弦理論/超對稱

超對稱

本章關於超對稱旨在以Z₂分級形式，不使用格拉斯曼變數來介紹它。

一個Z₂-分級向量空間是一個向量空間，其中一個偶數（玻色子）（對應於Z₂中的0）和一個奇數（費米子）（對應於1）子空間，使得向量空間是偶數和奇數子空間的直接和。

一個偶數向量是偶數子空間中的一個元素，而一個奇數向量是奇數子空間中的一個元素。一個純向量要麼是偶數向量，要麼是奇數向量。任何向量都可以唯一地分解為偶數向量和奇數向量的和。

兩個Z₂-分級向量空間的張量積是另一個Z₂-分級向量空間。

事實上，在這本書中，我們將採取更強烈的觀點，即將偶數向量和奇數向量加在一起沒有物理意義。從這個角度來看，我們可以將Z₂-分級向量空間視為一個有序對<V₀,V₁>，其中V₀是偶數空間，V₁是奇數空間。

類似地，一個Z₂-分級代數是一個代數A，它具有偶數部分和奇數部分的直接和分解，使得兩個純元素的乘積滿足Z₂關係。或者，我們可以將其視為<A₀,A₁>。

一個李超代數是一個Z₂-分級代數，其乘積[·, ·]（稱為李超括號或超對易子）滿足

$[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x]$

和

$(-1)^{|z||x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x||y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y||z|}[z,[x,y]]=0$

其中x、y和z在Z₂分級中是純的。這裡，|x|表示x的度數（0或1）。

李超代數是將普通李代數自然推廣到包括Z₂分級。實際上，超括號上的上述條件正好是普通李括號上的條件，只是根據分級進行了修改。最後一個條件有時稱為超雅可比恆等式。

請注意，李超代數的偶數子代數形成一個（普通）李代數，因為所有奇怪的符號都消失了，超括號變成了普通的李括號。

思考李超代數的一種方式——這不是最對稱的方式——是分別考慮其偶數部分和奇數部分L₀和L₁。然後，L₀是一個李代數，L₁是L₀的線性表示，並且存在一個對稱的L₀-互換子$\{.,.\}:L_{1}\otimes L_{1}\rightarrow L_{0}$使得對於L₁中的所有x、y和z，

$\left\{x,y\right\}[z]+\left\{y,z\right\}[x]+\left\{z,x\right\}[y]=0$

一個超流形是 非交換幾何中的一個概念。回想一下，在非交換幾何中，我們不看點集空間，而是看它們上的函式代數。如果M是一個（微分）流形，H是一個（光滑的）代數束，它在M上有一個格拉斯曼代數作為纖維，那麼M的（光滑的）截面的空間在逐點乘法下形成一個超交換代數。我們說這個代數定義了超流形（它不是一個點集空間）。

如果M是一個實流形，我們定義了一個在纖維上的對合*，使其成為一個*代數，那麼得到的代數將定義一個實超流形。