資訊市場/資訊級聯策略

條件機率

如果 $Pr(A|B)=$ 表示 **"已知 B 發生的條件下 A 發生的機率"** 或者 **"在 B 條件下 A 的機率"**

那麼，

$Pr(A|B)={\frac {Pr(A\ AND\ B)}{Pr(B)}}$

貝葉斯規則

$Pr(B|A)={\frac {Pr(A|B)Pr(B)}{Pr(A|B)Pr(B)+Pr(A|NotB)Pr(NotB)}}$

孔多塞陪審團定理

二項分佈

如果一次成功的機率是 ${\text{ }}p$，那麼

$Pr(k{\text{ successes in}}\ n\ {\text{trials}})={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{(n-k)}$

而

• $p^{k}\$ 代表特定 ${\text{ }}k$ 次試驗成功的機率

• $(1-p)^{(n-k)}$ 代表特定 ${\text{ }}(n-k)$ 次試驗失敗的機率

在數學中，

• ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

群體決策/投票

為了確定群體決策/投票是否正確，成功次數 ${\text{ }}C$ 需要大於 ${\text{ }}n$ 的一半。以下公式推導自二項分佈函式，它告訴了正確群體決策的機率。

在這種情況下，透過消除投票結果為平局的情況，假設投票人數 ${\text{ }}n$ 為奇數，以便 ${\text{ }}C$ 可以大於 ${\text{ }}n$ 的一半。

因此，

$Pr(C)=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{(n-k)}$

受影響的群體決策/投票模型

在日常生活中，人們通常會受到其他影響做出投票決定，而不是完全獨立地進行決策。讓我們推匯出另一個模型來確定在其他影響因素下正確群體決策的機率。

令

• $p=$ 為決策正確的機率

• $C=$ 為群體做出正確決策（超過一半的投票是正確的）

• $P_{I}=$ 為影響因素正確的機率

• $\alpha =$ 為投票者遵循影響因素做出決定的機率

• $Pr({\text{Voter votes correctly}})=(1-\alpha )p+\alpha P_{I}$

• $P_{T}=Pr({\text{Voter Correct}}|{\text{Influence Correct}})=(1-\alpha )p+\alpha =$ 為影響因素正確時投票者正確的機率

• $P_{F}=Pr({\text{Voter Correct}}|{\text{Influence Wrong}})=(1-\alpha )p=$ 當影響錯誤時，投票者判斷正確的機率

因此，

$Pr({\text{Group Correct}})=Pr({\text{Influence Correct}})Pr({\text{Group Correct}}|{\text{Influence Correct}})$

$+Pr({\text{Influence Wrong}})Pr({\text{Group Correct}}|{\text{Influence Wrong}})$

$Pr(C)=P_{I}\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{\binom {n}{k}}P_{T}^{k}(1-P_{T})^{(n-k)}+(1-P_{I})\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{\binom {n}{k}}P_{F}^{k}(1-P_{F})^{(n-k)}$

中心極限定理

設 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 為一系列獨立同分布的隨機變數。這些變數的平均值為 $\mu _{x}$，方差為 $\sigma _{x}^{2}$.

設 $y={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$.

當 $n$ 越來越大時，$y$ 將越來越接近一個均值為 $\mu _{y}=\mu _{x}$，方差為 $\sigma _{y}^{2}={\frac {\sigma _{x}^{2}}{n}}$ 的正態分佈隨機變數。