數學教科書解題/證明與基礎/第 6 章

第 6.3 節

6.3.1

證明以下等式對所有自然數 n 成立。

(I) 1+3+5+...+(2n-1)=n^2

首先，我們證明基本情況。注意 1 = 1^2。接下來，假設對於任何整數 k，等式 (I) 成立。在 (I) 的兩邊加上 (2(k+1)-1)=2k+1。這產生了 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+2k+1。注意 k^2+2k+1 = (k+1)^2。因此，1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^2。所以，如果 (I) 對給定的整數 k 成立，那麼它也對 k+1 成立。由於已經證明 (I) 對 k=1 成立，因此根據歸納法，(I) 必然對所有自然數 n 成立。

(II)

6.3.11

微不足道