數學教科書/證明與基礎/第 1 章 的解答

練習 1.2.1

陳述：4. "美國有 49 個州"

非陳述：1. "今天天氣很好" → 觀點 2. "去睡覺" → 命令 3. "明天會下雪嗎？" → 問題 5. 我喜歡吃水果，而你經常想著去西班牙旅行。 6. 如果我們今晚去，保姆會不高興。 7. "如果你在家，星期四給我打電話" → 命令

練習 1.2.2

1

$4<3$ → 這是一個陳述。它斷言 4 小於 3。這是假的，所以這是一個錯誤的陳述。

2

如果 $x\geq 2$ 那麼 $x^{3}>1$ → 注意，這不是一個簡單的陳述。可以稱它為一個複合陳述，它有一個前提和一個結果。前提是陳述 $x\geq 2$：x 大於或等於 2。結果陳述是 $x^{3}>1$：x 的三次方大於 1。整個複合陳述基本上是在說，給定前提 ($x\geq 2$)，我們將得到結果 ($x\geq 2$)。本書後面將解釋這種型別的陳述。

3

$y<7$ → 這是一個陳述，但它的真假取決於y的值。如果y取小於7的數字，則該陳述為真；如果y取大於或等於7的值，則該陳述變為假。

4

$x+y=z$ → 這也是一個陳述，但同樣地，該陳述的真假取決於x、y和z的值。例如，x=4，y=3，z=7使該陳述為真。

5

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ → 這也是一個陳述。您可能在代數課程中見過它。實際上，我們可以證明無論a和b的值是什麼，這個陳述都是真的，展開平方$(a+b)^{2}$。這可以被認為是一個**證明**，這是一個在本書後面展示的概念。

6

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ → 這也是一個陳述，您可能在之前見過它，它被稱為勾股定理，描述了直角三角形的兩條直角邊（a和b）和斜邊（c）之間的關係。可以證明，對於直角三角形，這個定理總是成立的。在其他情況下，它的真值取決於a、b的值。

7

如果$w=3$ 那麼$z^{w}\neq 0$ → 這也是一個複合語句，類似於 **(2)** 中的語句，斷言如果w的值為3，那麼將z提高到w次冪將得到一個與零不同的值。同樣，這取決於z的值，但是對於某些數字集合，可以證明這個陳述總是成立的，但是這將在本書後面的內容中得到更詳細的解釋。

練習 1.2.3

1

$P\land Q$ → 我喜歡水果，我不喜歡麥片。

2

$Q\lor R$ → 我不喜歡麥片，或者我會做煎蛋卷（注意，這也暗示了“我不喜歡麥片，而且我會做煎蛋卷”，這是一個在英語中丟失的重要數學區別）。

3

$\neg R$ → 我不會做煎蛋卷。（你可以說我不會做煎蛋卷，但是根據上下文，區分否定和陳述很重要）。

4

$\neg (P\lor Q)$ → 我不喜歡水果，或者我不喜歡麥片（這可能會與語句 $\neg P\lor Q$ 混淆。可以使用標點符號來區分，例如：我不喜歡水果，或者我不喜歡麥片。這裡，逗號將語句 $\neg P$ 與 $Q$ 分開。根據德摩根定律，另一種說法是“我不喜歡水果，而且我不喜歡麥片”。

5

$\neg P\lor \neg Q$ → 我不喜歡水果，或者我喜歡麥片（這裡我們將否定直接融入語句以使它更簡潔）。

6

$\neg P\lor Q$ → 我不喜歡水果，或者我不喜歡麥片。

7

$(R\land P)\lor Q$ → 我知道怎麼做煎蛋卷，而且我喜歡水果，或者我不喜歡麥片。

8

$R\land (P\lor Q)$ → 我知道怎麼做煎蛋卷，而且我喜歡水果，或者我不喜歡麥片。

練習 1.2.4

在本練習中，我們使用各種形式來寫條件語句。其中一些可能一開始不太清楚，因此請在書中回顧這些形式。在日常生活中，有許多方法可以表達條件，而且通常人們不會對語言過於嚴謹，而是依靠語境來理解所說的話。在數學中，語言非常重要，因此你必須非常小心，並儘量消除任何歧義。

1

$Z\rightarrow X$ → 如果我正在吃義大利麵，那麼我很開心。

2

$X\leftrightarrow Y$ → 當且僅當我在看電影時，我才感到開心。

3

$(Y\lor Z)\rightarrow X$ → 如果我在看電影，或者正在吃義大利麵，那麼我很開心。

4

$Y\lor (Z\rightarrow X)$ → 我在看電影，或者如果我正在吃義大利麵，那麼我很開心。

5

$(Y\rightarrow \neg X)\land (Z\rightarrow \neg X)$ → 我不開心，前提是我正在看電影，並且我假設我在吃義大利麵。

6

$(X\land \neg Y)\leftrightarrow (Y\lor Z)$ → 我很開心，並且我沒有看電影當且僅當我在看電影或吃義大利麵。

練習 1.2.5

1

弗雷德不喜歡吃無花果。 → $\neg R$.

2

弗雷德有一頭紅頭髮，並且沒有大鼻子。 → $X\land \neg Y$.

3

弗雷德有一頭紅頭髮，或者他喜歡吃無花果。 → $X\lor R$.

4

弗雷德喜歡吃無花果，並且他有一頭紅頭髮或者他有一個大鼻子。 → $R\land (X\lor Y)$.

5

弗雷德喜歡吃無花果，並且他有一頭紅頭髮，或者他有一個大鼻子。 → $(R\land X)\lor Y$.

6

弗雷德沒有大鼻子，或者他有一頭紅頭髮，並非如此。 → $\neg (Y\lor X)$.

7

弗雷德沒有大鼻子，或者他有一頭紅頭髮，並非如此。 → $\neg Y\lor X$.

8

弗雷德有一個大鼻子和一頭紅頭髮，或者他有一個大鼻子並且喜歡吃無花果。 → $(Y\land X)\lor (Y\land R)$.

練習 1.2.6

1

如果這房子有 30 年的歷史，那麼它很醜。→ $F\rightarrow G$.

2

如果房子是藍色的，那麼它很醜或者它有 30 年的歷史。→ $E\rightarrow (G\lor F)$.

3

如果房子是藍色的，那麼它很醜，或者它有 30 年的歷史。→ $(E\rightarrow G)\lor F$（我們將結果語句放在括號中以澄清並消除任何歧義。有時假定蘊涵優先於除雙條件運算子之外的其他邏輯運算子，因此你可以從語句中刪除一些括號。但最好使用括號來消除可能出現的任何歧義）。

4

房子不醜當且僅當它有 30 年的歷史。→ $\neg G\leftrightarrow F$.

5

如果房子是藍色的，那麼它有 30 年的歷史，並且如果它有 30 年的歷史，那麼它不醜。→ $(E\rightarrow F)\land (F\rightarrow \neg G)$.

6

房子醜陋的必要且充分條件是它既醜陋又存在 30 年曆史。→ 請記住，當我們有“必要且充分”這個表達時，我們指的是雙條件語句，因此：$G\leftrightarrow (G\land F)$.

練習 1.2.7

1

$A\lor C$→ 由於A為真，因此無論C的真值如何，析取（或）語句都為真。

2

$(C\land D)\lor B$→ C為假，因此無論D的真值如何，合取（與）語句都為假。並且由於B的真值也為假，因此析取語句將為假。

3

$\neg (A\land B)$→ B為假，因此合取語句為假。但隨後出現了合取語句的否定，因此整個語句將為真。

4

$\neg D\lor \neg C$→ C為假，但經過否定後變為真。這使得整個析取語句為真。

5

$(D\land A)\lor (B\land C)$ → A 為真，因此左邊的 AND 語句也為真。因此，整個 OR 語句為 **真**。

6

$C\lor [D\lor (A\land B)]$ → 由於 D 為真，因此（我們不需要擔心 AND 語句）內部的 OR 語句為真，隨後外部的 OR 語句為 **真**。

練習 1.2.8

1

$Z\rightarrow Y$ → 由於前件（Z）為假，因此該語句為 **真**（假前件意味著條件語句無論後件的真值如何都為真）。

2

$X\leftrightarrow Z$ → 語句 X 和 Z 的真值相同（假），因此該語句為 **真**。

3

$(Y\leftrightarrow W)\land X$ → X 的真值為假，因此整個語句為 **假**。

4

$W\rightarrow (X\rightarrow \neg W)$ → 在內部的條件語句中，我們有一個假前件（X），因此條件語句為真。然後外部的條件語句為 **真**，因為前件（W）和後件（內部的條件語句）都為真。

5

$[(Y\rightarrow W)\leftrightarrow W]\land \neg X$ → AND 運算子左邊的內部條件語句為真，因為 Y 和 W 都為真。然後等價關係也為真，因此 AND 運算子整個左側為真。由於 X 被否定，這使得 AND 運算子的右側為真，因此整個語句為 **真**。

6

$(W\rightarrow X)\leftrightarrow \neg (Z\lor Y)$. → 等價關係的左側為假，因為 W 是一個真的前件，而 X 是一個假的後件。等價關係的右側也為假，因為 Y 為真使得 OR 部分為真，但否定改變了真值，因此它為假。我們得到：左側為假，右側為假，使得等價關係為 **真**。

練習 1.2.9

令 X = "Flora 喜歡水果"，Y = "Flora 不喜歡胡蘿蔔"，Z = "Flora 喜歡堅果"，W = "Flora 不喜歡蕪菁"。我們假設所有這些語句都為真，它們的否定顯然為假。

1

Flora 喜歡水果和胡蘿蔔 → $X\land \neg Y$. Y 語句的否定為假，因此整個語句為 **假**。

2

Flora 喜歡堅果或蕪菁甘藍，但她不喜歡胡蘿蔔。→ $(Z\lor \neg W)\land Y$. Z 的真值為真，所以 OR 部分為真。現在，Y 為真，所以 AND 部分為 **真**。

3

Flora 喜歡胡蘿蔔，或者她喜歡水果和堅果。→ $\neg Y\lor (X\land Z)$. X 和 Z 都為真，所以 AND 語句為真，進而 OR 語句為 **真**。

4

Flora 喜歡水果或堅果，而且她喜歡胡蘿蔔或蕪菁甘藍。→ $(X\lor Z)\land (\neg Y\lor \neg W)$. 由於 Y 和 W 都被否定，所以它們都為假，右邊的 OR 語句變為假。這足以使整個語句為 **假**。

5

Flora 喜歡蕪菁甘藍，或者她喜歡水果，並且喜歡胡蘿蔔或蕪菁甘藍。→ $\neg W\lor (X\land (\neg Y\lor \neg W))$. 內部的 OR 為假，因為 Y 和 W 都被否定，所以它們都為假。因此，AND 語句變為假，這使得外部 OR 的右手邊變為假。OR 的左手邊為假（W 的否定，一個真的語句）。由於兩邊都是假，所以整個語句為 **假**。

練習 1.2.10

令 X = "Hector 喜歡豆子"，Y = "Hector 不喜歡豌豆"，Z = "Hector 不喜歡扁豆"，W = "Hector 喜歡葵花籽"。假設所有語句都為真，所以它們的否定都為假。

1

如果 Hector 喜歡豆子，那麼他喜歡扁豆。→ $X\rightarrow \neg Z$. 由於有一個真的前件 (X) 和一個假的後件（Z 的否定），所以這個語句為 **假**。

2

Hector 喜歡扁豆當且僅當他喜歡豌豆。→ $\neg Z\leftrightarrow \neg Y$. 由於 Z 和 Y 都具有相同的真值（假），所以等價語句為 **真**。

3

Hector 喜歡葵花籽，如果他喜歡扁豆，那麼他喜歡豆子。→ $W\land (\neg Z\rightarrow X)$. AND 右手邊的後件為真，因為它有一個假的先件（Z 的否定）。左手邊為真，所以整個語句為 **真**。

4

如果 Hector 喜歡豆子，那麼他喜歡豌豆和葵花籽。→ $X\rightarrow (\neg Y\land W)$. AND 語句為假，因為 Y 被否定。有一個真的先件 (X) 和一個假的後件（AND 語句），所以這個語句為 **假**。

5

如果 Hector 喜歡扁豆，那麼他喜歡葵花籽，或者 Hector 喜歡扁豆當且僅當他喜歡豌豆。→ $(\neg Z\rightarrow W)\lor (\neg Z\leftrightarrow \neg Y)$. 在等式右邊，Y 和 Z 都被取反，所以兩者都為假，並且由於它們的真值相同，所以等價關係為真。因此，OR 語句為 **真**。

6

對於 Hector 來說，喜歡豆子和扁豆的充分必要條件是，他喜歡豌豆或葵花籽。→ $(X\land \neg Z)\leftrightarrow (\neg Y\lor W)$. 等式左邊為假，因為 AND 中有一個假語句（Z 的否定）。在等式右邊，由於 OR 中有一個真語句（W），所以等式右邊為真。但是，等式的兩邊真值不同，所以整個語句最終為 **假**。

練習 1.2.11

1

$P\land \neg Q$ → ${\begin{array}{c | c | c | c }P&Q&\neg Q&P\land \neg Q\\\hline T&T&F&F\\T&F&T&T\\F&T&F&F\\F&F&T&F\\\end{array}}$

2

$(R\lor S)\land \neg R$ → ${\begin{array}{c | c | c | c | c}R&S&\neg R&R\lor S&(R\lor S)\land \neg R\\\hline T&T&F&T&F\\T&F&F&T&F\\F&T&T&T&T\\F&F&T&F&F\\\end{array}}$

3

$X\lor (\neg Y\lor Z)$ → ${\begin{array}{c | c | c | c | c | c}X&Y&Z&\neg Y&\neg Y\lor Z&X\lor (\neg Y\lor Z)\\\hline T&T&T&F&T&T\\T&T&F&F&F&T\\T&F&T&T&T&T\\T&F&F&T&T&T\\F&T&T&F&T&T\\F&T&F&F&F&F\\F&F&T&T&T&T\\F&F&F&T&T&T\\\end{array}}$

4

$(A\lor B)\land (A\lor C)$ → $(P\land R)\lor \neg (Q\land S)$