狹義相對論/數學附錄

洛倫茲變換方程的數學

考慮兩個觀察者 $O$ 和 $O^{'}$，相對於彼此以速度 $v\,$ 運動，他們同步他們的時鐘，使得 $t=t^{'}=0$ 當他們彼此經過時。他們都觀察到同一個事件，即光閃爍。產生光的事件由觀察者記錄的座標將如何相互關聯？

座標之間的關係可以透過基於相對論原理和額外的均勻性和各向同性假設的線性代數推匯出來。

均勻性和各向同性假設：空間在所有方向上都是均勻和同質的。如果不是這樣，那麼當比較座標系之間的長度時，長度將取決於測量的 位置。例如，如果 $x^{'}=ax^{2}\,$ 則兩點之間的距離將取決於位置。

聯絡帶撇號和不帶撇號座標系的線性方程為

$x^{'}=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t\,$

$y^{'}=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24}t\,$

$z^{'}=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+a_{34}t\,$

$t^{'}=a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t\,$

在 $y$ 或 $z$ 方向沒有相對運動，因此根據“相對論”原理

$z^{'}=z\,$

$y^{'}=y\,$

因此

$a_{22}=1\,$ 和 $a_{21}=a_{23}=a_{24}=0\,$

$a_{33}=1\,$ 以及 $a_{31}=a_{32}=a_{34}=0\,$

因此，以下方程還有待求解。

$x^{'}=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t\,$

$t^{'}=a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t\,$

如果空間是各向同性的（在所有方向上相同），那麼時鐘的運動應該與 y 和 z 軸無關（否則，對稱地放置在 x 軸周圍的時鐘似乎會不一致）。因此

$a_{42}=a_{43}=0\,$

所以

$t^{'}=a_{41}x+a_{44}t\,$

滿足 $x^{'}=0\,$ 的事件也必須滿足 $x=vt\,$。因此

$0=a_{11}vt+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t\,$

和

$-a_{11}vt=a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t\,$

鑑於方程是線性的，那麼 $a_{12}y+a_{13}z=0\,$ 以及

$-a_{11}vt=a_{14}t\,$

和

$-a_{11}v=a_{14}\,$

因此，$x^{'}\,$ 的正確變換方程為

$x^{'}=a_{11}(x-vt)\,$

到目前為止的分析給出了以下方程

$x^{'}=a_{11}(x-vt)\,$

$y^{'}=y\,$

$z^{'}=z\,$

$t^{'}=a_{41}x+a_{44}t\,$

假設光速是恆定的，那麼以球體形式擴充套件的光閃光的座標將在每個座標系中滿足以下方程

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\,$

$x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}=c^{2}t^{'2}\,$

將座標變換方程代入第二個方程得到

$a_{11}^{2}(x-vt)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}(a_{41}x+a_{44}t)^{2}\,$

重新排列

$(a_{11}^{2}-c^{2}a_{41}^{2})x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(va_{11}^{2}+c^{2}a_{41}a_{44})xt=(c^{2}a_{44}^{2}-v^{2}a_{11}^{2})t^{2}\,$

我們要求這與

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\,$

所以我們得到

$c^{2}a_{44}^{2}-v^{2}a_{11}^{2}=c^{2}\,$

$a_{11}^{2}-c^{2}a_{41}^{2}=1\,$

$va_{11}^{2}+c^{2}a_{41}a_{44}=0\,$

解這三個聯立方程得到

$a_{44}={\frac {1}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

$a_{11}={\frac {1}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

$a_{41}=-{\frac {v/c^{2}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

將這些值代入

$x^{'}=a_{11}(x-vt)\,$

$y^{'}=y\,$

$z^{'}=z\,$

$t^{'}=a_{41}x+a_{44}t\,$

得到

$x^{'}={\frac {x-vt}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

$y^{'}=y\,$

$z^{'}=z\,$

$t^{'}={\frac {t-(v/c^{2})x}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

逆變換是

$x={\frac {x^{'}+vt^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

$y=y^{'}\,$

$z=z^{'}\,$

$t={\frac {t^{'}+(v/c^{2})x^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}\,$

愛因斯坦的最初方法

如果光速恆定，兩個觀察者如何利用光線測量事件的位置和時間？現代分析這個問題，揭示了所涉及的假設，如上所述，但愛因斯坦最初的推理（愛因斯坦 1905,1920）如下。

光沿著正 x 軸傳播，符合方程$x=ct$ 其中$c$ 是光速。這可以改寫為

$x-ct=0$

另一個相對於第一個觀察者運動的觀察者可能會發現 x 和 t 的不同值，但相同的方程將適用

$x^{'}-ct^{'}=0$

這些公式之間的一個簡單的關係，適用於同一個事件是

$(x^{'}-ct^{'})=\lambda (x-ct)$

光沿著負 x 軸傳播，符合方程$x=-ct$ 其中$c$ 是光速。這可以改寫為

$x+ct=0$

$x^{'}+ct^{'}=0$

並且

$(x^{'}+ct^{'})=\mu (x+ct)$

將這兩個方程相加，並代入$a={\frac {\lambda +\mu }{2}}$ 和 $b={\frac {\lambda -\mu }{2}}$

(1) $x'=ax-bct$

(2) $ct'=act-bx$

其中一個座標系的原點可以設定為$x^{'}=0$，因此

$x={\frac {bc}{a}}t$

如果$v$ 是一個觀察者相對於另一個觀察者的速度，那麼$v={\frac {x}{t}}$，並且

(3) $v={\frac {bc}{a}}$

在$t=0$

(4) $x^{'}=ax$

因此，在帶撇號的參考系中相隔單位距離的兩點，即當$x^{'}=1$時，在不帶撇號的參考系中具有以下間隔

(5) $\Delta x={\frac {1}{a}}$

現在可以從方程 (1) 和 (2) 中消去 $t$，並與$v={\frac {bc}{a}}$ 和 (4) 相結合，得到當$x=1$ 並且 $t^{'}=0$ 時的結果

(6) $x^{'}=a(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})x$

如果 $\Delta x=1$

(7) $\Delta x^{'}=a(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})$

現在，如果這兩個運動系統是相同的，並且情況是對稱的，那麼在未標註系統中對標註系統中顯示為一米的刻度的測量，將與在標註系統中對未標註系統中顯示為一米的刻度的測量相同。因此 (5) 和 (7) 可以組合起來，使得

${\frac {1}{a}}=a(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})$

所以

$a^{2}={\frac {1}{(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}}$

將此 $a$ 的值代入方程式 (1) 和 (2)，並解出 $b$，得到

$x^{'}={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$t^{'}={\frac {t-(v/c^{2})x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

這些是 x 軸上事件的 **洛倫茲變換方程**。

愛因斯坦，A. (1920)。相對論。狹義和廣義相對論。Methuen & Co Ltd 1920。1916 年 12 月寫成。羅伯特·W·勞森（授權翻譯）。http://www.bartleby.com/173/