斯托克斯定理

在微分幾何中，斯托克斯定理是一個關於積分的微分形式的陳述，它概括了幾個來自向量微積分的定理。它以爵士喬治·加布裡埃爾·斯托克斯（1819-1903）的名字命名，儘管該定理的第一個已知表述來自威廉·湯姆森（開爾文勳爵），並出現在他於7月 1850 年寫給斯托克斯的一封信中。 該定理得名於斯托克斯的習慣，即將其包含在劍橋獎項考試中。1854 年，他在考試中要求他的學生證明該定理。

介紹

微積分基本定理指出，函式 f 在區間 [a, b] 上的積分可以透過找到 f 的反導數 F 來計算

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

斯托克斯定理是這個定理在以下意義上的一個廣泛推廣。

• 透過選擇 F，${\frac {dF}{dx}}=f$. 用微分形式的語言來說，這就是說 f(x) dx 是 0-形式（即函式）F 的外微分：dF = f dx。一般的斯托克斯定理適用於更高階的微分形式$\omega$而不是 F。
• 用更專業的語言來說，閉區間 [a, b] 是一個具有邊界的單維流形。它的邊界是包含兩個點 a 和 b 的集合。將 f 在區間上積分可以推廣到在更高維流形上積分形式。需要兩個技術條件：流形必須是可定向的，並且該形式必須是緊支集的，以便給出一個定義明確的積分。
• 這兩個點 a 和 b 構成了開區間的邊界。更一般地說，斯托克斯定理適用於具有邊界的定向流形 M。M 的邊界 ∂M 本身是一個流形，並從流形的自然定向繼承了一個自然定向。例如，區間的自然定向給出了兩個邊界點的定向。直觀地說，a 繼承了與 b 相反的定向，因為它們位於區間的兩端。因此，“積分” F 在兩個邊界點 a, b 上就是取差 F(b) − F(a)。

因此，微積分基本定理可以寫成

$\int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).$

一般公式

令 M 為一個 n 維定向光滑流形，並令$\alpha$ 為一個在 M 上緊支集的 n-微分形式。$\alpha$ 在 M 上的積分定義如下：令 {f_i} 為與（一致定向的）座標鄰域的區域性有限覆蓋 {U_i} 相關的單位分解，則積分

$\int _{M}\alpha \,$

被定義為

$\sum _{i}\int _{U_{i}}f_{i}\,\alpha ,\,$

其中每個求和項透過拉回到 Rⁿ 來計算。這是定義良好的。

斯托克斯定理表明：如果 $\omega$ 是一個在 M 上具有緊支集的 (n − 1)-形式，並且 ∂M 表示 M 的 邊界，具有其誘導的 方向，那麼

$\int _{M}\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial M}\omega .\!\,$

這裡 d 是 外微分，它僅使用流形結構來定義。

該定理通常用於 M 是某個更大流形中嵌入的定向子流形的情況，形式 $\omega$ 在其上定義。

拓撲解釋

設 M 為一個光滑流形。M 的一個 (C^∞-)奇異 k-單純形是一個從 R^k 中的標準單純形到 M 的光滑對映。由奇異 k-單純形生成的自由阿貝爾群 S_k 被認為由 M 的奇異 k-鏈 組成。這些群與 邊界對映 ∂ 一起，定義了一個 鏈復形。相應的同調（或上同調）被稱為 M 的 (C^∞-)奇異同調（或上同調）。

另一方面，微分形式，以外微分 d 作為連線對映，形成一個上同調復形，它定義了 德拉姆上同調。

微分 k-形式可以透過將它們拉回到 R^k 來以自然方式在 k-單純形上積分。透過線性擴充套件，可以對鏈進行積分。這給出了從 k-形式空間到奇異上同調鏈 S_k* 中的第 k 個群的線性對映，即 S_k 上的線性泛函。換句話說，k-形式 $\omega$ 定義了一個泛函

$I(\omega )(c)=\int _{c}\omega \,$

在 k-鏈上。斯托克斯定理指出，這是一個從德拉姆上同調到奇異上同調的鏈對映；外微分 d 在形式上表現得像 ∂ 的“對偶”。這給出了一個從德拉姆上同調到奇異上同調的同態。在形式級別上，這意味著

1. 閉形式在邊界上的積分值為零，並且
2. 精確形式在迴圈上的積分值為零。

德拉姆定理表明，這個同態實際上是一個同構。因此，上面 1 和 2 的逆命題成立。換句話說，如果 {c_i} 是生成第 k 個同調群的迴圈，那麼對於任何相應的實數 {a_i}，存在一個閉形式 $\omega$ 使得

$\int _{c_{i}}\omega =a_{i},$

並且此形式在精確形式下是唯一的。

特殊情況

使用微分形式的斯托克斯定理的通用形式位元殊情況更強大，也更容易使用。因為在 笛卡爾座標 中，傳統的版本可以在沒有微分幾何學的幫助下被公式化，因此它們更容易理解，也更古老，並且擁有熟悉的名稱。傳統的形式通常被實踐中的科學家和工程師認為更方便，但是當使用其他座標系（即使是熟悉的球座標或圓柱座標）時，傳統的公式化的非自然性變得顯而易見。在名稱的應用方式以及對偶公式的使用方面，可能會存在混淆。

開爾文-斯托克斯定理

這是用表面 $\Sigma$、它的邊界 $\scriptstyle {\partial \Sigma ,}$ 和方向 n 對開爾文-斯托克斯定理的說明。

這是 (對偶化的) 1+1 維情況，對於 1-形式 (對偶化的，因為它是關於 向量場 的陳述)。這種特殊情況通常被稱為許多大學入門向量微積分課程中的 斯托克斯定理。它有時也被稱為 旋度定理。

經典的開爾文-斯托克斯定理

$\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,$

它將 曲面積分 與 旋度 的 向量場 在歐幾里德三維空間中的 $\Sigma$ 表面上相關聯，與 線積分 的向量場在其邊界上相關聯，是廣義斯托克斯定理 (n = 2) 的特例，一旦我們使用歐幾里德三維空間的度量將向量場識別為 1-形式。線積分的曲線 ( ∂Σ ) 必須具有正 方向，這意味著當曲面法線 ( d Σ ) 指向觀察者時，d r 指向逆時針方向，遵循 右手定則。

它可以被改寫為學生所熟悉的形式

$\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz$$+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx$$+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$  $=\oint \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz$

其中 P、Q 和 R 是 F 的分量。

這些變體經常被使用

$\int _{\Sigma }\left(g\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)+\left(\nabla g\right)\times \mathbf {F} \right)$$\cdot d\mathbf {\Sigma }$  $\ =\oint _{\partial \Sigma }g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,$

$\int _{\Sigma }\left(\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {\Sigma }$  $\ =\oint _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {r} .$

在電磁學中

麥克斯韋方程組的四個方程中有兩個涉及三維向量場的旋度，它們的微分形式和積分形式透過開爾文-斯托克斯定理相關聯。需要注意的是，要避免邊界移動的情況：偏時間導數的目的是排除此類情況。如果包含邊界移動，則積分和微分交換會引入與邊界運動相關的項，而這些項未包含在下面的結果中。

名稱	微分 形式	積分 形式（使用開爾文-斯托克斯定理加上相對論不變性，$\int {\frac {\partial }{\partial t}}...\to {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int ...$    )
麥克斯韋-法拉第方程 法拉第電磁感應定律:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$$=-\ {\mathrm {d} \over {\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$   C 和 S 靜止
安培定律 （麥克斯韋擴充套件）	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A}$       $=\int _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} +{\mathrm {d} \over {\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$    C 和 S 靜止

散度定理

類似地，奧斯特羅格拉德斯基-高斯定理（也稱為散度定理或高斯定理）

$\int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \ d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma }$

是如果我們將向量場與透過將向量場與歐幾里得體積形式收縮得到的 *n*-1 形式進行識別時的一個特例。

格林定理

格林定理 可以立即識別為上述以 *P*、*Q* 和 *R* 表達的積分中兩側的第三個被積函式。

參考文獻

模板：參考文獻

進一步閱讀

• Joos，Georg。理論物理學。第 13 版。威斯巴登學術出版社，1980 年。ISBN 3-400-00013-2
• Katz，Victor J. (1979)，"斯托克斯定理的歷史"，數學雜誌，52 (3): 146–156 {{引用}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助)
• Marsden，Jerrold E.，Anthony Tromba。向量微積分。第 5 版。W. H. Freeman：2003 年。
• Spivak，Michael (1965)，流形上的微積分：一種對高階微積分經典定理的現代方法，HarperCollins，ISBN 978-0-8053-9021-6
• Stewart，James。微積分：概念與背景。第 2 版。太平洋格羅夫，加利福尼亞州：Brooks/Cole，2001 年。
• Stewart，James。微積分：早期超越函式。第 5 版。Brooks/Cole，2003 年。

外部連結

• 模板：Planetmath 參考
• 微分形式和斯托克斯定理 Jerrold E. Marsden 控制與動力系統，加州理工學院 連結已損壞！
• 微積分 3 - 來自 lamar.edu 的斯托克斯定理 - 解釋說明

模板：連結 FA