數學課本/微積分（第三版）（0521867444）/第一章解答

問題 1

i

$ax=a\,$

$a\cdot (x\cdot a^{-1})=a\cdot a^{-1}=1$

$a\cdot (a^{-1}\cdot x)=1$

$(a\cdot a^{-1})\cdot x)=1$

$1\cdot x=1$

$x=1\,$

ii

$(x-y)(x+y)=(x\cdot (x-y)+y\cdot (x-y))$

$=(x^{2}-xy)+(xy-y^{2})\,$

$=x^{2}-xy+xy-y^{2}\,$

$=x^{2}-y^{2}\,$

iii

$x^{2}=y^{2}\,$，那麼

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=0\,$

要麼 $(x+y)=0\,$，這意味著 $x=-y\,$ 或者 $(x-y)=0\,$，這意味著 $x=y\,$。

iv

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\,$

$=(x-y)x^{2}+(x-y)xy+(x-y)y^{2}\,$

$=(x^{3}-x^{2}y+x^{2}y-xy^{2}+xy^{2}-y^{3}\,$

$=x^{3}-y^{3}\,$

v

$x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})\,$

$=x(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})-y(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})\,$

$=(x^{n}+x^{n-1}y+...+x^{2}y^{n-2}+xy^{n-1})-(x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+...+xy^{n-1}+y^{n})\,$

$=x^{n}-y^{n}\,$

請注意，中間兩項似乎不匹配，但如果您按照每個項的邏輯發展，您會發現兩邊每個項都有一個匹配的加法逆元。

vi

使用與iv相同的方法，展開表示式並消去。

問題 2

$x^{2}=xy\,$ 意味著 $x=y\,$，因此 $x-y=0\,$。步驟 4 需要除以 $x-y=0\,$，因此這是一個無效步驟。

問題 4

ii

所有 x 的值都滿足不等式，因為它可以改寫為 $-3<x^{2}\,$，而 $x^{2}>=0\,$ 對於所有 x 都成立。

iii

如果 $5-x^{2}<-2\,$，那麼 $x^{2}>7\,$。

因此，$x>{\sqrt {7}}\,$，或 $x<-{\sqrt {7}}\,$。

v

$x^{2}-2x+2$ 無法以其當前形式分解，因此我們首先將表示式的一部分轉換為完全平方

$(x^{2}-2x+1)+1>0\,$

然後我們對 $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\,$ 完成平方，所以現在我們有表示式

$(x-1)^{2}+1>0\,$，對於所有 x 的值，該表示式都為正數。

vi

如果 $x^{2}+x+1>2\,$，則 $x^{2}+x-1>0\,$.

$x^{2}+x-1=\left(x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\left(x-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)$

因此 $x<-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$，或 $x>{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$.

viii

配方

$x^{2}+x+1=x^{2}+x+{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}$

因此，$\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}>0$.

ix

首先求解 $(x-\pi )(x+5)>0\,$，然後分別考慮第三個因子 $(x-3)\,$ 的兩種情況，從而得到 $-5<x<3\,$，或 $x>\pi \,$

x

$x>{\sqrt {2}}$，或 $x<{\sqrt[{3}]{2}}$

xi

如果 $2^{x}<8\,$，則在兩邊取以 2 為底的對數

$log_{2}2^{x}<log_{2}8=x<3\,$

xii

$x<1\,$

xiii

注意：第三版中的答案提供了$0<x<1$ 或者 $x>1$。代入值 $x>1$，例如 10，得到我們 $1/10-1/9<0$，所以我認為這是一個印刷錯誤或錯誤的答案。

如果 ${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{1-x}}>0$，那麼 ${\frac {1}{x-x^{2}}}>0$，這隻有在 $0<x<1$ 時為正，因為 $x^{2}>x$。

問題 5

i

$a+c<b+d\,$

$=(b+d)-(a+c)>0\,$

$=(b-a)+(d-c)>0\,$，這是真的，因為 $(b-a),(d-c)>0\,$

ii

$b-a>0\,$

$=-a+b>0\,$

$=-a-(-b)>0\,$

$=-b<-a\,$

iv

$(b-a),c>0\,$, 所以 $c(b-a)>0\,$.

$c(b-a)=bc-ac\,$, 所以 $ac<bc\,$.

vi

$a>1\,$, 所以 $1-a>0\,$.

$a(1-a)>0\,$

$=a^{2}-a>0\,$

$=a^{2}>a\,$

viii

如果 $a$ 或 $c$ 為 0，則根據定義 $ac<bd$.

否則，我們已經證明了，對於 $a,c>0$，$ac<bc$ 成立。因此，如果 $c<d$，$ac<bd$ 為真。

ix

如果 $a=0$，那麼 $a^{2}<b^{2}$，因為 $b^{2}>0$。

如果 $0<a<b$，那麼 $a^{2}<ab$。由於 $ab<b^{2}$，我們有 $a^{2}<b^{2}$。