統計/測試資料/compare-prop2

以下是一個來自2004年美國總統大選的執行示例。應該清楚的是，民意調查的選擇以及誰領先與概念的介紹無關。根據新聞週刊（連結）於10月2日進行的一項民意調查，如果今天舉行選舉，47%的1013名已登記選民將投票給約翰·克里/約翰·愛德華茲。45%的人會投票給喬治·W·布什/迪克·切尼，2%的人會投票給拉爾夫·納德/彼得·卡梅霍。

• 在Microsoft Excel程式中開啟一個新的空白工作簿。
• 在單元格A1中輸入克里的報告百分比*p*（0.47）。
• 在單元格B1中輸入布什的報告百分比*q*（0.45）。
• 在單元格C1中輸入受訪者人數*N*（1013）。這可以在大多數關於民意調查的負責任報告中找到。
• 在單元格A2中，完整複製並貼上下一行文字並按Enter鍵。這是Microsoft Excel對如上所述的差異標準誤的表示式。

=sqrt(A1*(1-A1)/C1+B1*(1-B1)/C1+2*A1*B1/C1)

• 在單元格A3中，完整複製並貼上下一行文字並按Enter鍵。這是Microsoft Excel對基於給定邏輯的正態分佈的克里領先機率的表示式。

=normdist((A1-B1),0,A2,1)

• 不要忘記百分比將以小數形式表示。當然，如果A1和B1相同，百分比將為0.5或50%。

以上文字可能足以進行必要的計算，但它無助於理解所涉及的統計檢驗。人們經常認為統計學只是用複雜公式進行計算的問題。

所以問題是：令p為投票給克里的已登記選民的人口比例，q類似地表示投票給布什的人口比例。在一個有n=1013個受訪者的民意調查中，要求受訪者說明他們的選擇。一定數量的K個受訪者表示選擇克里，一定數量的B個受訪者表示投票給布什。K和B是隨機變數。K和B的觀測值為k和b（數字）。所以k/n是p的估計值，b/n是q的估計值。隨機變數K和B服從引數為n、p、q和1-p-q的三項分佈。克里會領先於布什嗎？也就是說：p>q嗎？為了研究這個問題，我們進行了一項統計檢驗，其零假設為

$\,H_{0}:p=q$

反對備擇假設

$\,H_{1}:p>q$.

什麼是合適的檢驗統計量T？我們取

$\,T=K-B$.

（在上面的計算中，取$T={\frac {K}{n}}-{\frac {B}{n}}={\frac {K-B}{n}}$，這將導致相同的計算。）

我們必須說明T在零假設下的分佈。我們可以假設T近似服從正態分佈。

很明顯，它在H₀下的期望值為

$\,E_{0}T=0$.

它在H₀下的方差並不那麼明顯。

$\,var_{0}(T)=var(K-B)=var(K)+var(B)-2cov(K,B)=np(1-p)+nq(1-q)+2npq$.

我們使用樣本分數而不是總體分數來近似方差

$var_{0}(T)\approx 1013\times 0.47(1-0,46)+1013\times 0.45(1-0.45)+2\times 1013\times 0,47\times 0.45\approx 931$.

標準差s將近似為

$\,s={\sqrt {var_{0}(T)}}\approx {\sqrt {931}}=30.5$.

在樣本中，我們發現了一個值為 t = k - b = (0.47-0.45)1013 = 20.26 的 T。對於 T 的較大值，我們將拒絕零假設而支援備擇假設。所以問題是：20.26 應該被認為是 T 的一個大值嗎？標準將是這個結果的所謂 p 值。

$\,p-value=P(T\geq t;H_{0})=P(T\geq 20.26;H_{0})=P(Z\geq {\frac {20.26}{30.5}})=1-\Phi (0.67)=0.25$.

這是一個非常大的 p 值，所以沒有任何理由拒絕零假設。