設 X {\displaystyle X} 的虧格為 g {\displaystyle g} 。由於 X {\displaystyle X} 是 1 維的，存在一點 Q ∈ X {\displaystyle Q\in X} ， Q ≠ P {\displaystyle Q\neq P} 。選擇一個 n > max ( g , 2 g − 2 , 1 ) {\displaystyle n>\max(g,2g-2,1)} 。那麼對於度數為 n {\displaystyle n} 的除子 D = n ( 2 P − Q ) {\displaystyle D=n(2P-Q)} ， l ( K − D ) = 0 {\displaystyle l(K-D)=0} （例 1.3.4），因此黎曼-羅赫定理給出 l ( D ) = n + 1 − g > 1 {\displaystyle l(D)=n+1-g>1} 。因此，存在一個有效除子 D ′ {\displaystyle D'} ，使得 D − D ′ = ( f ) {\displaystyle D-D'=(f)} 。由於 ( f ) {\displaystyle (f)} 的度數為 0 (II 6.10)， D ′ {\displaystyle D'} 的度數為 n {\displaystyle n} ，所以 D ′ {\displaystyle D'} 不能有一個足夠高的階數的零點來消除 D {\displaystyle D} 在階數為 2 n {\displaystyle 2n} 處的極點。因此， f {\displaystyle f} 在除 P {\displaystyle P} 之外的所有地方都是正則的。
