狹義相對論/以太

狹義相對論

簡介

許多學生將相對論與光的傳播理論混淆。根據現代相對論，光速恆定是時空幾何的結果，而不是光子特性的結果；但“光速恆定”這一說法往往會使學生將注意力從光的傳播轉移到光傳播本身。這種混淆被大多數相對論教科書中對干涉儀實驗（如邁克爾遜-莫雷實驗）的重視所放大。

光的傳播理論的歷史是物理學中一個有趣的課題，它在相對論的早期發展中確實很重要。在十七世紀，人們發展出兩種相互競爭的光傳播理論。克里斯蒂安·惠更斯發表了光的波動理論，該理論基於惠更斯原理，即波動擾動中的每一個點都可以產生進一步的以球面形式傳播的擾動。相比之下，牛頓認為光的傳播是由於小粒子或“微粒”從光源傳遞到被照亮物體造成的。他的理論被稱為光的微粒理論。牛頓的理論在十九世紀被廣泛接受。

在十九世紀早期，托馬斯·楊進行了楊氏雙縫實驗，產生的干涉圖樣可以用光的波動性質造成的衍射來解釋。波動理論在二十世紀被普遍接受，直到量子理論證實光具有微粒性質，惠更斯原理不可應用。

將光視為某種介質或以太的擾動，這種介質遍佈宇宙，從一開始就存在問題（美式英語：ether）。出現的第一個問題是，光速不會隨著觀察者的速度而改變。如果光真的是某種靜止介質的擾動，那麼當地球以一定速度穿過介質向光源運動時，光速應該會增加。然而，人們發現光速並沒有像預期的那樣發生變化。每一次關於光速的實驗都需要對現有的理論進行修正，並導致各種輔助理論，如“以太拖曳假說”。最終，旨在研究以太性質的實驗為相對論提供了第一個實驗證據。

以太拖曳假說

以太拖曳假說是早期試圖解釋阿拉戈實驗等實驗結果的嘗試，這些實驗表明光速是恆定的。以太拖曳假說現在被認為是錯誤的。

根據以太拖曳假說，光在一種特殊的介質中傳播，這種介質被稱為以太，它會隨著物體的運動而附著在物體上。如果是這樣的話，無論地球以多快的速度繞太陽執行或自轉，地球表面的光都會以恆定的速度傳播。

以太拖曳假說被認為無效的主要原因是恆星光行差的發生。在恆星光行差中，用望遠鏡觀測恆星時，恆星的位置會在中心位置的兩側擺動，每六個月擺動約 20.5 秒弧。這種擺動幅度是考慮到地球在其軌道上的運動速度而預期的。1871 年，喬治·比德爾·艾裡證明，即使望遠鏡充滿水，恆星光行差也會發生。似乎如果以太拖曳假說為真，那麼恆星光行差就不會發生，因為光會在以太中傳播，而以太會隨著望遠鏡一起運動。

如果你想象一輛火車即將進入隧道，車廂上放著一個水桶，一滴水從隧道入口滴入水桶的正中心，這滴水不會擊中水桶底部的中心。水桶是望遠鏡的管子，水滴是光子，火車是地球。如果以太被拖曳，那麼水滴在落下時會隨著火車一起運動，並會擊中水桶底部中心。

恆星光行差的大小 α 由下式給出

tan(\alpha )=v\delta t/c\delta t

所以

tan(\alpha )=v/c

地球繞太陽執行的速度 v = 30 km/s，光速為 c = 300,000,000 m/s，得出 α = 每六個月 20.5 秒弧。這種光行差被觀測到，這與以太拖曳假說相矛盾。

1818 年，奧古斯丁·讓·菲涅耳對以太拖曳假說進行了一種修改，這種修改只適用於介質之間的介面。這種修改在十九世紀的大部分時間裡被接受，但現在已被狹義相對論所取代（見下文）。

以太拖曳假說在歷史上很重要，因為它是牛頓的微粒理論被波動理論取代的原因之一，它被用於早期解釋光在沒有相對論理論的情況下傳播。它是早期試圖測量光速的結果。

1810 年，弗朗索瓦·阿拉戈意識到，微粒理論預測的物質折射率的變化將為測量光速提供一種有用的方法。這些預測的出現是因為玻璃等物質的折射率取決於光在空氣和玻璃中的速度之比。阿拉戈試圖測量光微粒在望遠鏡前端的玻璃稜鏡中被折射的程度。他預計，由於恆星速度的多樣性和地球在一天和一年中不同時間的運動，會有不同的折射角。與他的預期相反，他發現恆星之間、一天中的不同時間或不同季節之間沒有折射率差異。阿拉戈觀察到的只是普通的恆星光行差。

1818 年，菲涅耳使用光的波動理論檢查了阿拉戈的結果。他意識到，即使光以波的形式傳播，當地球自轉和季節變化時，玻璃稜鏡在以太中運動以不同速度撞擊入射波時，玻璃-空氣介面的折射率也應該發生變化。

菲涅耳提出，玻璃稜鏡會帶走一些以太，這樣“...稜鏡內部的以太就會過量”。他意識到波的傳播速度取決於介質的密度，因此提出稜鏡中的光速需要透過“拖曳”進行調整。

沒有進行任何調整，玻璃中的光速 $v_{n}$ 由下式給出

v_{n}=c/n

拖曳修正 $v_{d}$ 由下式給出：

v_{d}=v(1-{\frac {\rho _{e}}{\rho _{g}}})

其中 $\rho _{e}$ 是環境中的以太密度， $\rho _{g}$ 是玻璃中的以太密度， $v$ 是稜鏡相對於以太的速度。

因子 $(1-{\frac {\rho _{e}}{\rho _{g}}})$ 可以寫成 $(1-{\frac {1}{n^{2}}})$ ，因為折射率 n 將取決於以太的密度。這被稱為 **菲涅耳拖曳係數**。

然後，光在玻璃中的速度由下式給出：

V={\frac {c}{n}}+v(1-{\frac {1}{n^{2}}})

這種修正成功地解釋了阿拉戈實驗的零結果。它引入了幾乎靜止的以太的概念，這種以太被玻璃等物質拖曳，但不會被空氣拖曳。它的成功支援了光的波動理論，而不是先前的微粒理論。

菲涅耳拖曳係數由菲佐進行的干涉儀實驗所證實。水以高速透過兩個玻璃管，這兩個玻璃管形成了干涉儀的光路，發現條紋移動與拖曳係數預測的一致。

狹義相對論從速度加法定理預測了菲佐實驗的結果，而無需以太。

如果 $V$ 是光相對於菲佐儀器的速度， $U$ 是光相對於水的速度， $v$ 是水的速度：

U={\frac {c}{n}}

V={\frac {c/n+v}{1+v/nc}}

如果 v/c 很小，可以使用二項式展開式展開，得到：

V={\frac {c}{n}}+v(1-{\frac {1}{n^{2}}})

這與菲涅耳的方程相同。

看起來菲涅耳的分析可以替代相對論的方法，但是，最近的研究表明，菲涅耳的假設會導致不同頻率的光產生不同數量的以太拖曳，並違反斯涅爾定律（參見 Ferraro 和 Sforza (2005)）。

在廣泛接受狹義相對論之前，以太拖曳假說是試圖解釋邁克爾遜-莫雷實驗的論點之一。

菲佐實驗與相對論一致，並且近似一致於每個單獨的物體（例如稜鏡、透鏡等）拖曳其自身以太的現象。這與以太拖曳假說的一些修改版本相矛盾，這些版本認為以太拖曳可能發生在全球（或更大）範圍內，並且恆星像差只是轉移到地球周圍的夾帶的“氣泡”中，然後該氣泡忠實地將修改後的入射角直接傳遞給觀察者。

參考文獻

Rafael Ferraro 和 Daniel M Sforza 2005. Arago (1810)：反對以太的第一個實驗結果 Eur. J. Phys. 26 195-204

邁克爾遜-莫雷實驗

邁克耳孫-莫雷實驗是物理學史上最重要的實驗之一，由阿爾伯特·邁克耳孫和愛德華·莫雷於1887年在現在的凱斯西儲大學進行，被認為是第一個強有力的證據，證明了以太理論是錯誤的。

19世紀末的物理學理論假設，就像水波必須有介質才能傳播（水），可聽見的聲波需要介質才能傳播（空氣）一樣，光波也需要一種介質，即“以太”。由於光速非常快，設計一個實驗來檢測這種以太的存在和性質需要相當多的思考。

測量以太

“以太風”概念的描繪。

地球每年繞太陽執行的距離非常大，速度約為每秒30公里，每小時超過10萬公里。人們推測，地球會始終在以太中運動，產生可檢測的“以太風”。在地球表面的任何一點，風的強度和方向會隨著一天中的時間和季節而變化。透過分析不同時間段的有效風速，應該能夠將地球相對於太陽系運動產生的分量與該系統整體運動產生的分量區分開來。

以太風對光波的影響就像風對聲波的影響一樣。聲波相對於其傳播的介質以恆定速度傳播（這會隨著壓強、溫度等的變化而變化（見聲波），但通常約為每秒340米）。因此，如果聲速在我們的條件下為每秒340米，而風速相對於地面為每秒10米，那麼逆風傳播時，聲波似乎以每秒330米的速度傳播（340 - 10）。順風傳播時，聲波似乎以每秒350米的速度傳播（340 + 10）。因此，測量聲速相對於地面在不同方向上的傳播速度，就能計算出空氣相對於地面的速度。

如果不能直接測量聲速，可以使用另一種方法，即測量聲波反射回來到達原點所需的時間。這是平行於風和垂直於風進行的（因為風的方向事先未知，只需確定幾個不同方向的時間即可）。風在兩個方向上的往返行程的累積效應稍微有利於聲波垂直於風的方向傳播。類似地，以太風對一束光的影響是，這束光在平行於“風”的方向上往返行程所花費的時間比在垂直於風的方向上往返行程相同距離所花費的時間稍微長一點。

“稍微”是關鍵，因為在幾米的距離內，兩個往返行程的時間差只有十億分之一秒。在這一點上，唯一真正精確的光速測量是由阿爾伯特·亞伯拉罕·邁克耳孫進行的，他的測量精度達到了每秒幾米。雖然這本身就是一個驚人的成就，但顯然還不足以準確地檢測到以太。

實驗

然而，邁克耳孫已經看到了這個問題的解決方案。他的設計，後來被稱為干涉儀，將一個單一的白光源透過一個半鍍銀的鏡子，這個鏡子被用來將光源分成兩束光束，這兩束光束相互垂直傳播。離開分離器後，光束傳播到長臂的末端，在那裡它們被小鏡子反射回中間。然後它們在分離器的另一側的目鏡中重新組合，產生一個基於臂長的干涉條紋的構造和破壞干涉圖案。光束在傳輸過程中花費時間的任何微小變化都將被觀察為干涉條紋位置的變化。如果以太相對於太陽是靜止的，那麼地球的運動會產生約0.04個條紋的位移。

邁克耳孫在1881年用一個實驗裝置進行了多次測量，他注意到預期的0.04個條紋的位移沒有出現，而是出現了大約0.02個條紋的較小位移。然而他的裝置只是一個原型，實驗誤差太大，無法對以太風做出任何結論。為了測量以太風，必須進行一個更加精確和嚴格控制的實驗。然而，原型成功地證明了這種基本方法是可行的。

然後他與愛德華·莫雷聯手，花費了大量的時間和金錢製造了一個改進的版本，其精度足以檢測到漂移。在他們的實驗中，光束被多次反射回臂上，使路徑長度增加到11米。在這個長度下，漂移大約為0.4個條紋。為了使之易於檢測，該裝置被放置在一個石頭建築的地下室的一個封閉房間裡，消除了大部分熱量和振動影響。透過將裝置建在巨大的大理石塊上，然後將其浮在水銀池中，進一步減少了振動。他們計算出大約1/100個條紋的影響是可以檢測到的。

水銀池允許裝置旋轉，以便它可以旋轉到與“以太風”所有可能的角度。即使在很短的時間內，只要旋轉裝置，就會注意到某種效果，比如一個臂旋轉到迎風方向，另一個臂旋轉到背風方向。在較長的時間段內，晝夜迴圈或年度迴圈也容易測量。

在裝置的每次完整旋轉中，每個臂都會兩次平行於風（迎風和背風），兩次垂直於風。這種效應會在正弦波的形式中顯示讀數，有兩個峰值和兩個谷值。此外，如果風只是來自地球繞太陽執行的軌道，那麼風將在12小時內完全改變東西方向。在這個理想的概念化中，晝夜讀數的正弦波將處於相反的相位。

由於人們認為太陽系的運動會導致風增加一個分量，因此年度迴圈將作為風強度的變化而可檢測到。這種效應的一個例子是直升機向前飛行。在地面上時，直升機的旋翼的葉尖速度被測量為每小時50公里。然而，如果直升機以每小時50公里的速度向前飛行，那麼在葉尖相對於它們所穿過的空氣的速度為每小時0公里和100公里的時候，就會有一些點。這會增加一側的升力強度，減少另一側的升力強度，就像它會增加和減少以太風在每年基礎上的強度一樣。

最著名的失敗實驗

具有諷刺意味的是，經過了所有這些思考和準備，這個實驗成了迄今為止最著名的失敗實驗。邁克耳孫和莫雷在《美國科學雜誌》上發表的1887年的文章並沒有提供對以太性質的洞察，而是報道了測量結果只有預期位移的四十分之一，但“由於位移與速度的平方成正比”，他們得出結論，測量的速度大約是地球繞太陽執行速度的六分之一，“肯定小於四分之一”。雖然測得了這個小的“速度”，但它被認為太小，無法作為以太的證據，後來據說它在實驗誤差範圍內，允許速度實際上為零。

雖然邁克耳孫和莫雷在他們1887年的首次發表之後繼續進行不同的實驗，但他們兩人都一直活躍在這個領域。其他版本的實驗在不斷提高的複雜程度上進行著。肯尼迪和伊林斯沃斯都修改了鏡子，加入了一個半波“臺階”，消除了裝置內部出現某種駐波模式的可能性。伊林斯沃斯可以檢測到1/300個條紋的變化，肯尼迪可以檢測到1/1500個條紋的變化。米勒後來製造了一個非磁性裝置來消除磁致伸縮，而邁克耳孫製造了一個由非膨脹的不鏽鋼製成的裝置來消除任何剩餘的熱效應。來自世界各地的其他人也提高了精度，消除了可能產生的副作用，或者兩者兼而有之。除戴頓·米勒之外，所有這些實驗都得到了所謂的零結果。

莫雷並不相信他自己的結果，並繼續與戴頓·米勒進行額外的實驗。米勒在越來越大的實驗中工作，最終在一個安裝在威爾遜山天文臺的裝置上進行了一個臂長為32米（有效）的實驗。為了避免以太風被實體牆壁阻擋的可能性，他使用了一個特殊的棚子，棚子牆壁很薄，主要由帆布製成。他始終測量到一個小的正效應，這個效應與預期的一樣，隨著裝置的每次旋轉、恆星日和年度變化而變化。他將結果的低強度歸因於以太的夾帶（見下文）。他的測量結果僅為約10公里/秒，而不是僅從地球軌道運動預期得到的約30公里/秒。他仍然相信這是由於部分夾帶，但他沒有嘗試詳細解釋。

雖然肯尼迪後來也在威爾遜山進行了實驗，發現漂移只有米勒測量的十分之一，而且沒有季節性效應，但米勒的發現當時被認為很重要，並在1928年的一次會議上被邁克耳孫、亨德里克·洛倫茲等人討論（見下文參考文獻）。人們普遍認為，需要更多實驗來驗證米勒的結果。洛倫茲認識到，無論結果的原因是什麼，它們都沒有完全符合他或愛因斯坦的狹義相對論版本。愛因斯坦沒有參加這次會議，他認為這些結果可以被視為實驗誤差（見尚克蘭參考文獻）。

名稱	年份	臂長（米）	預期條紋位移	測量的條紋位移	實驗解析度	V_aether的上限
邁克耳孫	1881	1.2	0.04	0.02
邁克耳孫和莫雷	1887	11.0	0.4	< 0.01		8公里/秒
莫雷和莫雷	1902-1904	32.2	1.13	0.015
米勒	1921	32.0	1.12	0.08
米勒	1923-1924	32.0	1.12	0.03
米勒（陽光）	1924	32.0	1.12	0.014
托馬斯切克（星光）	1924	8.6	0.3	0.02
米勒	1925-1926	32.0	1.12	0.088
威爾遜山）	1926	2.0	0.07	0.002
伊林斯沃斯	1927	2.0	0.07	0.0002	0.0006	1公里/秒
皮卡德和斯塔赫爾（裡吉）	1927	2.8	0.13	0.006
邁克耳孫等人	1929	25.9	0.9	0.01
喬斯	1930	21.0	0.75	0.002

近年來，MM實驗的版本變得司空見慣。雷射和激射器透過在經過仔細調整的腔體內部反覆反彈光束來放大光束，從而誘使腔體內的高能原子發出更多光。其結果是有效路徑長度達到數公里。更好的是，在一個腔體中發射的光可以用來在另一個垂直於它的腔體中啟動相同的級聯反應，從而創造一個極其精確的干涉儀。

第一個此類實驗由查爾斯·H·湯斯領導，他是第一個脈澤的發明者之一。他們 1958 年的實驗對漂移設定了一個上限，包括任何可能的實驗誤差，僅為 30 米/秒。1974 年，在三角形 Trimmer 實驗中，使用精確的雷射器重複此實驗將此上限降至 0.025 米/秒，幷包括透過將一條腿置於玻璃中的夾帶測試。1979 年，Brillet-Hall 實驗對任何一個方向的漂移上限設定為 30 米/秒，但將雙向情況（即靜止或部分夾帶的以太）降至 0.000001 米/秒。1990 年發表的為期一年的重複實驗，被稱為 Hils 和 Hall，將此上限降至 2x10^-13。

後果

這一結果相當驚人，當時的靜態以太波傳播理論無法解釋。人們嘗試了幾種解釋，其中包括實驗存在隱藏的缺陷（顯然是邁克爾遜最初的信念），或者地球的引力場以某種方式“拖曳”了以太，從而在區域性消除了其影響。米勒會爭辯說，除了他自己的實驗之外，在大多數如果不是全部的實驗中，幾乎不可能檢測到以太風，因為它幾乎完全被實驗室牆壁或裝置本身阻擋了。無論如何，簡單以太的想法，也就是後來被稱為第一公設的以太，都遭到了嚴重打擊。

許多實驗被用來研究以太拖曳，或夾帶的概念。最令人信服的是由哈馬爾進行的，他將干涉儀的一條臂置於兩個巨大的鉛塊之間。如果以太被質量拖曳，理論上，這些鉛塊足以產生可見的效果。再次，沒有觀察到任何效果。

沃爾特·裡茨的發射理論（或彈道理論），也與實驗結果一致，不需要以太，更直觀且無悖論。這被稱為第二公設。然而，它也導致了一些在天文照片中沒有觀察到的“明顯”光學效應，特別是在對雙星的觀測中，可以用干涉儀測量兩顆恆星發出的光。

薩格納克實驗將 MM 裝置放置在一個不斷旋轉的轉檯上。這樣，就可以直接測試裡茨的任何彈道理論，因為光線在一個方向上繞裝置執行的距離將不同於光線在另一個方向上執行的距離（目鏡和鏡子將向光線移動/遠離光線）。在裡茨的理論中，不會出現位移，因為光源和探測器之間的淨速度為零（它們都安裝在轉檯上）。然而，在這種情況下，確實觀察到了效果，從而消除了任何簡單的彈道理論。這種條紋位移效應在當今的雷射陀螺儀中被使用。

另一個可能的解決方案是在洛倫茲-菲茨傑拉德收縮假說中找到的。在這個理論中，所有物體在相對於以太的運動方向上都會發生物理收縮，因此，雖然光線在該臂上確實傳播得更慢，但它也最終傳播的距離更短，這正好抵消了漂移。

1932 年，肯尼迪-索恩迪克實驗修改了邁克爾遜-莫雷實驗，使分裂光束的路徑長度不等，其中一條臂很長。在這個版本中，實驗的兩端由於地球的自轉而具有不同的速度，因此收縮不會“完美地”抵消結果。再次，沒有觀察到任何效果。

恩斯特·馬赫是最早提出該實驗實際上是對以太理論的反駁的物理學家之一。愛因斯坦狹義相對論的發展將菲茨傑拉德-洛倫茲收縮從不變性公設中推匯出，並且也與大多數實驗的明顯零結果一致（儘管正如 1928 年會議上所認識到的，與米勒觀察到的季節性效應不一致）。今天，狹義相對論通常被認為是 MM 零結果的“解決方案”。

特魯頓-諾布林實驗被認為是邁克爾遜-莫雷光學實驗的靜電等效實驗，儘管它是否能夠以必要的靈敏度進行仍然存在爭議。另一方面，1908 年的特魯頓-蘭金實驗宣告了洛倫茲-菲茨傑拉德收縮假說的終結，它實現了令人難以置信的靈敏度。

參考文獻

W. Ritz, Recherches Critiques sur l'Electrodynamique Generale, Ann. Chim., Phys., 13, 145, (1908) - 英文翻譯

W. de Sitter, Ein astronomischer Bewis für die Konstanz der Lichgeshwindigkeit, Physik. Zeitschr, 14, 429 (1913) - 英文翻譯

邁克爾遜莫雷和肯尼迪索恩迪克對 STR 的測試

特魯頓-蘭金實驗和對菲茨傑拉德收縮的反駁

高速艾夫斯-斯蒂爾威爾實驗用於反駁發射理論

邁克爾遜莫雷實驗的數學分析

邁克爾遜干涉儀將光分成兩束，沿著兩條路徑傳播，然後將它們重新組合。重新組合的光束相互干涉。如果其中一條臂的路徑長度發生變化，干涉條紋將略微移動，相對於望遠鏡中的十字線移動。邁克爾遜干涉儀被佈置成一個安裝在混凝土塊上的光學平臺，該混凝土塊漂浮在一個巨大的水銀池中。這使得整個裝置能夠平滑地旋轉。

如果地球以與它繞太陽執行的速度（30 公里/秒）相同的速度穿過以太，那麼邁克爾遜和莫雷計算出裝置的旋轉會導致干涉條紋發生位移。以下給出此計算的基礎。

考慮光沿圖示中的路徑 1 傳播所花費的時間 $t_{1}$

t_{1}={\frac {L_{f}}{c-v}}+{\frac {L_{f}}{c+v}}

重新排列項

{\frac {L_{f}}{c-v}}+{\frac {L_{f}}{c+v}}={\frac {2L_{f}c}{c^{2}-v^{2}}}

進一步重新排列

${\frac {2L_{f}c}{c^{2}-v^{2}}}={\frac {2L_{f}}{c}}{\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}$

因此

$t_{1}={\frac {2L_{f}}{c}}{\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}$

考慮路徑 2，光線描繪出兩個直角三角形，因此

ct_{2}=2{\sqrt {L_{m}^{2}+(vt_{2}/2)^{2}}}

重新排列

t_{2}={\frac {2L_{m}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}

所以

t_{2}={\frac {2L_{m}}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

現在很容易計算光在路徑 1 和路徑 2 中所花時間的差值 ( $\Delta t$ )

\Delta t={\frac {2}{c}}\left({\frac {L_{m}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-{\frac {L_{f}}{1-v^{2}/c^{2}}}\right)

如果裝置旋轉 90 度，新的時間差為

\Delta t^{'}={\frac {2}{c}}\left({\frac {L_{m}}{1-v^{2}/c^{2}}}-{\frac {L_{f}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)

因為 $L_{m}$ 和 $L_{f}$ 互換角色。

如果 $\Delta t$ 和 $\Delta t^{'}$ 不同，則由於路徑之間的時間差引起的干涉條紋在旋轉後將不同。

\Delta t^{'}-\Delta t={\frac {2}{c}}\left({\frac {L_{m}+L_{f}}{1-v^{2}/c^{2}}}-{\frac {L_{f}+L_{m}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)

如果使用 ${\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 的二項式展開，就可以計算出這兩個時間的差值。

{\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}=1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}+....

{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}+....

所以

\Delta t^{'}-\Delta t\approx {\frac {L_{f}+L_{m}}{c}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}

如果光振動一次的週期是 $T$ ，那麼當裝置旋轉時，經過望遠鏡十字絲的條紋數 ( $n$ ) 為

n={\frac {\Delta t^{'}-\Delta t}{T}}

代入 $\Delta t^{'}-\Delta t$ 的公式

n\approx {\frac {L_{f}+L_{m}}{cT}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}

但對於光波， $cT$ 是光的波長，即 $cT=\lambda$ ，所以

n\approx {\frac {L_{f}+L_{m}}{\lambda }}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}

如果光波長為 $5\times 10^{-7}$ 並且總光程為 20 米，那麼

n=\left({\frac {20}{5\times 10^{-7}}}\right)10^{-8}

因此，當裝置旋轉時，條紋將移動 0.4 個條紋（即：40%）。

然而，沒有觀察到邊緣位移。邁克爾遜-莫雷實驗的零結果如今用光速不變來解釋。假設光速相對於假設的“以太風”的方向，速度分別為 $c-v$ 和 $c+v$ 是錯誤的，光在真空中兩點之間始終以 $c$ 的速度傳播，不受任何“以太風”的影響。這是因為在{狹義相對論}中，洛倫茲變換會導致{長度收縮}。重新進行上述計算，我們得到

L_{f}=L_{m}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

(考慮長度收縮)

現在很容易重新計算光在路徑1和路徑2上花費的時間差 $\Delta t$

\Delta t={\frac {2}{c}}\left({\frac {L_{m}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-{\frac {L_{f}}{1-v^{2}/c^{2}}}\right)=0

因為

L_{f}=L_{m}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

如果裝置旋轉 90 度，新的時間差為

\Delta t^{'}={\frac {2}{c}}\left({\frac {L_{m}}{1-v^{2}/c^{2}}}-{\frac {L_{f}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)=0

如果 $\Delta t$ 和 $\Delta t^{'}$ 不同，則由於路徑之間的時間差引起的干涉條紋在旋轉後將不同。

\Delta t^{'}-\Delta t=0

注意：如果靜止長度 $L0_{f}\neq L_{m}$ ，那麼 $L_{f}\neq L_{m}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ ，那麼 $\Delta t^{'}\neq 0$ 而且 $\Delta t\neq 0$ ，更重要的是， $\Delta t^{'}-\Delta t\neq 0$ 。這就是邁克爾遜在干涉儀臂長平衡方面煞費苦心的原因。

波在運動介質中的傳播

迄今為止，人們指出邁克爾遜-莫雷實驗中光的介質是空氣。介質的速度為零。因此，

t_{1}={\frac {L}{c-v}}+{\frac {L_{f}}{c+v}}={\frac {2L}{c}}

t_{2}={\frac {2L}{c}}

\Delta t=0

裝置旋轉 90 度後，沒有干涉運動。 ^[1]

相干長度

來自波長相差 $\Delta \lambda$ 的光源的光線的相干長度為

x={\frac {\lambda ^{2}}{2\pi \Delta \lambda }}

如果光程差超過此值，則不會觀察到干涉條紋。白光具有廣泛的波長範圍，使用白光的干涉儀必須具有在小部分毫米內相等的路徑，才能發生干涉。這意味著邁克耳遜干涉儀的理想光源應該是單色的，並且兩臂的長度應儘可能相等。

相干長度的計算基於這樣一個事實，即當光線大約 60 度（約 1 弧度或六分之一波長 ( $\approx 1/2\pi$ )) 異相時，干涉條紋變得不清晰。這意味著當兩束光

{\frac {\lambda }{2\pi }}

米失步時，它們將不再給出清晰的干涉圖案。假設光束包含兩種波長的光， $\lambda$ 和 $\lambda +\Delta \lambda$ ，則在

{\frac {\lambda }{2\pi \Delta \lambda }}

迴圈中，它們將 ${\frac {\lambda }{2\pi }}$ 異相。

使兩種不同波長的光達到這種程度的異相所需的距離就是相干長度。相干長度 = 迴圈次數 x 每個迴圈的長度，因此

相干長度 = ${\frac {\lambda ^{2}}{2\pi \Delta \lambda }}$ 。

洛倫茲-菲茨傑拉德收縮假說

在1881年第一次邁克爾遜-莫雷實驗之後，人們嘗試解釋其零結果。最明顯的攻擊點是假設平行於運動方向的路徑被縮短了 ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ ，在這種情況下 $\Delta t$ 和 $\Delta t^{'}$ 會相同，不會發生條紋移動。這種可能性在1892年由菲茨傑拉德提出。洛倫茲提出了一個“物質的電子理論”，可以解釋這種收縮。

學生們有時會錯誤地認為洛倫茲-菲茨傑拉德收縮等同於洛倫茲變換。然而，在沒有考慮時間膨脹效應的情況下，如果儀器在兩個不同的速度之間移動，洛倫茲-菲茨傑拉德解釋會導致條紋移動。地球的自轉可以驗證這種效應，因為地球繞太陽執行。肯尼迪和索恩代克（1932年）進行了邁克爾遜-莫雷實驗，使用了一個高度靈敏的儀器，可以檢測到任何由地球自轉引起的效應；他們沒有發現任何效應。他們得出結論，時間膨脹和洛倫茲-菲茨傑拉德收縮都發生了，從而證實了相對論。

如果只應用洛倫茲-菲茨傑拉德收縮，那麼由於速度變化引起的條紋移動將是： $n=(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})/c^{2}\times (L_{f}-L_{m})/\lambda$ 。請注意，實驗的靈敏度取決於路徑長度差 $L_{f}-L_{m}$ ，因此需要較長的相干長度。

最近的邁克爾遜-莫雷實驗

光速各向同性的光學測試已變得司空見慣。新的技術，包括雷射和脈澤的使用，顯著提高了測量精度。

作者	年份	描述	上限
埃森^[2]	1955	將旋轉微波光學腔諧振器的頻率與石英鐘的頻率進行比較	~3 km/s
Jaseja 等人^[3]	1964	兩個安裝在旋轉平臺上的氦氖雷射器，相互垂直放置。	~30 m/s
Shamir 和 Fox^[4]	1969	干涉儀的兩臂都包含在一個透明的固體（聚甲基丙烯酸甲酯）中。光源是氦氖雷射器。	~7 km/s

使用其他型別的實驗（如光學諧振器（Eisele 等人^[5]））的更近期的實驗表明，光速在 $10^{-8}$ m/s 內是恆定的。

外部連結

參考文獻

↑ 經典物理學中波傳播的模型。
↑ Essen, L. (1955). "A New Æther-Drift Experiment". Nature. 175 (4462): 793–794. Bibcode:1955Natur.175..793E. doi:10.1038/175793a0.
↑ Jaseja, T. S.; Javan, A.; Murray, J.; Townes, C. H. (1964). "Test of Special Relativity or of the Isotropy of Space by Use of Infrared Masers". Phys. Rev. 133 (5a): 1221–1225. Bibcode:1964PhRv..133.1221J. doi:10.1103/PhysRev.133.A1221.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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↑ Eisele, Ch.; Nevsky, A. Yu.; Schiller, S. (2009). "實驗室測試了光傳播各向同性的10⁻¹⁷級" (PDF). 物理評論快報. 103 (9): 090401. Bibcode:2009PhRvL.103i0401E. doi:10.1103/PhysRevLett.103.090401. PMID 19792767.{{cite journal}}: CS1 維護：多個名稱：作者列表 (link)

[propagation-1] 經典物理學中波傳播的模型。

[essen-2] Essen, L. (1955). "A New Æther-Drift Experiment". Nature. 175 (4462): 793–794. Bibcode:1955Natur.175..793E. doi:10.1038/175793a0.

[Jaseja-3] Jaseja, T. S.; Javan, A.; Murray, J.; Townes, C. H. (1964). "Test of Special Relativity or of the Isotropy of Space by Use of Infrared Masers". Phys. Rev. 133 (5a): 1221–1225. Bibcode:1964PhRv..133.1221J. doi:10.1103/PhysRev.133.A1221.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[shamir-4] Shamir, J.; Fox, R. (1969). "A new experimental test of special relativity". Il Nuovo Cimento B. 62 (2): 258–264. Bibcode:1969NCimB..62..258S. doi:10.1007/BF02710136.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Eisele-5] Eisele, Ch.; Nevsky, A. Yu.; Schiller, S. (2009). "實驗室測試了光傳播各向同性的10⁻¹⁷級" (PDF). 物理評論快報. 103 (9): 090401. Bibcode:2009PhRvL.103i0401E. doi:10.1103/PhysRevLett.103.090401. PMID 19792767.{{cite journal}}: CS1 維護：多個名稱：作者列表 (link)

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