統計熱力學和速率理論/統計熱力學的基本數學

指數和對數

統計熱力學中的指數函式扮演著重要的角色。該領域中使用的函式大多遵循高斯分佈，即歸一化的指數函式。因此，瞭解此類函式的一些基本性質至關重要。

在數學中，指數函式的形式為

$f(x)=b^{x}$

其中 $b$ 是任何常數，而 $x$ 作為指數出現。這些函式的特殊之處在於，由於它們之間的直接關係，其導數與其自身之間存在密切的關係。然而，對於統計熱力學而言，可能最重要的指數函式是底為尤拉數 ($e\approx 2.71828...$) 的指數函式，這是其導數與其自身之間的比例常數為 1 的唯一常數。

另一方面，指數函式的逆函式是對數函式，形式為

$f(x)=\log _{b}(x)$

此函式也由於其數學性質而具有相當重要的意義。需要強調的是，與底為 的指數函式一起，底為 $e$ 的對數稱為自然對數。

指數函式的一些性質如下

• $e^{x+y}=e^{x}e^{y}\,$
• $e^{0}=1\,$
• $e^{x}\neq 0$
• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$
• $\left(e^{x}\right)^{n}=e^{nx},n\in \mathbb {Z}$

對數函式的一些性質如下

• $\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y$
• $\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$
• $\log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x$
• $\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}$

另請參閱

• 維基百科：指數函式
• 維基百科：對數
• 維基百科：級數（數學）