數學教材/代數（9780132413770）/第一章 解決方案

練習 1.7

我們證明

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&n&n(n+1)/2\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

當 $n=1$時，該等式成立。假設它對於 $n=k$ 成立，並考慮 $n=k+1$。那麼我們有

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}^{k+1}={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&k&k(k+1)/2\\0&1&k\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&k+1&(k+1)(k+2)/2\\0&1&k+1\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

練習 3.4

我們可以使用行操作將矩陣簡化為行階梯形式。如果還允許列操作，從第一行開始，我們可以對主元元素進行縮放，並將其從該行上的所有非零元素中減去。因此，我們可以將矩陣轉換為只有主元元素為 1，其餘為 0 的形式。如果矩陣具有滿秩，則僅需行操作就足夠了。

練習 4.6

設 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},D\in \mathbb {R} ^{k\times k},B\in \mathbb {R} ^{n\times k}$ 且 $M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n+k}$。我們想證明 $\det M=\det A\cdot \det D$。

為了展示這一點，我們使用公式 (1.6.4) 來計算行列式：$\det M=\sum _{p\in S_{n+k}}{\textrm {sign}}(p)m_{1,p(1)}\cdots m_{n,p(n)}\cdots m_{n+1,p(n+1)}\cdots m_{n+k,p(n+k)}$。由於$m_{n+i,p(n+i)}=0$ 只要$1\leq i\leq k,p(n+i)\leq n$，和式中的乘積僅在$p$ 是一個排列，使得 $p(\{1,2,\ldots ,n\})=\{1,2,\ldots ,n\}$ 並且 $p(\{n+1,n+2,\ldots ,n+k\})=\{n+1,n+2,\ldots ,n+k\}$。因此，我們可以寫成

${\begin{alignedat}{1}\det M&=\sum _{\pi \in S_{n},\sigma \in S_{k}}{\textrm {sign}}(\pi ){\textrm {sign}}(\sigma )m_{1,\pi (1)}\cdots m_{n,\pi (n)}\cdots m_{n+1,\sigma (1)}\cdots m_{n+k,\sigma (n+k)}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}{\textrm {sign}}(\pi )m_{1,\pi (1)}\cdots m_{n,\pi (n)}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\textrm {sign}}(\sigma )m_{1,\sigma (1)}\cdots m_{n,\sigma (k)}\\&=\det A\cdot \det D\end{alignedat}}$.

練習 5.1

$(12)(13)(14)(15)=(15432)$

$(123)(234)(345)=(12)(54)$

$(1234)(2345)=(12453)$

$(12)(23)(34)(45)(51)=(2345)$

練習 5.2

考慮置換 $p=(1324)$.

• a) 與 *p* 相關的置換矩陣是 $P={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$.
• b) $p=(1324)=(14)(12)(13)$
• c) sign( *p* ) = -1.

練習 6.2

令 $A\in \mathbb {Z} ^{n\times n}$. **斷言: **$A$** 是可逆的，並且 **$A^{-1}$** 具有整數項當且僅當 **$\det A=\pm 1$**.

假設 **$A^{-1}$** 存在且具有整數項。首先注意到，從行列式公式

$\det A=\sum _{p\in S_{n}}{\textrm {sign}}(p)a_{1,p(1)}\cdots a_{n,p(n)}$

我們立即看到，如果項 **$a_{i,j}$** 是整數，那麼行列式一定是整數，因為它是整數乘積的和。反之，如果行列式不是整數，則至少有一個項必須是非整數。

接下來，我們觀察到，由於 $\det(A)\neq 0$ ， $\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=1\Longrightarrow \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$。因此，除非 $\det A=\pm 1$， $\det(A^{-1})$ 不是整數，因此 $A^{-1}\notin \mathbb {Z} ^{n\times n}$ 與假設矛盾。

然後假設 $\det A=\pm 1$。那麼 $A^{-1}$ 存在，並且伴隨矩陣公式（定理 1.6.9）告訴我們 $A^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\textrm {cof}}(A)$。伴隨矩陣的元素由 ${\textrm {cof}}(A)_{i,j}=(-1)^{i+j}\det A_{ji}$ 給出，其中 $A_{ji}$ 是矩陣 $A$ 去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的矩陣。顯然，如果 $A\in \mathbb {Z} ^{n\times n}$，那麼伴隨矩陣的元素是整數，如果 $\det A=\pm 1$，逆矩陣的元素也是整數。

練習 M.8

a) 這裡唯一的問題是假設 **$L$ 是 **$A$ 的右逆元。必然地，如果 **$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，我們必須有 **$L\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，在這種情況下，積 **$AL$ 甚至沒有定義。

b) 序列是正確的，並且表明等式 **$AX=ALB$ 成立。如果 **$L$ 也是 **$A$ 的右逆元，我們必然有 **$m=n$，以便積 **$AL$ ** 有定義。

練習 M.11

a) 我們有變數 **$x_{0,1},x_{-1,0},x_{0,0},x_{1,0},x_{0,-1}$ 和邊界條件 **$\beta _{2,0}=\beta _{1,-1}=\beta _{-2,0}=\beta _{-1,-1}=\beta _{0,-2}=0$ 和 **$\beta _{1,1}=\beta _{0,2}=\beta _{-1,1}=1$。使用離散拉普拉斯方程，這些條件轉換為方程

${\begin{array}{llcr}(0,1):&\beta _{0,2}+x_{0,0}+\beta _{1,1}+\beta _{-1,1}-4x_{0,1}&=&0\\(-1,0):&\beta _{-1,1}+x_{0,0}+\beta _{-2,0}+\beta _{-1,-1}-4x_{-1,0}&=&0\\(0,0):&x_{1,0}+x_{-1,0}+x_{0,1}+x_{0,-1}-4x_{0,0}&=&0\\(1,0):&\beta _{2,0}+x_{0,0}+\beta _{1,1}+\beta _{1,-1}-4x_{1,0}&=&0\\(0,-1):&\beta _{0,-2}+x_{0,0}+\beta _{-1,-1}+\beta _{1,-1}-4x_{0,-1}&=&0\\\end{array}}$,

簡化為線性方程組

${\begin{pmatrix}-4&0&1&0&0\\0&-4&1&0&0\\1&1&-4&1&1\\0&0&1&-4&0\\0&0&1&0&-4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0,1}\\x_{-1,0}\\x_{0,0}\\x_{1,0}\\x_{0,-1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}}$.

該方程組的解可以透過將等式左邊乘以係數矩陣的逆矩陣得到。

b) 假設最大值在區域 $R$ 內的某個點 $x_{u,v}$ 上達到。由於 $x_{u,v}$ 是其四個相鄰點的平均值，其中一個相鄰點的值必須大於 $x_{u,v}$，這與假設矛盾。

c) 令$A$ 表示由離散狄利克雷問題的線性方程組的係數 $a_{ij}$ 寫成的矩陣。我們有 $a_{ii}=-4$ 且 $a_{ij}\in \{0,1\}$ 當 $i\neq j$。利用每一行對角線上的元素，我們可以消去其他每一行對應的列。每一列最多有 4 個非零非對角線元素，每個元素的值最大為 1。因此，在進行行消元時，我們永遠不會消去對角線元素。所以，我們可以將矩陣 $A$ 化為行階梯形矩陣，且沒有全為 0 的行。因此，該矩陣可逆，所以線性方程組有唯一解。