氣體粒子可以在空間中沿三個獨立的方向運動：x、y 和 z。每個方向都是一個獨立的平動自由度。對於理想氣體，這些粒子可以自由地在空間中的任何方向運動，直到它與容器壁碰撞。對於孤立系統，假設與容器壁的碰撞是彈性的，這意味著碰撞時沒有能量損失。
描述平動的第一個量子力學模型是一維箱中的粒子。它可以沿一個軸（通常指定為 x 軸）在任意指定的邊界極限 0 和 a 之間自由移動。在小於 0 和大於“a”的距離處，勢能函式立即上升到無窮大。粒子無法越過這些點。0 和 a 代表一維箱的壁。我們可以使用此資訊在數學上分配邊界條件，這允許推匯出一個維箱中粒子的波函式。得到的逐段函式、波函式和能級方程如下所示，
V ( x ) = { ∞ , x < 0 0 , 0 ≤ x ≤ a ∞ , x > a {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)={\begin{cases}\infty ,x<0\\0,0{\leq }x{\leq }a\\\infty ,x>a\end{cases}}} Ψ ( x ) = 2 a sin ( n π x a ) {\displaystyle \Psi (x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{a}}\right)}} n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle n=1,2,3,...} 以及系統的相應能級。
ϵ n = h 2 n 2 8 m a 2 {\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8ma^{2}}}} 注意：在上式中，m 表示氣體粒子的質量，h 是普朗克常數。
箱內平動的能級是量子化的，在任何給定時間，粒子只能佔據離散的能級。這些能級中的每一個都由一個量子數 n 定義。n 可以取從 1 開始到假想無窮大的任何整數值。一維箱中粒子的 n = 0 狀態不存在。根據海森堡不確定性原理，粒子不能靜止。如果是這種情況，那麼粒子的動量和位置可以同時確定，這違反了該原理。因此，一維箱中粒子在最低平動能級上的能量不為零（即，n = 1）。
可以構建一維箱中粒子波函式的機率密度圖。該圖的特點是在 n 值較低時有相當大的“峰”。例如，在 n=1 時，有一個大的峰，從 x = 0 處的最小值開始，在中心某處有一個最大值，然後在 x = a 處有一個第二個最小值。這些最小值代表零機率密度的區域。換句話說，粒子不會出現在這些區域。
隨著 n 的增加，機率密度圖峰之間的間距越來越小，直到在 n 值足夠高時達到近似連續。還必須注意，平動能級之間的能量間距相對於粒子在正常條件下可獲得的能量來說非常小。在室溫下，理想氣體粒子將佔據非常高的能級。當我們將量子數增加到足夠大的值時，系統的行為將開始再現經典力學的行為，即粒子基本上等可能地出現在箱內的任何地方，而不是出現在 n 值較低時看到的離散峰區域。這就是所謂的對應原理。
對應原理也適用於三維箱。對於三維箱中的粒子，粒子能夠沿 x、y 和 z 軸的任何方向運動。由於它的運動現在包含了三個可能方向的組合，因此係統必須包含兩個額外的量子數來補償這種差異。nx 、ny 和 nz 分別對應於 x、y 和 z 維度。波函式和能級方程都必須進行調整以補償新的量子數。這些給出如下，
Ψ n x , n y , n z = 8 a b c sin ( n x π x a ) sin ( n y π y b ) sin ( n z π z c ) {\displaystyle \Psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\sqrt {\frac {8}{abc}}}\sin \left({\frac {n_{x}{\pi }x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}{\pi }y}{b}}\right)\sin \left({\frac {n_{z}{\pi }z}{c}}\right)} ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m ( n x 2 a 2 + n y 2 b 2 + n z 2 c 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {{n_{x}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{n_{y}}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {{n_{z}}^{2}}{c^{2}}}\right)} a、b 和 c 代表盒子對應邊的長度。如果盒子是立方體，則能量級方程可以簡化，因為立方體的邊 a、b 和 c 都是相等的。結果方程將採用以下形式：
ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m{a^{2}}}}({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}})} 對於立方體中的粒子，某些量子數組合將給出相同的能量級。具有不同量子數集但具有相同能量的能級被稱為簡併，除非所有三個量子數都相同，否則總是存在另外三個量子數的組合會導致簡併態。
計算 N2 從基態到第一激發態的平動能差 Δ E {\displaystyle \Delta E}
基態，其中 n x = n y = n z = 1 {\displaystyle n_{x}=n_{y}=n_{z}=1} n = 1 , 1 , {\displaystyle n=1,1,}
ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m ( n x 2 a 2 + n y 2 b 2 + n z 2 c 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {{n_{x}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{n_{y}}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {{n_{z}}^{2}}{c^{2}}}\right)} 然而，由於立方體的所有邊都是 10 釐米，那麼 a=b=c=10 釐米 = 0.1 米。然後方程變為
ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m{a^{2}}}}\left({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}}\right)} 可以使用以下公式確定 N2 的質量
μ = m N m N m N + m N , {\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{N}m_{N}}{m_{N}+m_{N}}},\!\,} μ = m N 2 2 m N , {\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{N}^{2}}{2m_{N}}},\!\,} μ = m N 2 , {\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{N}}{2}},\!\,} μ = 14.0067 u 2 , {\displaystyle \mu ={\cfrac {14.0067u}{2}},\!\,} μ = ( 7.00335 u ) ( 1.660549 × 10 − 27 k g / u ) , {\displaystyle \mu =(7.00335u)(1.660549\times 10^{-27}kg/u),\!\,} μ = 1.16294 × 10 − 26 k g , {\displaystyle \mu =1.16294\times 10^{-26}kg,\!\,} Δ E {\displaystyle \Delta E} ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) − ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m{a^{2}}}}({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}})-({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}})} ϵ n x , n y , n z = ( 6.626 × 10 − 34 ) 2 J s 8 ( 1.16294 × 10 − 26 k g ) 0.1 m 2 ( 2 2 + 1 2 + 1 2 ) − ( 1 2 + 1 2 + 1 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {({6.626\times 10^{-34}})^{2}Js}{8(1.16294\times 10^{-26}kg){0.1m^{2}}}}({{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}})-({{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}})} ϵ n x , n y , n z = 4.3904 × 10 − 67 J 2 s 2 9.30352 × 10 − 28 k g m 2 ( 6 − 3 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {{4.3904\times 10^{-67}}J^{2}s^{2}}{9.30352\times 10^{-28}kgm^{2}}}(6-3)} ϵ n x , n y , n z = 1.4157 × 10 − 39 J {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}=1.4157\times 10^{-39}J} 維基百科關於盒中粒子模型的條目
