統計/測試資料/z檢驗2

指示

零假設應該是關於兩個總體均值差異的假設（注意，在每個總體中必須測量相同的定量變數）。資料應包含兩個定量資料的樣本（每個總體一個）。這些樣本必須獨立地從彼此獲得。

樣本必須來自具有已知標準差（或方差）的總體。此外，每個總體中測量的變數（一般表示為 x₁ 和 x₂）應具有正態分佈。

注意，如果總體中變數的分佈是非正態的（或未知的），則仍然可以使用雙樣本 z 檢驗來獲得近似結果，前提是組合樣本量（樣本量之和）足夠大。歷史上，組合樣本量至少為 30 被認為足夠大；現實（當然）要複雜得多，但這個經驗法則仍在許多教科書中使用。

H₀ : μ₁ - μ₂ = δ

其中 δ 是零假設下期望值之間的假定差異。

H₀ : μ₁ - μ₂ < δ

H₀ : μ₁ - μ₂ > δ

H₀ : μ₁ - μ₂ ≠ δ

有關零假設和備擇假設的更多資訊，請參見單均值 z 檢驗頁面。

z={\frac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-\delta }{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}

通常，零假設是總體均值相等；在這種情況下，公式簡化為

z={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}

過去，如果可以假設兩個總體的方差（以及標準差）相等，則計算更簡單。此過程稱為合併，許多教科書仍然使用它，儘管它正在逐漸被淘汰（因為計算機和計算器幾乎消除了所有計算問題）。

{\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{\sigma {\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}}

使用備擇假設計算觀察到 z 值（來自標準正態分佈）的機率，以指示在機率密度函式下方計算面積的方向。這是獲得的顯著性或 p 值。

注意，一些（較舊的）方法首先選擇一個顯著性水平，然後將其轉換為 z 值。這在計算機和圖形計算器出現之前的時代更有意義（也更容易！）。

獲得的顯著性表示在零假設為真的情況下，獲得與我們的檢驗統計量一樣極端或更極端的檢驗統計量的機率。

如果獲得的顯著性（p 值）足夠低，則表明我們的檢驗統計量是不尋常的（罕見的）——我們通常將其視為零假設有誤的證據。在這種情況下，我們拒絕零假設。

如果 p 值很大，則表明檢驗統計量是通常的（常見的）——我們將此視為缺乏反對零假設的證據。在這種情況下，我們無法拒絕零假設。

通常使用 5% 作為常見與不尋常之間的分界線；再次，現實更復雜。

美國大學和學院按提供的最高學位分類。IIA 類機構提供碩士學位，IIB 類機構提供學士學位。一位正在尋找新職位的教授想知道 IIA 和 IIB 類機構之間的薪資差異是否真的有意義。

他發現，隨機抽取的 200 家 IIA 類機構的平均工資（正教授）為 $54,218.00，標準差為 $8,450。隨機抽取的 200 家 IIB 類機構的平均工資（正教授）為 $46,550.00，標準差為 $9,500（假設樣本標準差實際上是總體標準差）。

這些資料表明 IIA 類機構的工資明顯更高嗎？

零假設是沒有差異；因此

H₀ : μ_A = μ_B

（其中 μ_A 是 IIA 類機構的真實正教授平均工資，μ_B 是 IIB 類機構的平均工資）

他正在尋找 IIA 類機構平均工資更高的證據；因此備擇假設是

H₁ : μ_A > μ_B

由於假設涉及來自獨立樣本的均值（我們假設這些是獨立樣本），因此建議進行雙樣本檢驗。樣本量很大，並且已知標準差（假設？），因此雙樣本 z 檢驗是合適的。

z={\frac {\mu _{A}-\mu _{B}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{A}^{2}}{n_{A}}}+{\frac {\sigma _{B}^{2}}{n_{B}}}}}}={\frac {54218-46550}{\sqrt {{\frac {8450^{2}}{200}}+{\frac {9500^{2}}{200}}}}}=8.5292

現在我們找到標準正態分佈中z=8.5292右側的面積。這可以透過表格或軟體完成，我得到0。

如果零假設成立，並且兩種機構型別之間的薪資沒有差異，那麼獲得樣本的機率，其中IIA機構的平均值至少比IIB機構的平均值高出7668美元，實際上為零。這種情況發生的頻率太低，無法歸因於偶然變異；這似乎很不尋常。我拒絕零假設（在任何合理的顯著性水平上！）。

看起來IIA學校的薪資明顯高於IIB學校。

一名學生在微積分考試中取得了65分，考試平均分為50分，標準差為10分；她在歷史考試中取得了30分，考試平均分為25分，標準差為5分。比較她在兩場考試中的相對位置？