第 1 章

第 2 節

1

$(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)\,$

$a+b+c+d=(a+d)+(b+c)\,$		由結合律
$a+b+d+c=(a+d)+(b+c)\,$		由交換律
$a+d+b+c=(a+d)+(b+c)\,$		由交換律
$(a+d)+(b+c)=(a+d)+(b+c)\,$		由結合律

1（替代）

$(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)\,$

$=a+(b+(c+d))\,$	由結合律
$=a+(b+(d+c))\,$	由交換律
$=a+(d+(b+c))\,$	由結合律
$=a+(d+(b+c))\,$	由結合律

2

$(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)\,$

$a+b+c+d=(a+c)+(b+d)\,$		由結合律
$a+c+b+d=(a+c)+(b+d)\,$		由交換律
$(a+c)+(b+d)=(a+c)+(b+d)\,$		由結合律

2 (alternative)

$(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)\,$

$a+(b+(c+d))=(a+c)+(b+d)\,$		由結合律
$a+((b+c)+d)=(a+c)+(b+d)\,$		由結合律
$a+((c+b)+d)=(a+c)+(b+d)\,$		由交換律
$a+(c+(b+d))=(a+c)+(b+d)\,$		由結合律
$(a+c)+(b+d)=(a+c)+(b+d)\,$		由結合律

3

$(a-b)+(c-d)=(a+c)+(-b-d)\,$

$a-b+c-d=(a+c)+(-b-d)\,$		由結合律
$a+c-b-d=(a+c)+(-b-d)\,$		由交換律
$(a+c)+(-b-d)=(a+c)+(-b-d)\,$		由結合律

14

$-2+x=4\,$

$x=4+2\,$

$x=6\,$

15

$2-x=5\,$
$-x=3\,$
$x=-3\,$		將兩邊乘以 -1。

第三節

30, 31, 32, 33

雖然這些可以透過手工完成，但練習建議你推匯出一個用於尋找最終人口資料的通用公式。以下公式足以解決所述問題，其中 $p\,$ 是初始人口， $x\,$ 是縮放因子（翻倍、三倍等）， $y_{1}\,$ 和 $y_{2}\,$ 分別是第一年和最後一年，並且 $n\,$ 是人口增加 $x\,$ 所需的年數。

$p\cdot x^{({\frac {y_{2}-y_{1}}{n}})}$

例如，32a

$200000\cdot 3^{({\frac {2215-1915}{50}})}=200000\cdot 3^{6}=145800000$

第 4 節

8-15

寫出不超過問題集中最大數字的 2 的冪。系統地檢查每個冪是否能整除給定數字，從最大的開始。

16-23

寫出不超過問題集中最大數字的 3 的冪。系統地檢查每個冪是否能整除給定數字，從最大的開始。

24

a)

首先檢查定義，如果 $a\equiv b{\pmod {5}}$ 並且 $x\equiv y{\pmod {5}}$ ，那麼 $a-b=5n\,$ 並且 $x-y=5m\,$ .

$a+x\equiv b+y{\pmod {5}}$ 意味著 $(a+x)-(b+y)=5k\,$ .

$(a+x)-(b+y)=(a-b)+(x-y)\,$

$(a+x)-(b+y)=5n+5m\,$

$(a+x)-(b+y)=5(n+m)\,$

令 $k=(n+m)\,$

$(a+x)-(b+y)=5k\,$

b)

再次檢查a）部分中的定義。我們有 $a-b=5n\,$ 和 $x-y=5m\,$ .

解出 $a\,$ 和 $x\,$

$a=5n+b\,$ 和 $x=5m+y\,$

$ax=(5n+b)(5m+y)\,$

$ax=25nm+5ny+5mb+by\,$

$ax=5(5nm+ny+mb)+by\,$

令 $t=5nm+ny+mb\,$ .

$ax=5t+by\,$

$ax-by=5t+by-by\,$

$ax-by=5t\,$ .

第 5 節

7

a)

120、720、5040 和 40320。

c)

${\binom {m}{n}}={\binom {m}{m-n}}$

${\frac {m!}{n!(m-n)!}}={\frac {m!}{(m-n)!(m-(m-n))!}}$ ,

${\frac {m!}{n!(m-n)!}}={\frac {m!}{(m-n)!(m-m+n)!}}$ ,

${\frac {m!}{n!(m-n)!}}={\frac {m!}{(m-n)!n!}}$

d)

${\binom {m}{n}}+{\binom {m}{n-1}}={\binom {m+1}{n}}$

${\frac {m!}{n!(m-n)!}}+{\frac {m!}{(n-1)!(m-n+1)!}}={\frac {(m+1)!}{n!(m-n+1)!}}$

將等式兩邊分別乘以 ${\frac {n}{n}}$ 和 ${\frac {(m-n+1)}{(m-n+1)}}$ ，將不必要的因子約分為 1。我們這樣做是為了得到分母 $n!(m-n+1)!$

$1\cdot {\frac {(m-n+1)}{(m-n+1)}}\cdot {\frac {m!}{n!(m-n)!}}+{\frac {n}{n}}\cdot 1\cdot {\frac {m!}{(n-1)!(m-n+1)!}}=1\cdot 1\cdot {\frac {(m+1)!}{n!(m-n+1)!}}$