統計力學/德拜理論

假設我們有一個材料，其振動模式在視覺上類似於果凍。換句話說，我們正在觀察聲子模式。聲子特定模式的能量方程與光子的能量方程相同。聲子和光子情況之間的唯一區別是，聲子情況有一個可能的上限（因為最高頻率發生在最短波長處：當一個分子處於其振幅而相鄰分子處於其波谷時），以及我們有另一個可能的極化模式（兩個橫向，一個縱向），以及我們正在處理 v（材料中的聲速）而不是 c。因此，當我們像光子推導（另一個類似的態密度問題）那樣轉換積分時，我們得到

$U={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{n_{D}}dn{\frac {n^{2}\hbar \omega _{n}}{exp(\hbar \omega _{n}/T)-1}}$

其中 n_D 是此最大情況。

我們現在定義一個稱為德拜溫度的東西（材料的物理性質）

$\theta =(\hbar v/k_{B})(6\pi ^{2}N/V)^{1/3}$

注意：k_B 出現是因為我們一直在使用能量表示的 T，而不是典型的開爾文標度的 T，k_B 實際上意味著這裡的 T 以開爾文單位表示）

如果我們使用它，並取 T << θ 的低溫極限，我們可以將上限近似為我們在積分中繼續使用 ∞（這在物理上意味著固體沒有達到許多更高能量級的狀態）我們可以幾乎完全像以前一樣進行評估

$U(T)=3\pi ^{4}Nk_{B}T^{4}/5\theta ^{3}$

和

$C_{V}:=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {12\pi ^{4}Nk_{B}}{5}}\left({\frac {T}{\theta }}\right)^{3}$

這被稱為德拜的 T³ 定律，與實驗結果吻合良好。