統計力學/熱輻射

普朗克分佈函式

對於熱輻射，我們知道以下方程

ε_n=sℏω_n

我們可以將我們之前構建的配分函式“基礎設施”應用於此

Z = Σ_s=0 exp(-sℏω_n/T)

透過代數運算

= 1/(1 - exp(-ℏω_n/T))

因此，我們也可以找到機率

P(s) = exp(-sℏω_n/T)/Z

現在，我們可以開始計算一些有趣的熱力學量。讓我們從s的熱平均值開始，即在給定溫度下熱輻射的平均模式

<s> = Σ_s=0 sP(s) = Z^-1 Σsexp(-sℏω_n/T)

如果我們進行求和的數學運算

<s>=1/(exp(ℏω_n/T) - 1)

記住，對於一個模式

ε_n=sℏω_n

對其求平均值

<ε_n> = <sℏω_n>

= <s>ℏω_s

從上一節

= ℏω_n/(exp(ℏω_n/T) - 1)

因此，如果我們將所有模式加起來

U = Σ_n ℏω_n/(exp(ℏω_n/T) - 1)

注意ω_n = nπc/L，現在因為ℏ非常小，我們可以將這個和近似為積分。在這個過程中，我們將使用球座標系改變積分變數n的座標，並令x = πℏcn/LT（由於我們只對n的正值進行積分，因此會出現額外的1/8，由於頻率的兩個獨立的腔模式集，因此會出現額外的2）

注意：實際上，這是一個態密度問題，其中D(n) = 4n²，因為球面殼* 1/8 * 2 = n²，ε=ℏω_n，以及f(ε)=(exp(ℏω_n/T) - 1)^-1

U = (L³T⁴/π²ℏ³c³) ∫₀^∞ x³/(exp(x) - 1) dx

積分在積分表中有一個確定的值，L³=V，因此我們得到了斯特藩-玻爾茲曼輻射定律

U/V = π²/15π²ℏ³c³ T⁴

現在，在我們之前的推導中，如果我們沒有用dn積分，而是用dω積分，那麼就會出現以下形式

U/V = ∫dω u_ω

與統計特性進行比較，這就像一個密度，更具體地說，是一個光譜密度，如果我們進行數學運算

u_ω = ℏ/π²c³ ω³/(exp(ℏω/T) - 1)

這就是著名的普朗克黑體輻射定律。

假設我們關注輻射通量密度，根據通量密度的定義

J_U = cU(T)/4V（額外的4是一個幾何因子）

如果我們應用斯特藩-玻爾茲曼定律於此

J_U = π²T⁴/60ℏ³c²

這與基爾霍夫定律的區別在於多了一個常數，稱為吸收率/發射率常數，它取決於材料。