靜力學/二維平衡

有六個方程表示剛體在三維空間中的平衡。

力的總和：$\sum _{}^{}F_{x}=0$，$\sum _{}^{}F_{y}=0$，$\sum _{}^{}F_{z}=0$

力矩的總和：$\sum _{}^{}M_{x}=0$，$\sum _{}^{}M_{y}=0$，$\sum _{}^{}M_{z}=0$

在二維情況下，可以忽略一個方向的力和兩個方向的力矩。當力僅存在於 x 和 y 方向時，除了 z 方向外，不可能有任何方向的力矩。當力僅存在於 x 和 y 方向時，相關的方程如下所示。

力的總和：$\sum _{}^{}F_{x}=0$，$\sum _{}^{}F_{y}=0$

力矩的總和：$\sum _{}^{}M_{z}=0$

解決二維靜力學問題

• 繪製自由體圖
• 寫出力的平衡方程
• 寫出力矩的平衡方程
• 一旦方程數與未知數個數相同，問題就可以得到解決，您可能需要戰略性地選擇點來寫力矩方程等。

力偶

F1 和 F2 相等

如本節所示，力偶在每個點的力矩都相同。檢視右側的圖片後，可以寫出以下方程。逆時針方向的力矩被認為是正的，順時針方向的力矩被認為是負的。F1 = F2

$\sum M_{A}=F_{1}*a-F_{2}*(b+a)=F_{1}*a-F_{1}*(b+a)=-F_{1}*b=-F*b$

$\sum M_{B}=-F_{1}*(b+c)+F_{2}*(c)=-F*b$

$\sum M_{C}=-F_{1}*d-F_{2}*e=-F*(d+e)=-F*b$

所有點處的力矩都等於力乘以力之間的距離。 如果你求出關於D點或任何其他點的力矩，你將繼續得到相同的力矩。所有點的力矩都相同，即使這些點不在x-y平面上。

示例 1

問題

右邊的圖片顯示了作用在停泊汽車上的力。如果汽車的重量正好作用在兩個車輪之間，且重量為1000磅，那麼後輪承受多少力？前輪呢？

答案

寫出力方程

$\sum F_{x}=0$

x方向沒有力。

$\sum F_{y}=0=R_{f}+R_{B}-W=R_{f}+R_{B}-1000lbs$

寫出關於前輪的力矩方程

$\sum M_{f}=0=-5ft*W+10*R_{B}=-5000lbft+10*R_{B}$

$\ R_{B}=500lb$

將$R_{B}$代入$sumF_{y}$

$\sum F_{y}=0=R_{f}+R_{B}-W=R_{f}+500lbs-1000lbs$

$\ R_{f}=500lbs$

請注意，$R_{f}$ 和 $R_{B}$ 分佈在兩個車輪上。每個前輪支撐$R_{f}$的一半，每個後輪支撐$R_{B}$的一半。

示例 2

問題

一個質量為$m\,\!$、半徑為$r\,\!$的均勻環，在其半徑為$b\,\!$的位置上有一個偏心質量$m_{0}\,\!$。該環處於一個斜坡上的平衡位置，斜坡與水平面成$\alpha \,\!$角。如果接觸面足夠粗糙以防止滑動，請寫出定義平衡位置的角度$\theta \,\!$的表示式。

答案：$\theta =sin^{-1}[{\frac {r}{b}}(1+{\frac {m}{m_{0}}})sin\alpha ]\,\!$