狹義相對論/相對論動力學

相對論動力學

為了推導相對論動力學中的量，也許最直接的方法是使用拉格朗日力學和最小作用原理。

簡介

回想一下最小作用原理，該原理指出機械系統應該具有稱為作用量的量 $S$。這種量在系統的實際運動中被最小化（換句話說，$\delta S=0$）。

相對論系統的作用量應該是

• 標量：這意味著洛倫茲變換不會影響這個量
• 一個積分，其被積函式是一階微分

滿足上述兩個標準的唯一量是時空間隔 $ds$，或其標量倍數。簡而言之，我們可以得出結論，作用量必須具有以下形式

$S=\kappa \int ds$

回想一下時空間隔的定義 $ds$

$ds={\sqrt {c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}$

從平方根中提取 $cdt$，並注意到 ${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=v^{2}$，我們有

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

因此

$S=c\kappa \int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt$

現在，作用積分可以表示為兩個固定時間之間的拉格朗日的時間積分

$S=\int Ldt$

然後我們可以直接讀出拉格朗日

$L=c\kappa {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

現在剩下的是確定 $\kappa$ 的表示式。在這一點上，我們應該注意到，對於低速度 $v$，這種相對論拉格朗日表達式應該類似於經典自由拉格朗日表達式，$L={\frac {1}{2}}mv^{2}$。為了比較這兩個拉格朗日，我們在平方根上執行泰勒展開

$L=c\kappa \left(1-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+O(v^{4})\right)$

第一項，$c\kappa$，是一個常數。這不會影響運動方程（例如，參見尤拉-拉格朗日方程）。第二項，展開後是$-\kappa {\frac {v^{2}}{2c}}$。為了簡化為經典極限，我們可以令$\kappa =-mc$。

因此，相對論拉格朗日量為

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

動量和能量

回想一下，規範動量由$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}$給出，並改寫$v^{2}=v_{i}v^{i}$（採用愛因斯坦求和約定），我們有

$p_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {2mv_{i}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\gamma mv_{i}$

其中$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$。

有了規範動量的定義，我們現在可以構建哈密頓量

$H=\Sigma p_{i}v_{i}-L=\gamma mv^{2}+mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

由於哈密頓量隨時間保持不變，它代表能量。

經過一些代數運算，我們得到

$H=\gamma mc^{2}$

對於靜止物體，$\gamma =1$，上述方程簡化為著名的質能等價關係

$E=mc^{2}$

可以從上述表示式推匯出另外兩個將動量和能量聯絡起來的表示式

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

${\vec {p}}=E{\frac {\vec {v}}{c^{2}}}$

動量和能量的另一種方法

在經典力學中，動量等於速度乘以質量。我們在相對論中也可以使用相同的定義，看看它會帶我們到哪裡。

${\underline {p}}=m_{0}{\underline {u}}=m_{0}\gamma (\mathbf {v} ,c)$

你可能有時會看到這裡出現的乘積 m₀γ 被稱為 相對論質量，但我們不會使用這種方法。

質量 m₀ 通常被稱為 靜止質量，以區別於相對論質量。

四動量的空間分量顯然是經典動量，乘以一個 γ 因子。在遠小於 c 的速度下，這將近似於 1。

時間分量是 m₀γc。要了解這意味著什麼，我們可以看看它在 v/c 很小時的值。

$m_{0}\gamma c={\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=m_{0}c\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}+\cdots \right)$

此展開式中的第一項是一個常數。

第二項是

${\frac {m_{0}v^{2}}{2c}}$

我們認識到這是經典動能除以 c。

現在，在動能的定義中新增一個常數不會有任何實質性的區別，因為重要的只是能量的變化，所以我們可以將相對論動量的這個時間分量識別為能量除以 c。

${\underline {p}}=(\gamma \mathbf {p} ,E/c)$

然後我們有

$E=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+\cdots$

即使靜止，粒子也具有動能，

$E=m_{0}c^{2},\,$

這是最著名的相對論方程。

質量

在愛因斯坦提出的狹義相對論的最初版本中，相對論質量如下所示

$m=\gamma m_{0}$

然而，在對狹義相對論的更現代的解釋中，質量$m_{0}$被認為是對所有參考系的不變數，而$\gamma m_{0}$被用作$m$的替代。這種約定使物理學家能夠跟蹤正在考慮的是慣性質量還是引力質量。

力

在經典力學中，我們有

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

我們可以透過用四維向量替換三維向量，用 τ 替換 t 來得到等效的相對論方程，得到

${\underline {F}}={\frac {d{\underline {p}}}{d\tau }}$

如果靜止質量是恆定的，就像所有簡單系統一樣，我們可以把它改寫成

${\underline {F}}=m{\underline {a}}$

我們已經知道了a，所以現在我們可以寫成

${\underline {F}}=\gamma ^{4}\left(\mathbf {F} ,{\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }{c}}\right)$

這個的時間部分本質上是功率，即能量隨時間變化的速率，正如人們可能從能量是動量的時空間部分所預期的那樣。