數學教科書/證明和基礎/第 2 章 的解答

練習 2.2.1

1

如果 $r$ 是一個實數，那麼半徑為 $r$ 的圓的面積是 $\pi r^{2}$.

2

如果有一條直線 $l$ 和一個不在 $l$ 上的點 $P$，那麼只有一條包含 $P$ 且平行於 $l$ 的直線 $m$。

3

如果 $ABC$ 是一個邊長分別為 $a,b,$ 和 $c$ 的三角形，那麼

${\frac {a}{sinA}}={\frac {b}{sinB}}={\frac {C}{sinC}}$

4

如果 e 的指數為 x+y，則它等價於 e 的乘積，每個 e 分別乘以 x 和 y 的指數。

5

如果 $f$ 是區間 [a, b] 上的連續函式，且 $F$ 是任何滿足 $F'(x)=f(x)$ 的函式，則 f(x) 在 [a,b] 上的積分等於 F(b) - F(a)。

練習 2.2.2

1

如果 $1|n\,$，則存在一個整數 q 使得 $1\cdot q=n$。令 q = n。

2

如果 $n|n\,$，則存在一個整數 q 使得 $n\cdot q=n$。令 q = 1。

3

如果 $m|n\,$，則存在一個整數 q 使得 $m\cdot q=n\,$。這意味著 $-mq=-n\,$，因此 $m\cdot -q=-n\,$，因此 $m|-n\,$。

練習 2.2.3

1

如果 n 是一個偶數，則對於某個整數 k，$n=2k$。

令 $j=3k$。

然後 $3n=3(2k)=2(3k)=2j$。

2

如果 n 是奇數，那麼對於某個整數 k，$n=2k+1$.

設 $j=3k+1$.

那麼 $3n=3(2k+1)=6k+3=6k+2+1=2(3k+1)+1=2j+1$.

練習 2.2.4

如果 n 是偶數，那麼 $n=2k$。對於整數 j 和 k，設 $j=2k^{2}$.

$n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2(2k^{2})=2j$，所以 $n^{2}$ 是偶數。

如果 n 是奇數，那麼 $n=2k+1$。對於整數 j 和 k，設 $j=2k^{2}+2k$.

$n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1=2j+1$，所以 $n^{2}$ 是奇數。

練習 2.2.6

如果 a|b 且 b|bm，那麼 a|bm，這意味著對於某個整數 j，aj = bm。

同樣地，如果 a|c 且 c|cn，那麼 a|cn，這意味著對於某個整數 i，ai = cn。

我們令 x = (j+i)。

ax = aj+ai

ax = bm+cn

這意味著 a|(bm+cn)。

另一個證明：假設 $a|b$ 且 $a|c$。因此存在整數 $q$ 和 $r$ 使得 $aq=b$ 且 $ar=c$。定義整數 $k$ 為 $k=qm+rn$。那麼

$ak=a(qm+rn)=(aq)m+(ar)n=bm+cn$

因為 $ak=bm+cn$，所以 $a|(bm+cn)$

習題 2.2.7

$a|b$ 意味著存在某個整數 x，使得 $ax=b$。

$c|d$ 意味著存在某個整數 y，使得 $cy=d$。

$ac|bd=ac|ax\cdot cy\,$

因此，

$acj=ax\cdot cy$ 對於某個整數 j 成立。

$acj=ac(xy)\,$

令 $j=xy\,$，因此 $ac|bd\,$.

練習 2.2.8

假設 $a|b$。因此存在一個整數 $q$，使得 $aq=b$。如果 $n$ 是一個正整數，定義整數 $k$ 為 $k=q^{n}$。那麼

$a^{n}k=a^{n}(q^{n})=(aq)^{n}=b^{n}$

因為 $a^{n}k=b^{n}$，所以 $a^{n}|b^{n}$

練習 2.3.2

反證法證明

假設 $n$ 不是偶數，則 $n=2k+1$ 且 $n^{2}=(2k+1)^{2}=(2k+1)(2k+1)=(4k^{2}+4k)+1=2(2k^{2}+2k)+1$.

令 $i=(2k^{2}+2k)$，那麼 $n^{2}=2i+1$，由此可知，如果 $n$ 不是偶數，那麼 $n^{2}$ 也不是偶數。

練習 2.3.3

$a$ 不能整除 $bc$ 是正確的。假設 $a|b$。這意味著存在一個整數 $n$，使得 $b=an$。那麼，我們有

$bc=(an)c=a(nc)$

我們可以考慮整數 $k=nc$。因此，我們有 $bc=ak$。那麼 $a|bc$，矛盾！

練習 2.3.4

令 $a$ 為一個非零有理數，因此存在兩個不同的非零整數 $m$ 和 $n$，使得 $a={\frac {m}{n}}$。令 $b$ 為一個無理數。

假設產品$ab$是一個有理數，因此存在不為零的整數$p$和$q$，使得$ab={\frac {p}{q}}$，也就是${\frac {m}{n}}b={\frac {p}{q}}$，由此可知$b={\frac {np}{mq}}$。

最後一個等式意味著$b$是一個有理數，這與我們假設$b$是無理數相矛盾。因此，我們可以得出結論，產品$ab$必須是無理數。

練習 2.3.5

假設$d|a$並且$d|b$，但$d$不能整除$c$。因此，存在整數$p$和$q$，使得$dp=a$並且$dq=b$。假設方程$ax+by=c$有一個解，其中$x$和$y$是整數，那麼

$ax+by=c$

$(dp)x+(dq)y=c$

$d(px+qy)=c$

令$k=px+qy$，則$dk=c$，因此$d|c$，這是一個矛盾。