統計力學/二態問題/多重性

獨立於二態問題，多重性是一個非常重要的概念（它也允許我們計算熵（儘管，這是一種非常困難的計算方式））。

在給定系統引數的情況下，多重性函式將告訴我們系統有多少個微觀狀態（例如，對於氣體，有一個可能的微觀狀態，其中你房間中的所有氣體都被塞進了一個角落，另一個微觀狀態，其中它被塞進了另一個角落，等等）（相比之下，宏觀狀態告訴我們系統的總體屬性，系統處於能量為U₀的狀態，即使許多可能的微觀狀態具有能量U₀）。

所以，g(X₁,...)...

熵的意義

熵的另一種定義如下（如果我們接受每個狀態發生的機率相等，這個假設被稱為熱物理學的基本假設）

$S=ln(g)$

這就是熵被解釋為“系統無序度”的普遍解釋的來源。如果“無序度”很大，那麼系統可以處於許多可能的狀態，而熵增加以允許此資訊。

從二態問題的角度

透過向上或向下自旋統計，我們可以很容易地看到微觀狀態和宏觀狀態之間的聯絡。假設我們有十個站點，那麼以下是可能的微觀狀態（u 為上，d 為下）

uuuuuddddd

uuuududddd

duuuuuuuuu

等等...

然而，宏觀狀態可能是 2m（其中 m 是單個站點的磁化強度），注意，對於這種單個宏觀狀態，我們有許多微觀狀態會產生這個結果

uuuuuudddd

uuudduuudd

ududududuu

等等...

透過這個例子，對於任何給定的站點數量 (N)，我們可以使用組合學為二態系統建立以下多重性方程

$g(N)=2^{N}$

因此，我們可以找到僅取決於站點數量的系統熵

$S=Nln2$

一個更復雜的例子是構建多重性函式，不僅以站點數量為引數，還要以超額自旋數量為引數。然後，根據我們的假設，當熵最大化（即其平衡狀態）時，系統處於零超額自旋（在沒有磁場的情況下）。

另一個有趣的例子是考慮一個雙軌道系統，它只有兩種可訪問狀態：基態和激發態。使用最大化原則，我們可以自動確定該系統的平衡熵為$ln2$，因為此時的多重性將是兩種狀態之一，使 g=2。