數學教材/代數（9780132413770）/第 4 章

練習 1.1

令 $f(M):F^{m\times n}\rightarrow F^{l\times p}$ 使得 $f(M)=AMB$ 其中 $A\in F^{l\times m},B\in F^{n\times p}$。那麼，對於 $M,N\in F^{m\times n}$ 和 $\alpha ,\beta \in F$ 它成立 $f(\alpha M+\beta N)=A(\alpha M+\beta N)B=\alpha AMB+\beta ANB=\alpha f(M)+\beta f(N)$，所以 $f$ 是一個線性變換。

練習 1.3

矩陣 $A\in F^{m\times n}$ 是一個線性對映 $A:F^{n}\rightarrow F^{m}$。令 ${\mathsf {B}}=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ 是 $F^{n}$ 的一個基。那麼空間 ${\textrm {im}}~A={\textrm {Span}}(A(v_{1}),\ldots ,A(v_{n}))$ 的維度最多為 $\min(n,m)$。然後，使用維度公式，我們有 $\dim({\textrm {im}}~A)+\dim(\ker A)=\dim F^{n}=n$，所以重新排列後得到 $\dim(\ker A)=n-\dim({\textrm {im}}~A)\geq n-\min(m,n)\geq n-m$.

練習 1.4

設 $A\in F^{m\times n}$ 是一個秩為 1 的矩陣。則 $A$ 的像空間是由單個向量（例如 $v\in F^{n}$）張成的，並且對於某個非零 $w\in F^{m}$，有 $Av=w$。我們可以假設 $v=(1,0,\ldots ,0)$，因為該向量在縮放和基變換後是唯一的。那麼，$A$ 的核由向量 $e_{i}$ 給出，其中 $i=2,\ldots ,n$。接下來，考慮矩陣 $B={\frac {1}{v^{t}v}}wv^{t}$，使得 $Bv=w$ 以及 $Be_{i}=0,i=2,\ldots ,n$。很容易看出 $A$ 和 $B$ 描述了相同的線性變換，因此它們作為矩陣是相等的。 $B$ 的表示形式並不唯一，因為我們可以任意地縮放向量 $v$ 和 $w$，只要我們相應地縮放另一個向量即可。

練習 1.5

a) 很容易看出，對乘積空間進行逐座標的向量空間運算會保留向量空間結構。

b) 令 $T(u,v)=u+v$. 那麼我們有 $T(u_{1}+u_{2},v_{1}+v_{2})=u_{1}+v_{1}+u_{2}+v_{2}=T(u_{1},v_{1})+T(u_{2},v_{1})$ 和 $T(au,av)=au+av=aT(u,v)$, 所以 $T$ 是一個線性運算元。

c) 我們有 $\dim({\textrm {im}}~T)+\dim(\ker T)=\dim(U\times W)$ 其中 $\ker T=\{(u,w)\in U\times W:u=-w\}=\{(v,-v):v\in U\cap W\}$ 所以 $\dim(\ker T)=\dim(U\cap W)$. 此外，根據定義我們有 ${\textrm {im}}~T=U\oplus W$, 並且 $\dim(U\times W)=\dim U+\dim W$. 因此，維數公式的形式為 $\dim(U\cap W)+\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W$.

練習 2.1

我們可以寫成 $A=a_{11}e_{11}+a_{12}e_{12}+a_{21}e_{21}+a_{22}e_{22}$， $B=b_{11}e_{11}+b_{12}e_{12}+b_{21}e_{21}+b_{22}e_{22}$ 和 $M=m_{11}e_{11}+m_{12}e_{12}+m_{21}e_{21}+m_{22}e_{22}$。我們有以下的乘法表

	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{21}$	$e_{22}$
$e_{11}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$0$	$0$
$e_{12}$	$0$	$0$	$e_{11}$	$e_{12}$
$e_{21}$	$e_{21}$	$e_{22}$	$0$	$0$
$e_{22}$	$0$	$0$	$e_{21}$	$e_{22}$

其中，列的第一個元素表示從右邊乘以給定行的第一個元素的矩陣。 然後，$AM=(a_{11}m_{11}+a_{21}m_{12})e_{11}+(a_{12}m_{11}+a_{22}m_{12})e_{12}+(a_{11}m_{21}+a_{21}m_{22})e_{21}+(a_{12}m_{21}+a_{22}m_{22})e_{22}$。對於 $AMB$，我們然後在給定的基底下得到以下形式

${\begin{pmatrix}a_{11}m_{11}b_{11}+a_{21}m_{12}b_{11}+a_{11}m_{21}b_{12}+a_{21}m_{22}b_{12}\\a_{12}m_{11}b_{11}+a_{22}m_{12}b_{11}+a_{12}m_{21}b_{12}+a_{22}m_{22}b_{12}\\a_{11}m_{11}b_{21}+a_{21}m_{12}b_{21}+a_{11}m_{21}b_{22}+a_{21}m_{22}b_{22}\\a_{12}m_{11}b_{21}+a_{22}m_{12}b_{21}+a_{12}m_{21}b_{22}+a_{22}m_{22}b_{22}\end{pmatrix}}$.

練習 2.3

具有給定屬性的矩陣滿足方程 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}}$。求解該方程得到矩陣必須具有形式 ${\begin{pmatrix}a&1-a\\c&3-c\end{pmatrix}}$ 對於任何 $a,c\in \mathbb {R} .$