統計/測試資料/FtestANOVA

單因素方差分析F檢驗用於識別受試者效應之間是否存在差異。例如，為了調查某種新藥對白細胞數量的影響，在實驗中將該藥給予三個不同的組，一組是健康人，一組是輕度患病者，一組是重度患病者。一般來說，方差分析可以識別該藥對白細胞數量的影響在各組之間是否存在顯著差異。顯著指的是各組之間以及各組內部都將存在差異，但目的是調查各組之間的差異是否比各組內部的差異大。為了建立這樣的實驗，在計算F統計量之前，必須驗證三個假設：獨立樣本、方差齊性和正態性。第一個假設表明，不同受試者的測量結果之間沒有關係。方差齊性指的是實驗中不同組（例如，藥物與安慰劑）之間的方差相等。此外，正態性假設表明，這些組中的每一個的分佈都應該近似於正態分佈。

模型

這種情況以如下方式建模。第$j$個受試者在第$i$組中的測量結果表示為

$X_{ij}=\mu +\alpha _{i}+U_{ij}\,$.

這意味著：第$j$個受試者在第$i$組中的測量結果受一般效應（由$\mu \,$表示）、組效應（由$\alpha _{i}\,$表示）和個體貢獻（由$U_{ij}\,$表示）的影響。

個體或隨機貢獻$U_{ij}\,$，通常稱為擾動，被認為是獨立的，正態分佈的，都具有期望值為0和標準差為$\sigma$。

為了使模型明確，組效應受以下條件約束

$\sum _{i}\alpha _{i}=0\,$.

現在。一個符號說明：通常的做法是，透過在索引或索引的位置寫一個點來表示一個或多個索引的平均值。例如

$X_{i.}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}X_{ij}$

方差分析現在將總“方差”（以總“平方和”的形式）分為兩部分，一部分是組內變異造成的，另一部分是組間變異造成的

$SST=\sum _{ij}(X_{ij}-X{..})^{2}=\sum _{ij}(X_{ij}-X_{i.}+X_{i.}-X{..})^{2}=\sum _{ij}(X_{ij}-X_{i.})^{2}+\sum _{ij}(X_{i.}-X{..})^{2}\,$.

我們看到誤差平方和這一項

$SSE=\sum _{ij}(X_{ij}-X_{i.})^{2}\,$

表示組內變異的總平方差，即每個測量值與其組平均值之間的平方差的總和，而因子平方和項

$SSA=\sum _{ij}(X_{i.}-X{..})^{2}\,$

表示組間變異的總平方差，即每個組的平均值與其總體平均值之間的平方差的總和。

在無效應的零假設下

$H_{0}:\forall _{i}\ \alpha _{i}=0$

我們發現

$SSE/\sigma ^{2}\,$ 服從自由度為 a(m-1) 的卡方分佈，並且

$SSA/\sigma ^{2}\,$ 服從自由度為 a-1 的卡方分佈，

其中 $a$ 是組數，而 $m$ 是每組的人數。

因此，所謂的均方和的商

$MSA={\frac {SSA}{a-1}}$

和

$MSE={\frac {SSE}{a(m-1)}}$

可以用作檢驗統計量

$F={\frac {MSA}{MSE}}$

在零假設下，其服從自由度為 $a-1$ 的 F 分佈（分子）和 $a(m-1)$ 的 F 分佈（分母），因為未知引數 $\sigma$ 在商中被抵消，因此不發揮作用。