加法合成

簡介

如前所述第 1 節中，正弦波可以被認為是聲音的基石。事實上，19 世紀數學家約瑟夫·傅立葉證明了任何週期函式都可以表示為一系列不同頻率和幅度的正弦函式。這種用正弦項構造複雜聲音的概念是加法合成的基礎，有時也稱為傅立葉合成，原因如上所述。除此之外，加法合成的概念也自管風琴問世以來就存在了，管風琴中不同音高不同的管道被組合起來創造聲音或音色。

加法形式的簡單框圖可能看起來像圖 6.1，它具有基於傅立葉級數的簡化數學形式

f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(f_{n}t)

其中 $a_{0}$ 是整個函式的偏移值（通常為 0）， $a_{n}$ 是每個正弦項的幅值權重，以及 $f_{n}$ 是頻率乘數。使用數百個具有各自頻率和幅值權重的項，我們可以設計和指定一些極其複雜的聲音，尤其是在我們可以隨時間推移調節引數的情況下。自然聲音的一個關鍵特徵是它們具有動態的頻率響應，不會保持固定。然而，加法合成系統的一種流行方法是使用作為基頻整數倍數的頻率，這被稱為諧波加法合成。例如，如果第一個振盪器的頻率， $f_{1}$ 表示聲音的基頻為 100 Hz，則第二個振盪器的頻率將為 $f2=2f_{1}$ ，第三個 $f3=3f_{1}$ 等等。這一系列正弦波產生了一個均勻的“諧波”聲音，可以描述為“音樂”。另一方面，不以整數相關的振盪器頻率關係被稱為“非諧波”，往往比較嘈雜，並具有鐘聲或其他打擊樂器的聲音特徵。

在加法合成中構建常見的諧波波形

如果我們知道第一個 $x$ 個正弦分量的振幅權重和頻率成分，我們可以使用一個包含 $x$ 個振盪器的加法系統來重建該波形。常見的波形方波、鋸齒波和三角波都是諧波波形，因為它們包含的正弦分量的頻率都是基波頻率的整數倍。區分它們的關鍵在於它們每個正弦分量的振幅權重都不同。**圖 6.2** 展示了當一組具有獨特振幅權重的正弦波疊加在一起時，時域波形的外觀；在這種情況下，波形開始接近方波，並且隨著新增的分量的增加，精度也隨之提高。注意，為了構建方波，我們只包含奇數次諧波 - $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 等的振幅權重為 0。下面是一個表格，展示了常見波形的偏振幅權重。

波形	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	$a_{8}$	$a_{9}$	一般規則
正弦波	1	0	0	0	0	0	0	0	0
方波	1	0	1/3	0	1/5	0	1/7	0	1/9	$1/x$ 對於奇數 $x$ 。
三角波	1	0	-1/9	0	1/25	0	-1/49	0	1/81	$1/x^{2}$ 對於奇數 $x$ ，交替加減。
鋸齒波	1	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	1/9	$1/x$

從圖 6.2和表格中可以得出的結論是，要建立與第 5 節中介紹的理想化數學波形形式非常接近的波形，需要大量的頻率偏音。因此，很明顯，加法合成技術可能不是生成這些形式的最佳方法。加法合成的優勢在於我們可以控制聲音的每個偏音成分，這可以產生一些非常複雜和奇妙的效果。透過不斷修改每個振盪器的頻率和振幅值，可能性是無限的。下面舉例說明了控制每個成分振盪器的權重和頻率的一些方法。

手動控制。使用者使用外部控制裝置（通常是 MIDI）控制一組振盪器，即時調整數值。多個人可以一起加入並根據自己的意願更改/修改音色。

外部資料。從另一個來源獲取數字資訊並將其轉換為適當的頻率和振幅值。變化的資料來源將有效地“控制”音色結果。眾所周知，作曲家會使用來自自然資源的資料或從有趣的幾何、隨機和數學模型中得出的片段。

遞迴資料。給定一組源值和一組演算法規則，控制引數會參考輸入到系統中的上一個值以確定下一個結果。使用者可能希望“干預”系統以將過程引導到新的路徑。參見馬爾可夫鏈。

但是，有一個主要考慮因素是計算能力：複雜的聲音可能需要許多振盪器同時執行，這將給相關係統帶來巨大的壓力。

加法重合成

在第 1 節中提到，就像可以使用加法技術構建波形一樣，我們也可以分析和分解波形。可以分析錄製聲音的頻率偏音，然後使用一系列正弦偏音重新合成聲音的表示形式。透過在頻域計算偏音的頻率和振幅權重（通常使用快速傅立葉變換），加法重合成系統可以為每個偏音在相同頻率構建一個權重相等的正弦波。較舊的技術依賴於一組濾波器來分離每個正弦波；它們的振幅變化用作使用者控制下新一組振盪器的控制函式。由於聲音由系統內的振盪器組表示，因此使用者可以調整任何一組偏音的頻率和振幅。可以透過對音色或整體振幅包絡進行更改來“重塑”聲音。例如，可以將諧波聲音改造成非諧波聲音，反之亦然。