資訊市場策略/背景/古諾競爭

古諾競爭是一種經濟模型，用於描述行業結構。它以 安託萬·奧古斯丁·古諾 (1801-1877) 的名字命名，他在觀察泉水雙寡頭競爭時提出了這一模型。它具有以下特點

• 有兩家公司生產同質產品；
• 公司不合作。
• 公司擁有市場力量；
• 存在進入壁壘；
• 公司在數量上競爭，並同時選擇數量；
• 公司之間存在戰略行為；

價格是總產量已知的下降函式。所有公司都知道 N，並假定其他公司的產量是給定的。每家公司都有成本函式 ci(qi)（單位成本乘以數量）。通常，成本函式被認為是公共知識。成本函式通常對所有公司來說都是一樣的。市場價格設定為使需求等於兩家公司的總產量。

圖形化找到古諾雙寡頭均衡

p1 = 公司 1 價格，p2 = 公司 2 價格

q1 = 公司 1 數量，q2 = 公司 2 數量

c = 邊際成本（假設為常數）

均衡價格將是

p1 = p2 = P(q1+q2)

這意味著公司 i 的利潤由 $\Pi \ i=qi(P(q1+q2)-c)$ 給出。

• 計算公司 1 的剩餘需求：假設公司 1 認為公司 2 生產的數量為 q2。公司 1 的最佳數量是多少？考慮圖 1。如果公司 1 決定不生產任何東西，那麼價格將由 P(0+q2)=P(q2) 給出。如果公司 1 設定產量為 q1’，那麼價格將由 P(q1’+q2) 給出。更一般地說，對於公司 1 可能決定設定的每種數量，價格將由曲線 d1(q2) 給出。曲線 d1(q2) 被稱為公司 1 的剩餘需求；它給出了對於給定 q2 值，公司 1 的數量和價格的所有可能組合。

• 確定公司 1 的最佳產量：為此，我們必須找到邊際收益等於邊際成本的位置。邊際成本 (c) 被認為是常數。邊際收益是一條曲線 - r1(q2) - 其斜率是 d1(q2) 的兩倍，並且具有相同的縱截距。這兩條曲線相交的點對應於數量 q1’’(q2)。公司 1 的最佳 q1’’(q2) 取決於它認為公司 2 正在做什麼。為了找到均衡，我們推匯出公司 1 在其他可能 q2 值下的最佳值。圖 2 考慮了 q2 的兩個可能值。如果 q2=0，那麼公司 1 的剩餘需求實際上就是市場需求，d1(0)=D。最佳解決方案是公司 1 選擇壟斷數量；q1’’(0)=q^m（q^m 是壟斷數量）。如果公司 2 選擇與完全競爭相對應的數量，q2=qc P(q^c)=c，那麼公司 1 的最佳選擇將是生產零：q1’’(q^c)=0。這是邊際成本與對應於 d1(q^c) 的邊際收益相交的點。

• 可以證明，在給定線性需求和恆定邊際成本的情況下，函式 q1’’(q2) 也是線性的。因為我們有兩個點，所以我們可以繪製整個函式 q1’’(q2)，參見圖 3。注意圖表的軸已經改變，函式 q1’’(q2) 是公司 1 的反應函式，它給出了公司 1 對公司 2 的每種可能選擇的最佳選擇。換句話說，它給出了公司 1 在知道公司 2 正在做什麼的情況下做出的選擇。

• 找到古諾均衡的最後一個階段是找到公司 2 的反應函式。在這種情況下，它是對稱的，因為它們的成本函式相同。均衡是反應曲線的交點。參見圖 4。

• 該模型的預測是，公司將選擇 納什均衡 產量水平。

計算均衡

一般而言，設（雙寡頭）行業的定價函式為 $P(q_{1}+q_{2})$ 且公司 i 具有成本結構 $C_{i}(q_{i})$。要計算納什均衡，必須首先計算公司的最佳反應函式。

企業 i 的利潤等於收入減去成本。收入是價格乘以數量的乘積，而成本由企業的成本結構給出，因此利潤（如上所述）為：$\Pi \ i=P(q_{1}+q_{2}).q_{i}-C_{i}(q_{i})$。最佳回應是找到$q_{i}$的值，該值最大化$\Pi \ i$，前提是給定$q_{j}$，其中$i\neq \ j$，即給定競爭對手企業的產出後，找到利潤最大化的產出。因此，需要找到$\Pi \ i$關於$q_{i}$的最大值。首先，對$\Pi \ i$關於$q_{i}$進行求導。

${\frac {\partial \Pi \ i}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}.qi+P(q1+q2)-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}$

為了最大化，將其設定為零

${\frac {\partial \Pi \ i}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}.qi+P(q1+q2)-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0$

滿足該方程的$q_{i}$ 值是最佳反應。納什均衡是當$q_{1}$ 和 $q_{2}$ 都是給定$q_{1}$ 和 $q_{2}$ 值的最佳反應。

si===示例===

假設行業具有以下價格結構：$P(q_{1}+q_{2})=a-b(q_{1}+q_{2})$ 公司 i 的利潤（成本結構為 $C_{i}(q_{i})$，以便於計算 ${\frac {\partial ^{2}C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}^{2}}}=0$ 且 ${\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{j}}}=0,j\neq \ i$）是

$\Pi \ i={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}.q_{i}-\partial C_{i}(q_{i})$

最大化問題歸結為（從一般情況來看）

${\frac {\partial {\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{i}}}.qi+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0$

不失一般性，考慮公司 1 的問題

${\frac {\partial {\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{1}}}.q1+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0$

$\Rightarrow \ -bq_{1}+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0$

$\Rightarrow \ q_{1}={\frac {a-bq_{2}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}$

根據對稱性

$\Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}}$

這些是公司的最佳反應函式。對於任何$q_{2}$的值，公司1的最優反應是滿足上述條件的任何$q_{1}$值。在納什均衡中，兩家公司都將採取最佳反應，因此需要同時求解上述方程。將$q_{2}$代入公司1的最佳反應

$\ q_{1}={\frac {a-b({\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}$

$\Rightarrow \ q_{1}*={\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{3b}}$

$\Rightarrow \ q_{2}*={\frac {a+{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{3b}}$

納什均衡點是所有 $(q_{1}*,q_{2}*)$。這將產生 5a/3 的市場價格。

影響

• 與壟斷相比，古諾雙寡頭壟斷的產量更大，但低於完全競爭。
• 與壟斷相比，古諾雙寡頭壟斷的價格更低，但不像完全競爭那樣低。

伯特蘭與古諾

• 雖然這兩個模型都有類似的假設，但它們都具有非常不同的含義。
• 伯特蘭預測雙寡頭壟斷足以將價格推低至邊際成本水平，這意味著雙寡頭壟斷將導致完全競爭。
• 沒有哪個模型是“更好”的，它取決於哪個模型對該行業更準確。
• 如果產能和產量可以輕鬆改變，那麼伯特蘭是雙寡頭壟斷競爭的更好模型。或者，如果產量和產能難以調整，那麼古諾通常是更好的模型。