第 2 章 - 軌道力學

1.0 - 導言

 

 宇宙中的物體相對於彼此以及整個宇宙快速運動，主要是在引力的影響下。這與地球的固體表面形成對比，地球表面的各個部分彼此靜止或移動速度非常慢。天體力學是研究太空自然物體運動的學科，而航天動力學或軌道力學則是將相同的原理應用於人造物體，並增加了推力和升力等人工力。

 行星、月球和太陽的運動自古以來就被人們研究，大約 500 年前開始進行科學研究。隨著人造航天器的出現，該學科已經從僅僅觀察自然天體轉變為規劃和執行到天體及其周圍的探測任務。當然，該學科與空間系統相關聯，因為前往目標目的地或軌道需要使用天體力學和軌道力學來計算該目的地將在哪裡以及如何到達那裡。

 當需要高精度時，太空旅行是一個複雜的學科。非球形物體的引力、光壓等微弱效應必須考慮在內。本章只涵蓋一些基本概念和簡單的例子。更詳細和深入的資訊可以在

• 華夏公益教科書航天動力學，以及維基百科文章類別：航天動力學，以及軌道力學文章中提到的航天動力學系列。
• 教科書，例如軌道力學與航天動力學，Hintz，2015，航天動力學基礎 2 版，Bate，2020，以及航天動力學基礎與應用 4 版，Vallado，2013
• 2008 年麻省理工學院公開課航天動力學。

2.0 - 軌道

 

 引力沒有極限距離 - 宇宙中的每個物體都受到其他所有物體的引力影響。在實際應用中，來自宇宙大部分地區的引力抵消了，因為各個方向上存在著大致相同的物質量。剩下的更重的物體和更近的物體，它們的引力對於給定計算來說足夠大。哪些物體重要取決於結果需要多精確。圍繞單個大型物體進行的初步計算可以使用如下公式。多個物體通常遵循軌道，並相對於彼此運動。因此，它們的引力強度和方向會發生變化。因此，詳細的計算使用考慮這些隨時間變化的計算機模擬。

 軌道是物體在僅受引力影響的情況下將遵循的路徑。圍繞均勻單個物體的軌道是圓錐曲線，即切片圓錐體產生的形狀。軌道偏心率將形狀描述為一個數字，其中 0 表示圓形，0 到 1 之間表示橢圓形，1 表示拋物線，大於 1 表示雙曲線。

 圓形軌道和橢圓軌道與被繞行的物體繫結在一起，並將重複。拋物線軌道和雙曲線軌道不受該物體束縛，也不會重複，但會受到其引力的影響。簡單的軌道計算只考慮最近的大質量物體。當該物體對其他物體的吸引力遠大於其他物體時，以及在較短的時間段內，這種方法是合適的。更詳細、更精確的計算必須考慮主要物體的非均勻性以及其他具有足夠引力來影響結果精度的物體。

 一個理想的情況是單個均勻球形的大質量物體。圍繞它的圓形軌道將具有恆定的速度和距離圍繞該物體的質量中心。這也意味著它具有恆定的軌道週期，即繞該物體完成一次旋轉並返回到起點所需的時間。任何物體周圍的圓形軌道速度 v_o 可以從

$v_{o}={\sqrt {(}}GM/r)$

其中 G 是萬有引力常數（6.67 x 10^-11 Nm²/s²），它將質量與引力聯絡起來，M 是物體的質量，以 kg 為單位，r 是到物體中心的半徑，以米為單位。由於 G 是一個普遍的常數，並且物體的質量幾乎是恆定的，所以可以使用標準引力引數 μ = GM。對於地球，如果我們忽略掉落的流星、大氣洩漏以及我們發射出去的東西，這個值為 3.986 x 10¹⁴ m³/s²。

 一個圍繞大型物體以半長軸 a（圖 1-1）進行圓形或橢圓軌道執行的小物體的軌道週期 P（以秒為單位）是

$P=2\pi {\sqrt {(}}a^{3}/GM)$

 逃逸速度 v_e 是到達物體無限遠處所需的速度，可以由

$v_{e}={\sqrt {(}}2GM/r)$

 由於該公式與圓形軌道的公式相同，只是平方根項中的係數為 2，因此逃逸速度是圓形軌道速度的 2 的平方根（1.414+）。橢圓軌道在最近點，或近地點處，其速度介於圓形軌道速度和逃逸速度之間。

2.1 - 軌道要素

 

 軌道要素是完全描述軌道位置和方向、軌道形狀以及軌道物體在給定時間位置所需的引數。它們相對於較小的物體繞行的主要物體進行描述。這些要素會隨著時間的推移而改變，因為受到其他物體的引力影響。它們還會因主要物體形狀和質量分佈的非理想性、相對論效應以及阻力和光壓等外部力量而改變。更重要的要素包括

 軸 - 週期性軌道通常是橢圓形。橢圓形有一個長軸和一個短軸，它們分別是穿過橢圓中心的最長和最短距離。這兩個軸相互垂直（圖 1-1）。這些軸的一半，即從中心到橢圓邊緣的距離，分別稱為長半軸和短半軸，符號分別為a和b。長半軸通常用於描述軌道的總體大小。

 偏心率 - 橢圓的焦點是長軸上的兩個點，使得從焦點到橢圓上任何點的距離之和為常數。一個小天體繞一個更大天體的軌道將使更大的天體位於橢圓軌道的某個焦點上。焦距f是從焦點到橢圓中心的距離。軌道的形狀由偏心率e測量，它定義為

$e=f/a$

 近心點和遠心點 - 偏心率越高，短軸與長軸長度之比越小，繞行天體與被繞行天體之間最接近點和最遠點的差異越大。peri-和ap-的字首指的是軌道的最近點和最遠點。不同的字尾用於指示被繞行的天體，例如近地點和遠地點是指地球軌道的最低點和最高點，而近日點和遠日點是指與太陽的距離。一般符號q和Q用於最小距離和最大距離。這些距離是從較大天體的中心測量的。軌道高度是到地表在中心方向上的距離，始終較小。最小距離和最大距離可以透過以下公式求得

$q=a-f=a(1-e)$

$Q=a+f=a(1+e)$

$f=ae$

2.2 - 拉格朗日點

 

圖 2-1 - 日地拉格朗日點的相對位置。

 給定兩個大型天體，例如太陽和木星，其中第二個天體繞第一個天體執行，以及第三個小型天體，例如一顆小行星，相對於這兩個大型天體，有五個點，淨力使小型天體保持與這兩個較大天體相對靜止的位置。這些點被稱為拉格朗日點（圖 2-1），以發現它們的數學家之一命名。

 其中三個，標記為 L1、L2 和 L3，是不穩定的。如果你稍微偏離確切的點，你將傾向於進一步遠離。另外兩個，L4 和 L5，是穩定的。圍繞這些點的輕微移動不會導致小型天體漂移，而是圍繞這些點執行。L1、L2 和 L3 分別位於第二個大型天體的前面、後面和對面。L4 和 L5 位於第二個大型天體的同一軌道上，分別領先和滯後 60 度。

 作為最大的行星，木星在其拉格朗日點擁有最多的小行星群。這些小行星被稱為木星特洛伊小行星，因為木星最早發現的幾顆小行星以荷馬的《伊利亞特》中特洛伊戰爭中的角色命名。截至 2023 年中期，已知有 12,600 顆此類小行星。更一般地說，在其他行星拉格朗日點上的天體也被稱為 X 特洛伊小行星，其中 X 是它們相關的行星。

 由於大多數行星軌道都是橢圓形的，拉格朗日點會隨著兩個主要天體之間的距離變化而移動。因此，小行星並不都處於確切的點上，而是分佈在它們附近的穩定區域，並在這些點周圍移動。拉格朗日點也可能存在於一個擁有大型衛星的行星周圍，例如地球的衛星。如果衛星離行星太遠，太陽的影響會破壞穩定的點，擁有多個大型衛星也會破壞穩定的點。

 拉格朗日點對空間專案很有用，因為它們相對於相關的行星或衛星具有固定的位置，並且要麼是穩定的，要麼只需要很少的推進力來維持位置。除了在那裡發現的天然天體外，許多航天器已經或計劃利用這些位置。

2.3 - 旋轉

 

 幾乎所有天然天體都旋轉，因此從天體中心到固定表面點方向相對於整個宇宙而言會發生變化。從實際角度看，明亮的恆星被用作旋轉的參考系。這些被稱為固定恆星，因為它們最初被認為固定在地球周圍的天球上。實際上，恆星是不同距離的獨立天體，它們彼此之間相互移動。需要現代儀器來測量它們的距離和運動。大多數天體的旋轉速度相對於恆星的平均運動速度而言很快，因此恆星可以被視為靜止的參考系。

 可以相對於此參考系，或相對於它所繞行的較大天體來測量天體的幾個屬性

 自轉週期 - 是天體相對於恆星、太陽或行星（如果它繞行星執行）完成一次自轉所需的時間。自轉週期的最明顯影響是地球上的晝夜迴圈。一些天體與它們繞行的母體之間形成潮汐鎖定的旋轉共振。這意味著自轉週期是軌道週期的簡單比率。月球是最明顯的例子，比率為 1:1。結果是同一側始終面向地球，並有輕微的擺動。水星處於 3:2 共振狀態，這意味著它繞太陽執行兩次，自轉三次。

圖 2-2 - 地球的自轉軸相對於其軌道軸的傾斜度。

 自轉定義了天體圍繞其自轉的軸線（圖 2-2）。軸線與天體表面的交點稱為極點，極點之間表面的中點稱為赤道。對於形狀不規則的小型天體，赤道可能沒有明確定義。對於形狀或多或少為圓形的較大天體，赤道與自轉軸的距離最大。

 軸傾角 - 是天體軸線與天體軌道軸線之間的夾角。後者垂直於由軌道路徑定義的軌道平面。大型天體的旋轉慣性使其自轉軸相對於恆星保持相對固定。例如，地球的北極指向北極星附近，但該點相對於其繞太陽執行的軌道軸傾斜 23.44 度。在一個軌道週期（1 年）內，先是北極指向太陽，然後是南極指向太陽，導致季節變化。

 自轉速度 - 在旋轉天體表面，圍繞軸線的圓周運動會產生與重力相反的加速度。速度和加速度取決於距軸線的距離和自轉週期。例如，在地球赤道，自轉速度為 465 m/s，產生的加速度為 0.0338 m/s²，約為重力的 3%。因此，赤道的表觀重量小於極地。

 根據組成，直徑超過 400-1000 公里的天體內部力量大於其內部材料的強度。它們的自重力迫使它們形成一個近似圓形的形狀，這種狀態稱為 **流體靜力平衡**。固體材料的強度允許一些偏差，例如山脈和盆地。液體層將根據重力和旋轉自由流動。由於旋轉使某些部分的重力相對於其他部分降低，因此較大的天體將呈現扁平或細長的形狀。較小的天體只被部分或根本沒有迫使成圓形，並且可能非常不規則。

 任何天體的旋轉都會降低它們在同一方向上的軌道速度和表面速度之間的差異。在地球的情況下，速度降低了 5.9%，使從低緯度向東發射更容易達到軌道。在小行星 **灶神星** 的情況下，表面旋轉速度高達 93.5 米/秒，或軌道速度的 36.7%，這是一個顯著的降低。非常小的物體，如果它們沒有結構缺陷，甚至可以比圍繞它們的軌道速度更快地旋轉，從而產生一些區域，你無法在沒有機械輔助的情況下停留在表面。

2.4 - 潮汐和攝動

 

 重力延伸至無窮遠。因此，附近的較大物體，例如地球的月球和太陽，也會對地球的重力新增加速度分量。隨著它們的方向和距離發生變化，這種加速度也會發生變化。例如，地球面向月球的一側受到月球的重力拉動比另一側強 6.6%，因為它的距離更近。

 近側和遠側之間的重力差異被稱為 **潮汐力**，因為它是在地球上引起海洋潮汐的來源。潮汐的產生是因為水可以自由地在月球相對於地球中心更弱或更強的拉力下移動。堅固的地殼受到其強度的限制更大。潮汐會扭曲地殼，但程度小於海洋。潮汐力也會影響其他衛星和行星。

 月球的軌道相對於地球的赤道傾斜，地球相對於太陽也傾斜。因此，組合的潮汐力不是直接向上從地球表面，而是在一個角度。這會導致地球的旋轉軸相對於恆星改變方向，在 25,771 年內描繪出一個圓圈。這被稱為 **歲差**。

 其他天體的較小重力也會以複雜的方式影響物體繞其所束縛的中心天體的軌道。例如，地球的軌道主要由太陽決定，但其他行星的重力會導致軌道發生變化。這些被稱為 **攝動**。對於三個或更多天體之間的變化，沒有簡單的公式來描述。相反，需要使用複雜的數學或計算機計算。

 在長時間尺度上，攝動可以極大地影響軌道。這在木星和彗星的情況下最為明顯。**長週期彗星** 通常接近逃逸速度，因此木星巨大質量引起的微小速度變化會極大地改變它們的軌道。這可能導致它們變成短週期彗星，停留在太陽附近，或被完全彈出太陽系。

3.0 - 速度圖

 

 與地球不同，地球上的運動涉及必須克服的摩擦，而太空是一個幾乎沒有摩擦的環境。因此，距離不像速度變化或 **Δv** 那麼重要，速度變化需要能量或推進劑來產生。數學中的希臘字母 delta 表示值的改變，因此在空間系統工作中，速度變化通常寫為“delta-V”。

 圖 2-3 展示了近似最小理想 delta-V 值（單位為 km/s）。這些值相對於水平軸上的太陽逃逸速度，以及相對於垂直軸上的行星、一些衛星和小行星（一直到木星）的逃逸速度。軸的比例不同。其他表格和圖表可以在 **Delta-V 預算** 文章中找到，或者可以針對特定任務單獨計算。

 沒有絕對參考系來測量速度。該圖使用逃逸速度作為零值。它具有“要離開此重力井，你必須增加這麼多速度”的物理含義。術語 **重力井** 是透過與水井的類比使用的，就像你必須爬出來才能擺脫它一樣。達到逃逸速度的物體可以自由地前往其他地方。太陽表面不是一個好的參考點，因為目前已知技術無法到達那裡。由於必須增加速度才能逃逸，因此這些值是負數。如果你擁有超過逃逸重力井所需的足夠速度，則在遠距離處剩餘的速度被稱為 **超額速度**。

 **總任務速度** - 是圖中垂直和水平速度變化之和。例如，要從地球前往火星，你首先必須增加速度以爬出地球的重力井，增加更多速度以在太陽的重力井中改變軌道，然後減速以進入火星的重力井。

 在圖中，這意味著沿著垂直線從地球表面到頂線（即太陽系軌道（11.18）），加上水平線段從地球軌道到火星軌道（2.3），加上垂直線段到火星表面（5.03）。這給出了 18.5 公里/秒的總任務速度。這必須由各種推進、引力輔助或阻力機動來提供。要返回地球，則逆轉這些步驟。

 該圖顯示了理論值（單次脈衝逃逸）。實際速度變化將更高，因為（1）機動不是完全有效的，（2）軌道是橢圓形的並且傾斜，以及（3）大氣阻力等損耗阻礙了預期的變化。損耗用 **理想速度**（你在沒有重力井的情況下在真空中會達到的速度）與你在給定情況下達到的實際速度之間的差異來衡量。因此，該圖不是進行任務規劃的精確方法。它旨在提供一個粗略的估計，作為規劃的起點。

 **速度帶** - 在每個行星或衛星的垂直軸上都有兩個速度區域。較低的 **亞軌道** 區域（細藍線）是當有足夠的速度離開物體，但沒有達到穩定軌道時。這些軌道將再次與表面相交。它們可以用來在表面上的點之間旅行，但不能用於在多個軌道中保持運動。較高的 **軌道帶**（粗藍線）表示有足夠的速度進行重複軌道。軌道的形狀很重要，但對於圓形軌道，該帶中最低點是一個剛好位於表面上方的軌道，而最高點是一個剛好快到足以從其重力井中逃逸的軌道。

 重力隨著距離的平方而減小。因此，在表面附近，小的高度變化需要大的速度變化。相反，在接近逃逸速度時，小的速度變化會產生大的高度變化，而在逃逸速度時，它會理論上產生無限的變化。實際上，多個重力井相互重疊，因此從地球逃逸只是將你置於更大的太陽重力井中，而從太陽逃逸則將你置於更大的銀河系重力井中。

 **太陽軌道** - 頂部藍線代表圍繞太陽的軌道，遠離區域性重力井。標出了兩個最大小行星 4 灶神星（-0.35）和 1 穀神星（-0.51）的表面，但這兩個小行星的軌道帶，以及大多數較小行星體的整個重力井，太小而無法顯示。相反，近地天體和火星與木星之間的主小行星帶的太陽速度範圍用粗水平箭頭表示。太陽系中所有小物體的速度都分佈在整個頂線。兩個標記的範圍只是具有特殊興趣。木星和太陽的表面，以及它們的亞軌道範圍，由於它們的重力井非常深，超出了此圖的比例，只顯示了木星四個大衛星的內部和外部。

圖 2-3 - 太陽系速度圖。

 

4.0 - 動力飛行

 

 **動力飛行** 涉及受人為力量影響的軌跡和軌道，除了自然力量之外。它最初應用於飛機，但已擴充套件到空間系統。人為力量可以在內部產生，也可以從外部施加。最常見的內部例子是來自化學火箭發動機。外部力量的例子包括強大的雷射對目標施加光壓，以及使用高壓氣體加速彈丸的固定槍。

 飛行的動力部分可能持續很短時間，就像火箭發射進入軌道一樣。在那之後，它會滑行，只受重力和其它自然力量的影響。另一方面，太陽能電動發動機可能會在大部分或整個飛行或任務期間執行。

4.1 - 上升軌跡

 

 地球表面的圓形軌道速度為 7910 米/秒。在赤道上，地球以 465 米/秒的速度向東旋轉。理論上，運輸系統必須提供 7445 米/秒的差值才能達到軌道。對於許多運輸方式，地球大氣會導致損失，這些損失會增加所需的理論速度。設計目標是找到最有效的飛行路徑，或 **軌跡**，以最大限度地減少損失。

 在地球上，化學動力運載火箭通常一開始會直線向上發射，這樣可以最大限度地減少與大氣阻力的對抗時間。垂直速度的增加不會影響軌道速度，因為它們是垂直的。它所做的是幫助火箭到達一個大氣阻力最小且軌道穩定的最終高度。最佳的上升軌跡會很快從垂直傾斜到水平。只需向上爬升到足夠的高度，以擺脫大氣層並最小化阻力。

 重力會阻礙火箭的垂直加速度。在推力等於重量的極限情況下，火箭不會移動，所有推進劑都會浪費。當推力大於重量時，只有剩餘的推力才能提供加速度。重力損失描述的是火箭實際獲得的 m/s 與在沒有重力的情況下獲得的 m/s 之間的差值。阻力損失類似地，是如果不存在大氣層，火箭將獲得的速度與實際獲得的速度之間的差值。獲得足夠的高度以脫離大氣層需要增加勢能，這也需要消耗推進劑。

 理想速度是在沒有這些效應的情況下，火箭在開放空間中將獲得的速度。這是推進系統必須提供的效能。實際速度是火箭實際獲得的速度。在地球上，火箭典型的理想速度大約為 9000 m/s，才能進入軌道。因此損失約為 1500 m/s，即實際 ΔV 的 20% 以上。

 從數學上來說，從一個非旋轉天體的表面進入軌道，需要火箭將速度從靜止速度（零）改變到一個能夠使有效載荷保持在軌道上的速度。速度的總變化量是加速度 a 在時間上的積分

$\int _{0}^{t_{orbit}}a\,dt=\int _{0}^{t_{orbit}}{T \over m}-{L \over m}-g\,dt$

其中，T 是推力，m 是飛行器質量，L 是其他損失，g 是與推力相反的重力分量。所有這些值在上升過程中都可能發生變化，因此通常使用計算機用小的時間增量來計算。在一個旋轉的天體上，初始速度是區域性旋轉速度，而不是零。

4.2 - 質量比

 

 火箭以高速噴射一部分質量來產生推力。速度的總理想變化量 ΔV 可以從齊奧爾科夫斯基火箭方程中找到，該方程以獨立推匯出該方程的人之一的名字命名。其中，排氣速度為 v_e，ln 是自然對數函式，初始質量和最終質量分別為 m₀ 和 m₁，則

$\Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

 初始質量和最終質量之差代表所使用的推進劑或反應質量。初始質量和最終質量之比稱為質量比，對於典型的多級火箭，該比率在 8 到 20 之間。最終質量包括剩餘的飛行器硬體以及有效載荷質量。有效載荷是任何打算到達所需軌道或目的地的東西。如果有效載荷質量設定為零，則對於特定技術，就會達到最大 ΔV，而需要超過此值的任務是不可能的。

4.3 - 級數

 

 飛行器總初始質量的一定比例將是其自身的硬體。從上面的火箭方程可以看出，即使有效載荷為零，飛行器也能夠達到的最大速度。當所需的飛行任務速度接近或超過此速度時，丟棄一些空空的飛行器儲罐和發動機將允許繼續飛行。從剩餘的飛行器質量開始，可以計算出新的質量比和 ΔV。這被稱為級數，所得出的設計為多級火箭。總理想速度是每級產生的速度的總和。

 各級按最後使用順序編號，即第一級、第二級，依此類推。最後使用之所以被提及，是因為各級可以並聯工作。第一個要丟棄的級將獲得較低的級數。一個例子是太空梭，其中固體助推器與軌道器的發動機並聯工作，直到助推器耗盡並被丟棄。因此，助推器是第一級，而軌道器加上外部燃料箱構成了第二級或上級。

 進入地球軌道所需的飛行速度大約是目前使用的最佳液體推進劑排氣速度的兩倍。因此，火箭方程得出的理論質量比為 e² 或 7.39，最終質量為 13.5%。這個百分比接近典型設計的硬體質量，沒有留下有效載荷。因此，級數通常用於進入地球軌道的火箭。

 飛行器設計除了最佳化質量比之外，還涉及其他因素。其中之一是經濟效率，即每單位有效載荷質量的成本。在包含了所有設計因素之後，大多數從地球發射的運載火箭使用兩級或三級，具體取決於它們打算到達的軌道。