Hartshorne 代數幾何/Čech 上同調解題

練習 4.7

問題陳述

令 $f$ 為一個方程，它在 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 中切出一個 d 次曲線 $X$。假設 $X$ 不包含點 $(1,0,0)$。使用 Čech 上同調計算 $H^{0},H^{1}$ 的維數，其中 $X$ 是 $X$。

解答

d 次曲線 $X$ 是 $f$ 的零點軌跡，因此我們有以下短精確序列

$0\rightarrow {\mathcal {O}}(-d)\rightarrow {\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow 0$

其中 ${\mathcal {O}}$ 在不加任何修飾的情況下表示 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 的結構層。具體來說，左側的對映是乘以我們的多項式 f，它是一個 d 次對映 ${\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}$，但它是一個 0 次對映 ${\mathcal {O}}(-d)\rightarrow {\mathcal {O}}$。這是一個單射對映，我們精確地透過它的像進行商，因此它等價於與閉子概形相關的通常的短正合序列。

然後應用 H 函子得到一個長正合序列

$0\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}(-d))\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}})\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}}(-d))\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}})\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{2}({\mathcal {O}}(-d))\rightarrow H^{2}({\mathcal {O}})\rightarrow H^{2}({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow 0$

根據維數消失，它在更高次消失。

現在弄清楚這些東西是什麼

$H^{i}({\mathcal {O}}(e))=0$ 對於 $0<i<r$ 在射影空間 $\mathbb {P} _{A}^{r}$ 中。

這給了我們 $H^{1}({\mathcal {O}}(-d))=H^{1}({\mathcal {O}})=0$。此外，假設次數必須為正 $\Gamma ({\mathcal {O}}(-d))=0$。

$H^{2}({\mathcal {O}}_{X})$ 根據維數消失定理，實際上又消失了。 $\Gamma ({\mathcal {O}})=k$，無論是根據一般知識（常數是任何標準開仿射空間上唯一全域性定義的零次齊次多項式），還是根據以下事實：$h^{0}({\mathcal {O}}(e))={\dbinom {r+e}{r}}$ 一般情況下；當 e = 0 時，這將在 k 上給出維數 1。($h^{i}:={\text{dim}}H^{i}$）。

我們將使用的最後一個技巧是塞爾對偶性（這裡只針對射影空間）

$\Gamma ({\mathcal {O}}(-e))\cong (H^{r}(e-r-1))^{\vee }$，其中 $\cdot ^{\vee }$ 表示對偶。

由於向量空間的維數（在該上下文中，這些 H 是向量空間，因為 Hartshorne 中的 III 5.2，第 228 頁）與其對偶的維數相同，所以 ${\text{dim}}H^{2}({\mathcal {O}})={\text{dim}}(H^{2}({\mathcal {O}}))^{\vee }$。此外，$(H^{2}({\mathcal {O}}))^{\vee }\cong \Gamma ({\mathcal {O}}(-r-1))$，其維數為${\dbinom {-1}{r}}=0$，所以它為 0。因此 $H^{2}({\mathcal {O}})=0$。

此外，${\text{dim}}H^{2}({\mathcal {O}}(-d))={\text{dim}}(H^{2}({\mathcal {O}}(-d)))^{\vee }$，並且利用相同的技巧（Serre 對偶性），$(H^{2}({\mathcal {O}}(-d)))^{\vee }\cong \Gamma ({\mathcal {O}}(d-r-1))$，其維度是眾所周知的（例如，Vakil 14.1.c）${\dbinom {r+d-r-1}{r}}={\dbinom {d-1}{2}}={\dbinom {d-1}{d-3}}={\dfrac {1}{2}}(d-1)(d-2)$。

將以上所有結果結合起來，我們得到兩個短正合序列

$0\rightarrow k\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow 0$

$0\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}(d-r-1))\rightarrow 0$

因此我們有$h^{0}({\mathcal {O}}_{X})=1$ 和 $h^{1}({\mathcal {O}}_{X})={\dfrac {1}{2}}(d-1)(d-2)$。