還是貧窮國家。受教育程度更高的人比受教育程度更低的人獲得更高收入的原因有很多。首先，擁有富有和受過高等教育的父母的人往往會接受更多教育，因此受教育程度更高的人往往比受教育程度更低的人起步時就擁有更多優勢。更重要的是，許多職業都需要教育證書才能入職，從按摩師到癌症醫生，所有職業都是如此。教育還賦予人們知識和社會聯絡，幫助他們在職業生涯中取得成功。無論是什麼原因，事實都很清楚：受教育程度更高的人比受教育程度更低的人獲得更高收入。我們在圖 10-8 中看到了這一點。儘管圖 10-8 主要關注性別工資差距，但也表明，在美國，每多接受一年的教育，20 多歲的美國人預計的工資就會增加 3000 多美元。這個數字在所有五個估計模型中都得到了證實。圖 10-8 中教育的係數從模型 1 的 3065 到模型 2 的 3262，其他模型的係數介於這兩個數字之間。係數超過 3000 表示，對於典型的 20 多歲美國人來說，四年制大學學位意味著每年可以獲得超過 12000 美元的額外工資（3000 美元/年 x 4 年）。不幸的是，正如我們在圖 10-10 和圖 10-11 中學到的那樣，美國的教育在很大程度上取決於種族。這在其他國家也是如此，但美國比任何其他國家都有更詳細的資料。在美國 30 歲及以上的人中，亞裔受教育程度最高，其次是白人，然後是黑人，最後是其他人。圖 10-11 的模型 1 顯示，與白人相比，亞裔平均多接受了 0.632 年的教育，而黑人平均少接受了 0.556 年的教育。種族差異總體上解釋了個人之間教育差異的不到 1%（R2 = .008），但種族的影響仍然具有統計學意義，而且具有實質性意義。圖 11-1 探討了教育在解釋美國 30 歲及以上人群種族收入差異中所起的作用。資料來自 2008 年收入和計劃參與調查（SIPP）第 2 階段。圖 11-1 的模型 1 是一個簡單的方差分析模型，其中工資迴歸到種族。分類變數“種族”已使用三個方差分析變數操作化：亞裔、黑人和其他人。參考組為白人。亞裔、黑人和其他人的係數代表這些種族的人與白人之間的平均工資差異。黑人的差異尤其大。平均而言，30 歲及以上的黑人美國人比白人美國人少賺 8746 美元。亞裔美國人比白人多賺（平均）5991 美元。將這兩個數字結合起來，亞裔美國人比黑人美國人多賺（平均）5991 + 8746 = 14737 美元。
這些種族之間的差異具有高度顯著性，但它們加起來只解釋了美國人工資總變異性的很小一部分（只有 0.5%）。這並不意味著種族不重要。大約 80% 的美國人口將自己歸類為白人（包括白人西班牙裔，如大多數墨西哥裔美國人）。由於大多數人口是白人，因此人們工資的大部分變異性是白人之間的變異性。換句話說，只有 20% 的非白人人口才能感受到種族的影響（將白人視為參考組）。即使對這些人來說，其他因素（如年齡、教育程度、職業、行業、居住地和就業狀況）可能更重要。因此，種族本身只解釋了人們工資總變異性的 0.5% 並不奇怪。模型 1 中的係數大且顯著，表明種族很重要。由於我們從圖 10-11 中知道，在美國，不同種族的教育程度存在顯著差異，因此我們可能假設圖 11-1 模型 1 中觀察到的種族工資差異是由於種族教育差異造成的。畢竟，如果黑人比白人接受的教育明顯少，那麼發現他們（平均而言）收入更低也不足為奇。為了調查這種可能性，圖 11-1 的模型 2 控制了教育程度。由於種族是一個分類變數，而教育是一個數值變數，因此模型 2 是一個混合模型。在模型 2 中，控制教育程度會縮小工資收入的種族差距，但剩餘差距仍然高度顯著。模型 2 表明，30 歲及以上的黑人美國人比教育程度相似的白人美國人（平均）少賺 5810 美元。模型 2 中額外一年的教育影響（5269 美元）幾乎與黑人和白人之間的工資差距（5810 美元）一樣大。這表明，解決種族工資差異的一種方法可能是鼓勵黑人接受更高水平的教育。目前，黑人平均比白人少接受 0.556 年的教育（圖 10-11 的模型 1）。提高黑人教育水平是否也能提高黑人的工資？根據圖 11-1 的模型 2，答案似乎是肯定的。另一方面，額外一年教育對黑人可能比對白人提高工資更少。如果發生這種情況，就很難用教育來解決種族工資差距。圖 11-2 說明了種族之間額外一年教育影響的差異。對於白人來說，每多接受一年教育，工資收入就會增加 5393 美元。對於亞裔來說，這種影響類似，但略小（5298 美元）。對於黑人和其他人來說，每多接受一年教育的經濟影響要小得多。黑人美國人平均每多接受一年教育，工資收入就會增加 4394 美元，而其他人平均每多接受一年教育，工資收入就會增加 4422 美元。
圖 11-2 中報告的結果令人擔憂。首先，黑人和其他人平均受教育程度本來就低於白人和亞裔。然後，即使黑人和其他人確實接受了高等教育，他們從高等教育中獲得的收益（就工資而言）也比白人或亞裔少。例如，圖 11-2 中報告的結果表明，四年制大學學位使 30 歲及以上成人的白人收入增加了 5393 x 4 = 21572 美元，而同一大學學位使黑人收入僅增加了 4394 x 4 = 17576 美元。這是一個很大的差距。另一方面，我們無法確定圖 11-2 中報告的種族差異是否具有統計學意義。所有係數與零顯著不同，但這並不意味著它們彼此之間也顯著不同。可能是白人模型（5393）和黑人模型（4394）中教育系數之間的差異只是由於 SIPP 資料中的隨機誤差造成的。看起來它們很明顯地不同，但理想情況下，我們希望確定這種差異在統計學上是否顯著。
本章解釋瞭如何設計迴歸模型來評估迴歸係數大小的組間差異的顯著性。首先，必須構建稱為“互動變數”的特殊變數（第 11.1 節）。當這些變數用於迴歸模型時，它們會揭示與自變數相關的斜率的組間差異。其次，在迴歸模型中包含互動變數會改變模型的斜率和截距的含義（第 11.2 節）。這些變化最容易使用圖形來繪製模型的迴歸線來理解。第三，包含互動變數的模型可以像所有其他迴歸模型一樣包含其他控制變數（第 11.3 節）。事實上，互動效應通常嵌入到更大的迴歸模型中。可選部分（第 11.4 節）演示瞭如何使用方差分析變數計算互動變數，並將其同時應用於多個組。最後，本章以美國和法國教育經濟價值差異的應用案例研究結束（第 11.5 節）。這個案例研究說明了自變數的影響如何在不同案例組中存在顯著差異。本章的所有關鍵概念都將在這個案例研究中使用。學完本章後，你應該瞭解如何評估和解釋迴歸模型中的組間差異。
11.1. 互動變數 金錢能讓你自由嗎？也就是說，擁有更多金錢能讓人們在生活中感受到更大的自由感嗎？不出所料，確實如此。在所有有資料可查的國家，人們的個人自由感與收入水平之間都存在正相關關係，儘管在一些國家這種關係在統計上並不顯著。在世界價值觀調查 (WVS) 中，個人自由的衡量指標是使用問題“你感覺有多自由？”，受訪者在一個範圍從 1“一點也沒有”到 10“非常多”的數字上圈出。各國個人自由的平均水平通常在 1 到 10 的範圍內約為 7-8，每個國家最貧窮的人報告的分數比最富裕的人低 1-3 分。顯然，收入對人們的自由感很重要，但對所有人的重要程度都一樣嗎？特別是，收入對男性比對女性（或反之）更重要嗎？波蘭是收入對自由感影響很大的一個國家。波蘭在收入與自由感之間存在世界上最強的相關性之一 (r = 0.239)。圖 11-3 的前兩列報告了波蘭男性和女性收入對自由感的影響的迴歸模型。收入的衡量標準是將人口分成 10 個等級，從 1（最低收入）到 10（最高收入）。收入每增加一分，波蘭男性的自由評分就會上升 0.384 分，而收入相同增加一分，波蘭女性的自由評分只上升 0.206 分。在波蘭，金錢對男性的重要性大於女性。
圖 11-4 展示了波蘭男性和女性的迴歸線。女性的預期自由值用實線表示，而男性的預期自由值用虛線表示。在低收入水平（圖的左側），女性比男性感覺更自由，而在高收入水平，男性比女性感覺更自由。兩條線在收入水平 4 和 5 之間的某個地方交叉。對於中等收入的波蘭人，男性和女性報告的個人自由水平大致相同。
由於男性的斜率為 0.384，而女性的斜率僅為 0.206 分，因此兩個斜率之差為 0.384 - 0.206 = 0.178。收入每增加一分，女性的自由度就會比男性減少 0.178 分。收入對男性的重要性大於女性，但這種差異 (0.178) 在統計學上是否顯著？換句話說，真正的差異有可能為零嗎？觀察到的差異 (0.178) 是否僅僅代表隨機誤差？畢竟，如果男性和女性的兩條線在圖 11-4 上純粹隨機繪製，它們不太可能完全匹配。一條線的斜率幾乎肯定會比另一條線更陡峭。我們想知道的是，觀察到的斜率差異是否可能純粹是隨機產生的。為了回答這個問題，有必要建立一個迴歸模型，使得其中一個係數代表男性和女性之間斜率的差異。然後，如果該係數與零有顯著差異，我們可以得出結論，斜率的差異在統計學上是顯著的。在這樣的模型中，收入的影響可以與一個人的性別相互作用，從而根據一個人的性別產生不同的收入斜率。這種模型稱為互動模型。互動模型是允許一些變數的斜率對於不同的類別組不同的迴歸模型。互動模型至少包括三個變數：一個感興趣的獨立變數（認為對不同組具有不同斜率的變數）一個方差分析變數（可以是任何 0/1 變數）一個互動變數（等於感興趣的獨立變數乘以方差分析變數）互動變數是互動模型的核心。互動變數是透過將方差分析變數乘以感興趣的獨立變數來建立的變數。在波蘭自由度模型中，互動項是透過將性別（女性為 0，男性為 1）乘以收入（範圍從 1 到 10）計算出來的。由於所有女性的性別都是零，所以所有女性的互動變數都是零（任何數乘以零都為零）。由於所有男性的性別都是一，所以所有男性的互動變數都與收入相同（任何數乘以一都等於自身）。具體來說，圖 11-3 最後列中報告的波蘭自由度互動模型為：Freedom = 5.770 + 0.206 x Income - 0.805 x Gender + 0.178 x Gender x Income對於女性 (gender = 0)，這與以下公式相同：Freedom = 5.770 + 0.206 x Income - 0.805 x 0 + 0.178 x 0 x IncomeFreedom = 5.770 + 0.206 x Income - 0 + 0Freedom = 5.770 + 0.206 x Income這與圖 11-3 中報告的女性模型相同。互動模型對男性來說稍微複雜一些，但並沒有複雜多少。對於男性 (gender = 1)，互動模型為：Freedom = 5.770 + 0.206 x Income - 0.805 x 1 + 0.178 x 1 x IncomeFreedom = 5.770 + 0.206 x Income - 0.805 + 0.178 x IncomeFreedom = 5.770 - 0.805 + 0.206 x Income + 0.178 x IncomeFreedom = 4.965 + 0.384 x Income這與圖 11-3 中報告的男性模型相同。如果互動模型只是給出了我們一開始的兩個相同模型，為什麼還要執行互動模型呢？一個原因是，互動模型使用所有資料 (N = 903 個案例) 全部在一個模型中，而不是將資料分成男性和女性模型。另一個更重要的原因是，互動模型告訴我們互動變數的統計顯著性。互動變數的係數代表模型中兩組之間斜率的差異，在本例中是男性和女性之間的差異。注意，圖 11-3 中互動模型中互動變數的係數為 0.178，正好等於男性模型中收入斜率與女性模型中收入斜率之差。互動模型告訴我們，該係數在統計學上是顯著的。因此，我們可以得出結論，收入與自由度之間關係的斜率對男性來說明顯高於女性。收入對波蘭男性的重要性明顯高於波蘭女性，以促進個人自由的感覺。
11.2. 互動模型中的斜率和截距 在圖 11-3 中，男性和女性模型的結果可以從互動模型中計算出來，這並非巧合。互動模型基於與其他模型相同的資料和變數。互動模型與男性和女性的兩個獨立模型之間唯一的真正區別在於它們的用途。男性模型用於評估收入與男性自由度之間關係的斜率。女性模型用於評估收入與女性自由度之間關係的斜率。互動模型用於評估男性斜率與女性斜率之間的差異。方便的是，互動模型也可以用來找出男性的斜率和女性的斜率，因此最終只需要一個模型。互動模型中報告的收入斜率是參考組的收入斜率。在圖 11-3 的互動模型中，參考組是女性 (gender = 0)。女性的收入斜率是互動模型中報告的主要效應。主要效應是互動模型中參考組的感興趣獨立變數的係數。圖 11-3 中女性與男性之間的斜率差異為 0.178（男性的斜率比女性的斜率高 0.178 分）。這是圖 11-3 中互動變數 (gender x income) 的係數。互動模型中互動變數的係數稱為互動效應。互動效應是互動模型中互動變數的係數。當互動效應在統計學上是顯著的時，意味著兩組之間的斜率存在顯著差異。圖 11-3 中的互動模型還包括一個變數，即性別。互動模型中性別的係數代表男性迴歸線的截距與女性迴歸線的截距之間的差異。這被稱為截距效應。截距效應是互動模型中方差分析變數的係數。在男性自由度對收入的迴歸中，截距為 4.965，這意味著收入為零的男性預計會在 1 到 10 的範圍內報告個人自由度為 4.965。在女性自由度對收入的迴歸中，截距為 5.770，這意味著收入為零的女性預計會在 1 到 10 的範圍內報告個人自由度為 5.770。截距效應 (-0.805) 是男性截距與女性截距之間的差異：4.965 - 5.770 = -0.805。在解釋互動模型時，我們通常不感興趣的是截距效應，它們通常會被忽略。但是，必須將方差分析變數包含在模型中（例如圖 11-3 中的性別）。如果沒有它，互動模型將產生毫無意義的結果。在波蘭，我們發現收入在決定個人自由感方面對男性的重要性遠大於女性。在其他國家，情況可能有所不同。圖 11-5 報告了一組與圖 11-3 中估計的模型相同的模型的結果，但這次模型是使用來自澳大利亞的資料估計的。對於澳大利亞男性（男性模型），收入規模每上升一分，與之相關的個人自由感就會上升 0.061 分。對於澳大利亞女性（女性模型），與之相關的上升為 0.143 分，是男性模型的兩倍多。對男性和女性來說，收入與自由度之間的關聯在統計學上都是顯著的，但對女性來說比對男性更加顯著。
圖 11-5 中報告的第三個模型是互動模型。該模型包括感興趣的自變數（收入）、一個分類方差分析變數（性別）和一個互動變數（性別 x 收入）。在互動模型中，收入的主效應為 0.143，與女性模型中收入的係數相同。該主效應表示收入增加一個單位對女性預期個人自由感的影響。互動效應為 -0.083。這是男性和女性在收入與自由關係中的斜率之差：0.061 - 0.143 = -0.083。互動效應在統計上顯著，表明男性的斜率明顯小於女性的斜率。圖 11-5 中報告的截距效應為 0.393，但這沒有任何特別的理論意義。圖 11-5 中報告的統計結果在圖 11-6 中以圖形形式表示。互動模型的結果可能難以視覺化，但將它們繪製出來通常會使它們非常清晰。圖 11-6 顯示，收入與自由之間的關係對澳大利亞男性來說比對澳大利亞女性來說弱。兩條線都隨著收入的增加而上升，但女性的線上升得更快。貧困女性的個人自由感比貧困男性低，但富裕女性的個人自由感比富裕男性高。
互動效應並不總是顯著的。事實上，可能很難找到顯著的互動效應。例如，在美國，收入重要性方面的性別差異在統計上並不顯著。圖 11-7 報告了美國自由與收入迴歸的結果。男性和女性的斜率都高度顯著，但檢查斜率差異的互動效應則不顯著。
圖 11-8 以圖形方式表示美國的結果。兩條迴歸線（女性和男性）幾乎平行。該圖表似乎顯示了截距效應（女性的線高於男性的線），但模型結果表明，這種差異也不顯著，儘管在任何情況下它都沒有理論意義。在美國，富人比窮人感覺更自由，但沒有證據表明女性和男性之間在收入對自由重要性方面存在差異。對於女性和男性來說，更高的收入都讓美國人感覺更自由，程度相同。
11.3. 混合模型中包含控制變數的互動效應 圖 11-2 中報告的結果表明，對於白人來說，每多一年的教育都會提高工資，而對於亞裔、黑人和其他人來說，工資提高的幅度則較小。如果教育對不同種族的人的工資有不同的影響，那麼它對不同性別的人的工資也會有不同的影響嗎？圖 10-8 顯示，對於二十多歲的美國人來說，每多一年的教育都會導致預期工資增加 3000 美元以上。圖 10-8 的主要結果在圖 11-9 的模型 1 中重新列印。圖 11-9 使用相同 2008 年 SIPP 第二波資料，將工資收入迴歸到許多預測因子，包括性別（對男性編碼為 0，對女性編碼為 1）。圖 11-9 的模型 1 顯示，二十多歲的美國女性平均比二十多歲的美國男性少掙 6591 美元（在控制年齡、種族、西班牙裔身份和教育之後）。
圖 11-9 的模型 2 引入了一個互動變數，Education x Female。在這個新模型中，教育的主效應現在是 3114，表明對於男性（Female = 0），每多一年的教育都會使預期工資增加 3114 美元。互動變數（Education x Female）的係數為 312，表明對於每多一年的教育，女性預計會比男性多獲得 312 美元。由於男性每年的教育（平均）會獲得 3114 美元，這意味著女性（平均）會獲得 3114 + 312 = 3326 美元的工資。312 的正互動效應意味著教育實際上對女性的幫助比對男性的幫助更大。這表明教育可能有助於縮小工資性別差距。另一方面，模型 2 中的互動效應在統計上並不顯著。這意味著正面結果可能是隨機發生的。在模型 2 中，截距效應（變數 Female 的係數）為 -10857。與模型 1 不同，該係數不能直接說明女性和男性之間工資差異的任何情況。互動模型中的截距效應對於解釋結果而言意義不大（儘管它必須包含在模型中）。為了對女性和男性之間工資的總體差異做出結論，您需要檢視模型 1 中 Female 的係數，該模型不包含任何互動效應。由於教育和性別之間的互動不顯著，圖 11-9 中的模型 3 檢查了另一個互動變數：性別和年齡之間的互動（Age x Female）。這種互動非常顯著。隨著女性年齡的增長，她們的收入遠遠落後於男性。模型 3 中年齡的主效應（2430）表明，美國男性預計在他們二十多歲的整個過程中每年都會多掙 2430 美元。年齡的互動效應（Age x Female）為 -786，這意味著女性的收入比男性每老一歲少增加 786 美元。換句話說，雖然男性的預期工資每年增長 2430 美元，但女性的預期工資每年增長 2430 - 786 = 1644 美元。這是一個巨大且在統計上顯著的差異（機率 <.001）。老齡化對男性的回報遠高於女性。沒有理由不能將這兩個互動變數都包含在同一個模型中。這是在模型 4 中完成的。在模型 4 中，兩個互動效應都顯著，但年齡的互動效應更為顯著。在模型 5 中，額外的控制變數與互動變數一起包含。即使在控制了婚姻、子女、全職工作狀態、上學狀態和就業行業之後，年齡的互動效應仍然高度顯著。另一方面，教育的互動效應減少到一個非常小且不顯著的數字（每年不到 100 美元）。模型 5 中報告的結果表明，額外的教育不會對美國女性和男性之間的工資性別差距產生太大影響。相反，這種差距往往隨著男性和女性的年齡增長而不斷擴大，至少在他們二十多歲的過程中是這樣。正如圖 11-9 所示，互動效應可用於包含其他數值和分類自變數的混合模型。甚至可以在單個模型中估計多個互動效應。這些模型的解釋與普通迴歸和互動模型的解釋沒有什麼不同。任何包含數值和方差分析變數的模型都可以包含一個或多個互動。
11.4. 多個分類互動（可選/高階） 如果迴歸模型可以包含多個針對同一個方差分析變數的互動（圖 11-9 中的教育和年齡按性別），那麼可以推斷，迴歸模型可以包含多個方差分析變數的相同互動。圖 11-2 顯示，教育對工資的預期影響對於不同種族的美國人來說是不同的。影響範圍從 30 歲及以上的美國黑人每年的額外工資 4394 美元到白人每年的額外工資 5993 美元。圖 11-10 顯示瞭如何使用互動模型來檢查這些種族間差異的統計顯著性。圖 11-10 的模型 1 包括三個用於種族的方差分析變數（白人是參考組）、感興趣的自變數（教育）以及三個用於種族 x 教育的互動變數。
模型 1 中教育的主效應為 5393，證實了每多一年的教育與 30 歲及以上的美國白人年收入增加 5393 美元相關。三個互動效應都是負數，證實了對於所有其他種族來說，教育提高工資的幅度都低於白人。對於亞裔來說，互動效應很小，在統計上並不顯著：教育以與白人大致相同的速率提高了亞裔的工資。雖然每多一年的教育對白人的影響是 5393 美元，但對亞裔來說，影響是 5393 - 96 = 5297 美元（此結果與圖 11-2 中報告的結果之間的差異是由於四捨五入）。對於黑人和其他人來說，互動效應是負數且在統計上顯著（在黑人的情況下，高度顯著）。這意味著每多一年的教育對工資的影響對於黑人和其他人來說明顯低於白人。模型 1 的一個缺點是（與任何方差分析模型一樣），所有組差異都是相對於參考組（在本例中為白人）進行檢查的。因此，例如，模型 1 告訴我們其他人斜率與白人斜率是否顯著不同（確實不同），但它沒有告訴我們其他人斜率與黑人斜率是否顯著不同。為了找到黑人和另外三個種族之間斜率差異的統計顯著性，必須估計一個新模型，該模型使用黑人作為參考組。這是在模型 2 中完成的，在該模型中，相同的變數被組織起來，以便突出顯示從黑人（而不是白人）作為參考組考慮的差異的顯著性。由於模型 2 包含與模型 1 相同的資訊，因此 R2 不會從模型 1 更改，但係數（及其顯著性水平）會更改。在圖 11-10 的模型 2 中，教育的主效應現在是 4394，這與黑人是現在的參考組這一事實一致，並且每多一年的教育與 30 歲及以上的美國黑人預期年收入增加 4394 美元相關。白人互動的係數為 999，表明白人預計每多一年的教育會多掙 4394 + 999 = 5395 美元，與模型 1 中的情況相同。模型 2 告訴我們模型 1 沒有告訴我們的資訊是，其他人與黑人之間的教育影響差異（每年 28 美元）在統計上並不顯著。它還告訴我們，亞裔與黑人之間教育回報的差異（每年 904 美元）在統計上顯著。模型 1 和模型 2 表示相同的資訊，但透過使用不同的參考組，它們允許檢查不同種族差異的顯著性。根據所有四個種族的教育水平繪製了工資的預期值，如圖 11-11 所示。這個圖表中繪製的值可以從這兩個迴歸模型中的任何一個（或從圖 11-2 中報告的模型）計算得出。注意白人的斜率如何比其他三個種族的斜率更陡。在高中輟學者中，白人預計將比其他人多掙一點，但在具有研究生教育的人中，白人預計將與亞裔幾乎一樣多。一方面是亞裔和白人之間的斜率差異，另一方面是黑人和其他人之間的斜率差異，這意味著美國工資中的種族不平等隨著教育水平的提高而加劇。社會中教育水平的提高不太可能使美國社會更加平等。恰恰相反：它們似乎更有可能使現有的種族不平等更加嚴重。
11.5. 案例研究：民主評分的跨國比較 在第 5 章中，我們認為臺灣的老人可能對臺灣民主質量的評分更高，因為他們經歷過 1991 年之前的獨裁統治時期。這可以被稱為民主評分的“獨裁理論”。第 5 章建議，在民主時代成長起來的年輕人可能要求更高，因此可能對臺灣的民主滿意度低於老人。迴歸模型證實了這一推理。發現臺灣人民對其政府民主質量的評分隨年齡增長而上升。臺灣人民對臺灣民主的評分隨年齡增長而上升這一事實，似乎支援了獨裁理論，但不能證明該理論。另一種理論，“青年理論”，可能是指世界各地的年輕人對民主的要求更高，而老年人對民主的要求更低。要闡明這兩種理論的相對優劣，一種方法是將臺灣的年齡與民主評分之間的關係與另一個國家的相關關係進行比較。為此，我們選擇了美國作為參考國家，因為美國從未經歷過獨裁統治時期。作為提醒，人們對民主的評分採用 0 到 100 的等級，其中：評分 = 0 表示受訪者認為他們國家民主程度不夠評分 = 50 表示受訪者認為他們國家民主程度恰到好處評分 = 100 表示受訪者認為他們國家民主程度過高臺灣和美國的平均民主評分（所有年齡段）分別為 38.7 和 37.2。圖 11-12 顯示了美國和臺灣的年齡與民主評分之間關係的迴歸模型。臺灣模型與圖 5-7 中報告的模型相同，只是現在除了係數之外，我們還有顯著性水平和 R2 可供使用。實際上，民主評分隨年齡的增長非常顯著。另一方面，美國模型顯示，在美國，民主評分隨年齡的增長而下降。美國隨年齡的下降甚至比臺灣隨年齡的上升更強。這似乎支援了獨裁理論，而不是青年理論的民主評分。
圖 11-12 的最後一列報告了年齡與民主評分之間關係斜率差異的正式互動模型。該模型包括感興趣的自變數（年齡）、區分兩組的方差分析變數（國家）和互動變數（國家 x 年齡）。互動模型中年齡的主要效應為 -0.117，這是年齡對美國民主評分的影響。年齡的互動效應為 0.222，表明臺灣年齡的係數比美國年齡的係數高 0.222 個點。年齡與民主評分之間關係斜率的這種差異非常顯著（機率 < .001）。截距效應 (-8.680) 在此模型中沒有理論意義，儘管它在計算預期值時使用。臺灣和美國不同年齡人群的民主評分預期值繪製在圖 11-13 中。顯然，臺灣的民主評分隨年齡增長而上升，而美國的民主評分隨年齡增長而下降。這傾向於證實獨裁理論，即臺灣老年人可能對臺灣的民主評價較低，因為他們沒有親身經歷過獨裁統治下的生活。無論臺灣和美國之間的差異是由於這個原因還是其他原因，很明顯，年齡與民主評分之間的關係在兩國是不同的。國家與年齡對人們民主評分的影響之間存在顯著的互動作用。
- 互動效應 是 互動模型中互動變數的係數。
- 互動模型 是 允許某些變數的斜率在不同的分類組中不同的迴歸模型。
- 互動變數 是 透過將方差分析變數乘以感興趣的自變數而建立的變數。
- 截距效應 是 互動模型中方差分析變數的係數。
- 主要效應 是 互動模型中參考組感興趣的自變數的係數。