Hartshorne 代數幾何/射影態射解題
[Hartshorne 5.14]
Let $X$ be a subscheme of projective space $P^{r}_{A}$, where $A$ is a ring.
We define the \textbf{homogeneous coordinate rings} $S$ of $X$ for the given embedding
to be $A[x_{0},\cdots,x_{r}]/I$, where $I$ is the ideal $\Gamma_{\ast}(\mathscr{I}_{X})$.
A subscheme $X \subseteq P^{r}_{A}$ is \textbf{projectively normal} for the given embedding, if its homogenous
coordinate ring is an integral closed domain. Now assume that $k$ is an algebraic field, and that $X$ is a connected
normal closed subscheme of $P^{r}_{k}$. Show that for some $d>0$, the $d-$uple embedding of $X$ is projectively normal.
證明
證明：\textbf{ 論斷 I}: $S$ 是一個整環。\\ 這很容易！\\
令 $S_{x_{i}}, 0\leq i\leq r,$ 為 $S$ 的一個區域性化。它是一個分次環。對於任意元素 $x\in S_{x_{i}}$，我們定義 $x$ 的次數 $deg(x)$ 為 $x$ 的最低齊次部分的次數。構造一個環 $\Gamma=\{x|x\in \cap_{0\leq i\leq r}S_{x_{i}}, deg(x)\geq 0\}$，
$\Gamma\subseteq Q(S) $ a subring of the quotient filed of $S$. Obviously, we have $S\subseteq \Gamma$. \\
\textbf{ 論斷 II}: $\Gamma$ 是 $S$ 上的整環，且 $\Gamma_{\geq n}=S_{\geq n}$，對於足夠大的 $n$。\\
令 $y\in \Gamma$。那麼根據 $\Gamma$ 的定義，我們有對於任意 $x_{i}, 0\leq i\leq r,$，存在整數 $n_{i}$，使得 $x_{i}^{n_{i}}y\in S$。因此，存在整數 $N$，使得 $ yS_{\geq N}\subseteq S$。特別是，我們有 $x_{0}^{N}y\in S$。另一方面，由於 $y$ 的次數 $deg(y)\geq 0$，我們有對於任意整數 $r$，$x^{N}_{0}y^{r}\in S$。因此我們有 $S[y]\subseteq S\frac{1}{x_{0}^{N}}$，其中 $S\frac{1}{x_{0}^{N}}$ 是一個有限生成的 $S$ 模。所以 $y$，以及整個 $\Gamma$ 是 $S$ 上的整環。\\
此外，由於 $S$ 是一個有限生成的域 $k$ 上的整環，我們有 $\Gamma$ 作為 $S$ 模，必須是有限的。根據我們上面使用的方法，我們可以證明對於任意 $y\in \Gamma$，存在整數 $N$，使得 $yS_{\geq N}\subseteq S$。因此，我們得到對於足夠大的 $n$，$\Gamma_{\geq n}=S_{\geq n}$。\\
構造環 $^{i}\Gamma=\{x|x\in S_{x_{i}}, deg(x)\geq 0\}$，$0\leq i\leq r.$
Of course, we have $\Gamma=\cap_{0\leq i\leq r} {^{i}\Gamma}.$\\
另一方面，很容易看出 $^{i}\Gamma$ 等於環 $S_{(x_{i})}[x_{i}]$，分別是 $S_{(x_{i})}$ 上的多項式環。由於 $S_{(x_{i})}$ 是整閉域，所以 $^{i}\Gamma$，以及更進一步的 $\Gamma$ 也是整閉域。\\
由於 $k$ 是代數閉的，我們有 $\Gamma^{(d)}=S^{(d)}$，對於足夠大的 $d$。\\
現在令 $y\in Q(\Gamma^{(d)}),$ $\Gamma^{(d)}$ 的商域，它是 $\Gamma^{(d)}$ 上的整環。然後由於 $\Gamma$ 是整閉的，我們有 $y\Gamma$。另一方面，由於 $y$ 是 $\Gamma^{(d)}$ 上的近整環，很容易看出 $y\in \Gamma^{(d)}$。所以我們證明了對於足夠大的 $d$，-uple 嵌入 $S^{(d)}$ 是整閉的。--