統計熱力學與速率理論/拉格朗日乘數

約束最佳化

當對系統施加約束時，拉格朗日乘數 可以被納入來確定多元函式的最大值。確定此函式在約束條件下最大值的新過程變為

1. 將約束條件寫成一個函式。即，$g(x,y)=c$
2. 定義一個新的方程。$f(x,y)+{\alpha }({g(x,y)}-{c})$ 其中 $\alpha$ 是一個未定義的常數
3. 使用之前三個步驟來確定無約束系統最大值，求解這組方程以找到最大值。

例如，假設我們有一個函式 $f(x,y)=-{2x}^{2}-{y}^{2}-{xy}-{10y}$，我們對該函式施加以下約束：$y=x+5$

該約束條件將寫成$g(x,y)=x+y=5$

然後我們將根據約束條件定義新的方程為$(-{2x}^{2}-{y}^{2}-{xy}-{10y})+{\alpha }({x}+{y}-{5})$

接下來，我們對 x 和 y 分別求偏導數，並將其設為零，然後解出 x 和 y。

首先，對 x 求偏導數並將其設為零

${\frac {\partial }{\partial x}}[(-{2x}^{2}-{y}^{2}-{xy}-{10y})+{\alpha }({x}+{y}-{5})]=0$

計算將得到

${\alpha }-4x-y=0$

${\alpha }=4x+y$

現在，對 y 求偏導數並將其設為零

${\frac {\partial }{\partial y}}[(-{2x}^{2}-{y}^{2}-{xy}-{10y})+{\alpha }({x}+{y}-{5})]=0$

${\alpha }-x-2y-10=0$

${\alpha }=x+2y+10$

這將導致以下可以求解以確定最大值的方程組

${\alpha }=4x+y$

${\alpha }=x+2y+10$

$x+y=5$

求解這組方程組，在約束條件 $x+y=5$ 下，發現最大值為

$(x,y)=\left({\frac {-35}{8}},{\frac {5}{8}}\right)$

無約束最佳化

確定無約束系統的最大值遵循非常類似的步驟，只是它不會有拉格朗日乘數，因為系統不受

給定直線的約束，而是系統本身的最大值。求解無約束系統的步驟變為

1. 計算偏導數
2. 將它們設為零
3. 求解變數

例如，給定相同的函式 $f(x,y)=-{2x}^{2}-{y}^{2}-{xy}-{10y}$，首先將計算偏導數為

$({\frac {\partial f}{\partial x}})_{y}=-4x-y$

$({\frac {\partial f}{\partial y}})_{x}=-2y-x$

令兩個偏導數都為零

$-4x-y=0$

$-2y-x=0$

最後將求解變數。得到與約束系統不同的最大值

$(x,y)=\left({\frac {10}{7}},{\frac {-40}{7}}\right)$