統計力學/量子氣體
根據自旋-統計定理，實際上只有兩種型別的粒子：費米子和玻色子。因此，如果我們可以分別很好地研究每一種，那麼我們就知道了很多！
我們將使用之前為這些模型開發的“基礎設施”大配分函式（為了使其更通用）。具體來說，我們可以使用大配分函式來建立分佈函式，並使用這些函式來研究費米氣體/玻色氣體的特定性質。
使用我們之前的定義
f(ε) := <N(ε)>
現在，對於給定的軌道（即，對於給定的 ε），費米子只能有兩種選擇，要麼有一個粒子，要麼沒有粒子。因此，我們可以使用我們之前定義的方法來計算平均量，以便計算 <N(ε)>（我們將透過暴力求解來進行求和，這並不難，最多隻有兩項）
f(ε)=1/(exp((ε-μ)/kT) + 1)
該過程相同，只是不是沒有或一個，而是 0 到無窮大。如果我們使用一些求和關係，我們會得到
f(ε)=1/(exp((ε-μ)/kT) - 1)
這與費米氣體的情況驚人地相似，但減號會導致與費米氣體相比的極端行為差異。
儘管費米氣體和玻色氣體的總體行為不同，但在特定極限內，我們看到兩種分佈幾乎相似。我們將此極限稱為“經典極限”。特別地，此極限為
exp((ε-μ)/kT) >> 1
此極限唯一的重要性在於確定何時我們不必擔心兩種氣體不同的行為。
由於 0 或 1 的限制，在非常低的溫度下（請注意，冷是一個相當比較的術語，對於金屬片上的自由電子來說，這可能高達華氏數百度！這表明這種奇特的量子現象確實影響了您的日常生活）費米氣體只能被“鎖定”到那麼多的軌道。它們不能全部落入基態。氣體被“鎖定”的能量稱為費米能。
在分佈函式方面，這意味著在這個“冷”的溫度下，函式在一點急劇下降。
與費米氣體中出現的費米能不同，玻色子可以隨意凝聚，這就是減號發揮作用的地方。當能級越來越低時，最終它們可能會超過化學勢，這會導致玻色分佈函式中的指數小於 1，從而導致函式為負，即不可能的值。實際上，當 ε 接近 μ 時，函式趨近於奇點。從物理上講，這意味著所有玻色子都可以在低溫下“凝聚”到相同的低能點：一種被稱為玻色凝聚的現象。