統計熱力學與速率理論/熱導率

基於氣體動理論的氣體熱導率

氣體動理論

氣體動理論描述的氣體系統

氣體動理論是一組關於氣體粒子系統的假設。這些假設從經典意義上考慮系統，而不是現實或量子系統。氣體粒子被認為是完美的圓形球體，每個球體具有相同的質量。假設一個系統有統計上足夠數量的這些球體。假設每個球體都經歷著大量的與其他球體和系統邊界碰撞。這些碰撞被認為是完全彈性的，因為每次碰撞都不會損失任何能量。還假設每個球體在系統內都處於恆定、隨機的運動狀態。氣體粒子的速度遵循麥克斯韋分佈。

氣體的傳輸特性：動量

利用氣體動理論，可以確定描述性質透過氣體傳輸的函式。可以想象兩個沿著 x 軸平行放置的平板，相隔 z 軸一定距離 a。這兩塊平板之間的區域包含許多氣體粒子。上板以一定恆定速度沿著 x 軸移動。這兩塊平板之間的氣體粒子對這種運動產生阻力。這是由於動量從平板轉移到氣體粒子。剪下應力 ($\tau$) 定義為單位面積上的阻力。這種阻力的量級取決於平板的速度、兩塊平板之間的間距以及系統中氣體粒子的型別。每種氣體都有一個影響阻力的常數。粘度係數，定義為 $\eta$，與上板施加的應力成正比。
${\frac {F_{drag}}{A}}=\tau =\eta {\frac {U}{a}}$
假設最靠近兩塊平板的氣體粒子在 x 軸上具有相同的線性動量。也就是說，運動平板附近的氣體粒子的動量在平板運動方向上具有相同的線性動量。動量與 z 軸高度的關係函式定義為 G(x)。還假設在 z 軸上某一數值 (Z) 上的每個氣體粒子都具有與 Z 上所有其他氣體粒子相同的動量。有了這個假設，G(x) 可以定義為
$G(x)={\frac {mUz}{a}}$
更靠近運動平板的氣體粒子將具有更大的動量。這些氣體粒子將傾向於將它們的動量傳遞給更靠近靜止平板的粒子。這種動量傳遞被稱為動量通量，可以用每秒每單位面積穿過系統平面傳遞動量的速率來表示。在給定時間內穿過給定平面的粒子數量受到任何給定氣體粒子穿過平面的速度的約束。粒子要在給定時間段內穿過平面所必須移動的距離與粒子的速度直接相關。可以透過積分 z' 處粒子的 x 動量與穿過平面的粒子數量的乘積來確定 z' 處粒子的淨動量通量。透過將粒子的動量用 z 軸上的 z 表示，並利用泰勒級數近似將 G(z') 用 G(z) 表示，可以將粘度係數定義為

$\eta ={\frac {1}{3}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\left(mk_{b}T\right)^{\frac {1}{2}}}{\sigma ^{2}}}$

氣體的傳輸特性：動能

如果上述兩個平板保持靜止但溫度不同，它們之間會形成溫度梯度。靠近高溫平板的氣體粒子比靠近低溫平板的氣體粒子具有更多的動能。這是因為粒子在與高溫平板碰撞時獲得了能量。與動量透過氣體粒子傳遞的方式非常相似，動能也以相同的方式傳遞。這種傳遞發生的速率被測量為能量透過氣體的通量 (J)。系統的通量等於溫度梯度 $\left({\frac {dG}{dz}}\right)$ 乘以粘度係數 ($\eta$)。然後可以將此通量乘以平板的面積，以得出熱傳遞速率。透過定義一個新函式 $G(z)=\langle \xi (z)\rangle$ 作為高度為 z 的粒子的平均能量，可以替換 $\left({\frac {dG(z)}{dz}}\right)$ 在上述方程中以確定熱導率係數。
${\frac {dG}{dz}}={\frac {1}{N_{A}}}C_{v,m}{\frac {dT}{dz}}$

$J=-\eta {\frac {dG}{dz}}$

$J=-{\frac {1}{3}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\left(mk_{B}T\right)^{\frac {1}{2}}}{\sigma ^{2}}}{\frac {1}{N_{A}}}C_{v,m}{\frac {dT}{dz}}$

$\lambda _{simple}={\frac {1}{3}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{3/2}\left({\frac {k_{B}T}{m}}\right)^{1/2}{\frac {C_{v,m}}{N_{A}\sigma ^{2}}}$
基於氣體粒子碰撞的牛頓力學對熱導率係數的更嚴格推導提供了更準確的方程
$\lambda _{rigorous}={\frac {25}{32}}\left({\frac {k_{B}T}{\pi m}}\right)^{1/2}{\frac {C_{v,m}}{N_{A}\sigma ^{2}}}$

此方程的數值預因子與簡單推導不同，但對溫度和熱容的依賴性相同。

熱導率的解釋

氣體的熱導率係數與其壓力無關。系統中氣體的數量不會影響熱導率係數。然而，熱導率與溫度有關。溫度升高與氣體熱導率升高成正比。半徑較大的氣體，$\sigma ^{2}$，具有較低的熱導率。這是因為碰撞之間所走的距離更短。在上述系統中，具有動量或動能的氣體粒子將比具有較短$\sigma$的氣體粒子向下方板移動的距離更短。