狹義相對論/數學方法

向量

物理效應涉及物體作用於其他物體，從而導致位置、張力等的改變。這些效應通常取決於相互作用物體的強度、接觸角、分離等，而不是任何絕對參考系，因此使用相對位置和相互作用物體的長度來描述控制相互作用的規則，而不是使用任何固定視角或座標系是有用的。向量被引入物理學是為了允許這樣的相對描述。

初級物理學中向量的使用往往避免了對它們是什麼的真正理解。它們是一個新的概念，像數字本身一樣獨特，透過一系列公式（如線性組合、標量積等）與數學和幾何的其他部分相關聯。

向量被定義為“有向線段”，這意味著它們是在特定方向上繪製的線。將時間作為幾何實體引入意味著這種對向量的定義相當過時，更好的定義可能是向量是按空間和時間中的連續點序列排列的資訊。向量具有長度和方向，方向是從早到晚。

向量由帶箭頭符號的線表示，以顯示方向。從左到右移動約三釐米的點可以用下圖表示。

如果向量在座標系內表示，它在該系統的每個軸上都有分量。這些分量通常不從座標系的原點開始。

由粗箭頭表示的向量在座標軸上具有分量 a、b 和 c。如果向量從原點開始，則分量僅僅是向量終點的座標，向量被稱為終點的位矢。

向量的加法

如果將兩個向量連線起來，使得一個向量的終點是另一個向量的起點，則這兩個向量的和被定義為從第一個向量的起點到第二個向量的終點繪製的第三個向量。

c 是 a 和 b 的和

c = a + b

如果 a 的分量為 x1、y1、z1，b 的分量為 x2、y2、z2，則這兩個向量的和的分量為 (x1+x2)、(y1+y2) 和 (z1+z2)。換句話說，當向量相加時，是分量在數值上相加，而不是向量本身的長度。

向量加法的規則

1. 交換律 a + b = b + a

2. 結合律 (a + b) + c = a + (b + c)

如果零向量（沒有長度）用 0 表示

3. a + (-a) = 0

4. a + 0 = a

向量與標量乘法的規則

對分量和向量加法的討論表明，如果向量 a 的分量為 a、b、c，則 qa 的分量為 qa、qb、qc。向量乘法的含義如下所示。

下面的向量 c 相加了三次，這相當於將它乘以 3。

1. 分配律 q(a + b) = qa + qb 和 (q + p)a = qa + pa

2. 結合律 q(pa) = qpa

還有 1 a = a

如果向量加法和與標量相乘的規則適用於一組元素，則它們被稱為定義了一個向量空間。

線性組合和線性相關性

形式為

$q_{1}\mathbf {a_{1}} +q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}}$

被稱為向量的線性組合。

線上性組合中乘以標量的向量集被稱為這些向量的生成空間。使用“生成空間”這個詞是因為標量 (q) 可以取任意值——這意味著生成空間定義的向量空間的任何子集都可以包含從中派生的向量。

假設有一組向量 (${a_{1},a_{2},....,a_{m}}$)，如果可以利用任何線性組合將這些向量中的一個表示為其他向量的形式，則該集合被稱為線性相關。如果不可能利用任何線性組合將這些向量中的任何一個表示為其他向量的形式，則該集合被稱為線性無關。

換句話說，如果標量存在這樣的值

(1). $\mathbf {a_{1}} =q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}}$

則稱該集合線性相關。

判斷線性相關性有一個方法。從 (1) 可以看出，如果將 $q_{1}$ 設定為負一，那麼

$q_{1}\mathbf {a_{1}} +q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}} =0$

因此，一般來說，如果線性組合可以寫成等於零向量的和，那麼向量集 ($\mathbf {a_{1},a_{2},....,a_{m}} )$ 不是線性無關的。

如果兩個向量線性相關，那麼它們位於同一條直線上（無論 a 和 b 在直線上什麼位置，都可以找到標量來生成線性組合，該線性組合為零向量）。如果三個向量線性相關，那麼它們位於同一條直線上或同一平面上（共線或共面）。

維度

如果向量空間中的 n+1 個向量線性相關，那麼 n 個向量線性無關，並且稱該空間的維度為 n。稱 n 個向量集為向量空間的基。

標量積

也稱為“點積”或“內積”。標量積是一種從向量之間關係中去除角度度量問題的方法，正如韋爾所說，它是比較任意傾斜向量的長度的方法。

考慮兩個具有共同原點的向量

$\mathbf {a}$ 在鄰邊的投影是

$P=|\mathbf {a} |cos\theta$

其中 $|\mathbf {a} |$ 是 $\mathbf {a}$ 的長度。

標量積定義為

(2) $\mathbf {a.b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |cos\theta$

請注意，如果$cos\theta$ 為零，則$\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 垂直。這意味著如果標量積為零，則組成它的向量是正交的（相互垂直）。

(2) 也允許將$cos\theta$ 定義為

$cos\theta =\mathbf {a.b} /(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |)$

標量積的定義也允許根據向量本身的概念來定義向量的長度。向量與其自身的標量積為

$\mathbf {a.a} =|\mathbf {a} ||\mathbf {a} |cos0$

cos 0（零的餘弦）為一，所以

$\mathbf {a.a} =a^{2}$

這是我們第一個關於向量和標量的直接關係。這可以表示為

(3) $a={\sqrt {\mathbf {a.a} }}$

其中 a 是$\mathbf {a}$ 的長度。

性質

1. 線性 $[G\mathbf {a} +H\mathbf {b} ].\mathbf {c} =G\mathbf {a.c} +H\mathbf {b.c}$

2. 對稱性 $\mathbf {a.b} =\mathbf {b.a}$

3. 正定性 $\mathbf {a.a}$ 大於或等於 0

4. 對向量加法的分配性 $\mathbf {(a+b).c} =\mathbf {a.c+b.c}$

5. 施瓦茨不等式 $|\mathbf {a.b} |\leq ab$

6. 平行四邊形等式 $|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}=2(|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2})$

從向量物理學的角度來看，標量積最重要的性質是用座標表示標量積。

7. $\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

這使我們能夠根據座標（勾股定理）得到向量的長度，從

8. $\mathbf {a.a} =a^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

7 的推導是

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$

其中 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ 是沿座標軸的單位向量。從 (4)

$\mathbf {a.b} =(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ).\mathbf {b} =a_{1}\mathbf {i} .\mathbf {b} +a_{2}\mathbf {j} .\mathbf {b} +a_{3}\mathbf {k} .\mathbf {b}$

但是 $\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$

所以

$\mathbf {a.b} =b_{1}a_{1}\mathbf {i.i} +b_{2}a_{1}\mathbf {i.j} +b_{3}a_{1}\mathbf {i.k} +b_{1}a_{2}\mathbf {j.i} +b_{2}a_{2}\mathbf {j.j} +b_{3}a_{2}\mathbf {j.k} +b_{1}a_{3}\mathbf {k.i} +b_{2}a_{3}\mathbf {k.j} +b_{3}a_{3}\mathbf {k.k}$

$\mathbf {i.j,i.k,j.k,}$ 等都為零，因為向量是正交的，同樣，$\mathbf {i.i,j.j}$ 和 $\mathbf {k.k}$ 都為 1（這些是定義為長度為 1 個單位的單位向量）。

利用這些結果

$\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

矩陣

矩陣是一組以矩形排列的數字。它們線上性代數中尤為重要，因為它們可以用來表示線性方程的元素。

11a + 2b = c

5a + 7b = d

上述方程中的常數可以表示為矩陣

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}11&2\\5&7\\\end{bmatrix}}$

矩陣元素通常用小寫字母表示

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}$

如果所有對應元素相等，則矩陣相等。

例如：如果 $a_{ij}=b_{ij}$

然後 $\mathbf {A} =\mathbf {B}$

矩陣加法

矩陣的加法是透過將一個矩陣的各個元素加到另一個矩陣的對應元素來實現的。

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

或者 $\mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$

矩陣加法具有以下性質

1. 交換律 $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$

2. 結合律 $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} =\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )$

以及

3. $\mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=0$

4. $\mathbf {A} +0=\mathbf {A}$

從矩陣加法可以看出，矩陣 $\mathbf {A}$ 與數字 p 的乘積只是 $p\mathbf {A}$，其中矩陣的每個元素都單獨乘以 p。

矩陣的轉置

當行和列互換時，矩陣被轉置。

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

$\mathbf {A^{T}} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

注意，主對角線元素在轉置後保持不變。

如果一個矩陣等於它的轉置，那麼這個矩陣是對稱的，例如：$a_{kj}=a_{jk}$。

如果 $\mathbf {A^{T}} =-\mathbf {A}$，那麼它是反對稱的，例如：$a_{kj}=-a_{jk}$。反對稱矩陣的主對角線由元素組成，這些元素為零。

其他型別的矩陣

對角矩陣：主對角線以上和以下的所有元素均為零。

${\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$

單位矩陣：用 I 表示，是對角矩陣，其中主對角線的所有元素都為 1。

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

矩陣乘法

矩陣乘法是根據確定線性變換系數的問題來定義的。

考慮兩個座標系之間的線性變換集，這兩個座標系共享一個共同的原點，並且透過座標軸的旋轉相互關聯。

兩個相互旋轉的座標系

如果有 3 個座標系 x、y 和 z，它們可以從一個座標系變換到另一個座標系

$x_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}$

$x_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}$

$y_{1}=b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2}$

$y_{2}=b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2}$

$x_{1}=c_{11}z_{1}+c_{12}z_{2}$

$x_{2}=c_{21}z_{1}+c_{22}z_{2}$

透過代入

$x_{1}=a_{11}(b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2})+a_{12}(b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2})$

$x_{2}=a_{21}(b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2})+a_{22}(b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2})$

$x_{1}=(a_{11}b_{11}+a_{12}(b_{21})z_{1}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})z_{2}$

$x_{2}=(a_{21}b_{11}+a_{22}(b_{21})z_{1}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})z_{2}$

因此

$c_{11}=(a_{11}b_{11}+a_{12}(b_{21})$

$c_{12}=(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})$

$c_{21}=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})$

$c_{22}=(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})$

係數矩陣為

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}}$

從線性變換中，A 和 B 的乘積定義為

$\mathbf {C} =\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})&(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})&(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\end{bmatrix}}$

在討論標量積時，我們發現對於一個平面，標量積的計算方式如下：$\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$，其中 a 和 b 是向量 a 和 b 的座標。

現在數學家將矩陣的行和列定義為向量

列向量為 $\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{bmatrix}}$

行向量為 $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\end{bmatrix}}$

矩陣可以被描述為向量，例如

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\mathbf {a_{2}} \end{bmatrix}}$

以及

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {b_{1}} \mathbf {b_{2}} \end{bmatrix}}$

矩陣乘法則被定義為向量的標量積，因此

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}.b_{1}} &\mathbf {a_{1}.b_{2}} \\\mathbf {a_{2}.b_{1}} &\mathbf {a_{2}.b_{2}} \end{bmatrix}}$

根據標量積的定義，$\mathbf {a_{1}.b_{1}} =a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}$等等。

一般情況下

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}.b_{1}} &\mathbf {a_{1}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{1}.b_{n}} \\\mathbf {a_{2}.b_{1}} &\mathbf {a_{2}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{2}.b_{n}} \\.&.&.&.\\\mathbf {a_{m}.b_{1}} &\mathbf {a_{m}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{m}.b_{n}} \end{bmatrix}}$

這被描述為行乘以列（例如：行向量乘以列向量）。第一個矩陣的列數必須與第二個矩陣的行數相同，否則乘法將無法定義。

矩陣乘法後，乘積矩陣的行數與第一個矩陣相同，列數與第二個矩陣相同。

${\begin{bmatrix}1&3&4\\6&3&2\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}}$ 有 2 行和 1 列 ${\begin{bmatrix}39\\35\end{bmatrix}}$

即：第一行是 $1*2+3*3+4*7=39$，第二行是 $6*2+3*3+2*7=35$

$\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-1&3\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}2&3&4\\3&2&1\\5&1&3\end{bmatrix}}$ 具有 2 行和 3 列 ${\begin{bmatrix}21&11&13\\16&7&16\end{bmatrix}}$

請注意，$\mathbf {BA}$ 無法確定，因為**第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數**才能執行矩陣乘法。

矩陣乘法的性質

1. 不滿足交換律 $\mathbf {AB} \neq \mathbf {BA}$

2. 滿足結合律 $\mathbf {A(BC)} =\mathbf {(AB)C}$

$(k\mathbf {A} )\mathbf {B} =k(\mathbf {AB} )=\mathbf {A} (k\mathbf {B} )$

3. 對矩陣加法滿足分配律

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC}$

矩陣乘法不滿足交換律，因此 $\mathbf {C} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathbf {CA} +\mathbf {CB}$ 是一個單獨的情況。

4. 消去律並不總是成立

$\mathbf {AB} =0$ 並不意味著 $\mathbf {A} =0$ 或 $\mathbf {B} =0$

有一種情況，矩陣乘法滿足交換律。這涉及到標量矩陣，其中主對角線的數值都相等。例如

$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\end{bmatrix}}$

在這種情況下 $\mathbf {AS} =\mathbf {SA} =k\mathbf {A}$。如果標量矩陣是單位矩陣：$\mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A}$。

線性變換

一個簡單的線性變換，例如

$x_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}$

$x_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}$

可以表示為

$\mathbf {x} =\mathbf {Ay}$

例如

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}$

和 $y_{1}=b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2}$

$y_{2}=b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2}$

可以寫成：$\mathbf {y} =\mathbf {Bz}$

使用結合律

$\mathbf {x} =\mathbf {A} (\mathbf {Bz} )=\mathbf {ABz} =\mathbf {Cz}$

所以

$\mathbf {C} =\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})&(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})&(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\end{bmatrix}}$

如前所述。

指標符號

考慮一個簡單的座標旋轉

$x^{\mu }$ 定義為 $x_{1}$，$x_{2}$

$x^{\nu }$ 定義為 $x_{1}^{'}$，$x_{2}^{'}$

標量積可以寫成

$\mathbf {s.s} =g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$

其中

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

被稱為這個二維空間的度量張量。

$\mathbf {s.s} =g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

現在，$g_{11}=1$, $g_{12}=0$, $g_{21}=0$, $g_{22}=1$ 所以

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}^{'}+x_{2}x_{2}^{'}$

如果座標沒有旋轉，標量積是

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}$

$s^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

這是畢達哥拉斯定理。

求和約定

作為下標和上標出現的索引都會被求和。

$g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

透過將 $\nu$ 提升為上標，它將從求和中移除，即：。

$g_{\mu }^{\nu }x^{\mu }x^{\nu }=g_{1\nu }x_{1}x_{\nu }^{'}+g_{2\nu }x_{2}x_{\nu }^{'}$

矩陣乘法在指標表示法中的應用

考慮

列乘以行

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}\\x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}$

矩陣乘積 $\mathbf {XY} =x_{i}y_{j}$ 其中 i = 1, 2 j = 1, 2

由於沒有求和，索引都是下標。

行乘以列： ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}x_{1}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}$

矩陣乘積 $\mathbf {XY} =\delta _{ij}x^{i}y^{j}$

其中 $\delta _{ij}$ 稱為克羅內克δ，當 $i\neq j$ 時值為0，當 $i=j$ 時值為1。它是單位矩陣的指標等效

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

由於存在求和，一個i的值是下標，另一個是上標。

一般來說，矩陣可以用以下任何一種方式指定

$M_{i}^{j}$ , $M_{ij}$ , $M_{j}^{i}$ , $M^{ij}$，具體取決於哪個下標或上標被求和。

指標記號中的向量

向量可以表示為基向量的和。

$\mathbf {x} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}$

在指標記號中，這是：$x=a^{i}e_{i}$

指標記號中的線性變換

考慮 $\mathbf {x} =\mathbf {Ay}$ 其中 $\mathbf {A}$ 是一個係數矩陣，而 $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 是座標矩陣。

在指標記號中，這是

$x^{\mu }=A_{\nu }^{\mu }x^{\nu }$

這變成

$x_{1}=a_{11}x_{1}^{'}+a_{12}x_{2}^{'}+a_{13}x_{3}^{'}$

$x_{2}=a_{21}x_{1}^{'}+a_{22}x_{2}^{'}+a_{23}x_{3}^{'}$

$x_{3}=a_{31}x_{1}^{'}+a_{32}x_{2}^{'}+a_{33}x_{3}^{'}$

標量積的指標表示

在指標表示中，標量積為

$\mathbf {x.y} =\delta _{ij}x^{i}y^{j}$

曲面和變換分析

在 19 世紀初，人們發現諸如歐幾里得平行公理之類的命題需要發展一種新的幾何學，能夠處理曲面和實數平面與虛數平面。這種方法的基礎是高斯對曲面的分析，它允許我們在任何型別的表面上使用各種座標系和位移。

基本幾何分析作為對狹義相對論的介紹是有用的，因為它暗示了座標變換中出現的係數的物理意義。

假設在一個表面上有一條線。這條線的長度可以用座標系來表示。一條短線段 $\Delta s$ 在二維空間中可以用畢達哥拉斯定理表示為

$\Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}$

假設在表面上還有另一個座標系，有兩個軸：x₁, x₂，如何用這些座標來表示線的長度？高斯解決了這個問題，他的分析對於兩個座標軸來說非常簡單

圖 1

可以使用基本微分幾何來描述平面上的位移，用曲面上的位移來表示

$\Delta Y=\Delta x_{1}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}$

$\Delta Z=\Delta x_{1}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}$

然後假設短線的位移由一個公式給出，稱為度量，例如畢達哥拉斯定理

$\Delta S^{2}=\Delta Y^{2}+\Delta Z^{2}$

然後可以將 $\Delta Y$ 和 $\Delta Z$ 的值代入這個度量

$\Delta S^{2}=(\Delta x_{1}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}})^{2}+(\Delta x_{1}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})^{2}$

展開後，得到：

$\Delta S^{2}=$

$({\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}})\Delta x_{1}\Delta x_{1}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}})\Delta x_{2}\Delta x_{1}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})\Delta x_{1}\Delta x_{2}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})\Delta x_{2}\Delta x_{2}$

這可以用求和符號表示：

$\Delta S^{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}({\frac {\delta Y}{\delta x_{i}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{k}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{i}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{k}}})\Delta x_{i}\Delta x_{k}$

或者，使用 **指標** 表示法

$\Delta S^{2}=g_{ik}\Delta x^{i}\Delta x^{k}$

其中

$g_{ik}=({\frac {\delta Y}{\delta x^{i}}}{\frac {\delta Y}{\delta x^{k}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x^{i}}}{\frac {\delta Z}{\delta x^{k}}})$

如果座標沒有合併，那麼 $\Delta s$ 將依賴於兩組座標。用矩陣表示法

$\Delta s^{2}=\mathbf {g} \Delta \mathbf {x} \Delta \mathbf {x}$

變為

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$

其中 a, b, c, d 代表 $g_{ik}$ 的值。

因此

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}a+\Delta x_{2}c&\Delta x_{1}b+\Delta x_{2}d\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$

也就是

$(\Delta {x_{1}}a+\Delta {x_{2}}c)\Delta {x_{1}}+(\Delta {x_{1}}b+\Delta {x_{2}}d)\Delta {x_{2}}=\Delta {x_{1}}^{2}a+2\Delta {x_{1}}\Delta {x_{2}}(c+b)+\Delta {x_{2}}^{2}d$

所以

$\Delta {s}^{2}=\Delta {x_{1}}^{2}a+2\Delta {x_{1}}\Delta {x_{2}}(c+b)+\Delta {x_{2}}^{2}d$

$\Delta {s}^{2}$ 是一個雙線性形式，它依賴於 $\Delta {x_{1}}$ 和 $\Delta {x_{2}}$。它可以用矩陣符號表示為

$\Delta {s}^{2}=\mathbf {\Delta {x}^{T}A\Delta {x}}$

其中 A 是包含 $g_{ik}$ 值的矩陣。這是一個稱為二次型的雙線性形式的特殊情況，因為同一個矩陣 ($\mathbf {\Delta {x}}$) 出現了兩次；在廣義雙線性形式 $\mathbf {B} =\mathbf {x^{T}Ay}$ （矩陣 $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 是不同的）。

如果表面是歐幾里得平面，則 $g_{ik}$ 的值是

${\begin{bmatrix}\delta {Y}/\delta {x_{1}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{1}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}\\\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{2}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{2}}\end{bmatrix}}$

這將變成

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

因此矩陣 A 是單位矩陣 I，並且

$\Delta {s}^{2}=\mathbf {\Delta {x^{T}}I\Delta {x}}$

以及

$\Delta {s}^{2}=\Delta {x_{1}}^{2}+\Delta {x_{2}}^{2}$

這再次恢復了勾股定理。

如果曲面是從其他度量匯出的，例如 $\Delta {s^{2}}=-\Delta {Y}^{2}+\Delta {Z}^{2}$，則 gik 的值是

${\begin{bmatrix}-\delta {Y}/\delta {x_{1}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{1}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}\\-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{2}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{2}}\end{bmatrix}}$

它將變為

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

這使得原始度量可以被恢復，即: $\Delta {s^{2}}=-\Delta {x_{1}}^{2}+\Delta {x_{2}}^{2}$.

有趣的是，將幾何分析與上面指標記號部分推匯出的基於矩陣代數的變換進行比較。

$\mathbf {s.s} =g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

現在，

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

即: $g_{11}=1$, $g_{12}=0$, $g_{21}=0$, $g_{22}=1$ 所以

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}^{'}+x_{2}x_{2}^{'}$

如果座標沒有旋轉，標量積是

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}$

$s^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

這恢復了畢達哥拉斯定理。但是，讀者可能已經注意到，在標量積的推導中，畢達哥拉斯定理一開始就被假設了（見上文）。

幾何分析表明，如果假設一個度量，並且允許微分幾何的條件存在，那麼有可能從另一個座標系中推匯出一個座標系。這種分析也可以使用矩陣代數，並在相同的假設下進行。

上面的例子使用了一個簡單的二維畢達哥拉斯度量，一些其他度量，如 4D 閔可夫斯基空間的度量

$\Delta S^{2}=-\Delta T^{2}+\Delta X^{2}+\Delta Y^{2}+\Delta Z^{2}$

可以代替畢達哥拉斯定理。