弦理論/二維共形場論

二維共形場論

共形變換

共形群

弦理論的故事始於二維共形不變性。

流形上的共形變換在每一點都保持角度，例如將地球投影到無限圓柱體上的墨卡託投影。它們可以定義為使度量保持不變的變換，直至一個比例因子。

${\underline {g}}_{\mu \nu }({\underline {x}}^{\xi })=\Lambda (x^{\xi })g_{\mu \nu }(x^{\xi })$

可逆共形變換的集合構成一個群。這就是共形群。

讓我們將此規則應用於二維流形。

${\underline {g}}_{{\underline {\mu }}{\underline {\nu }}}({\underline {x}}^{\xi })=\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\mu }}}{\partial x^{\mu }}}\right)\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\nu }}}{\partial x^{\nu }}}\right)g_{\mu \nu }(x^{\xi })$

為了使這種變換成為共形變換，度量必須彼此成比例，這意味著，

$\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\mu }}}{\partial x^{\mu }}}\right)\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\nu }}}{\partial x^{\nu }}}\right)\propto \delta _{\mu }^{\underline {\mu }}\delta _{\nu }^{\underline {\nu }}$

寫出分量，以下條件出現

$\left({\frac {\partial z^{0}}{\partial {\underline {z}}^{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z^{0}}{\partial {\underline {z}}^{1}}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial z^{1}}{\partial {\underline {z}}^{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z^{1}}{\partial {\underline {z}}^{1}}}\right)^{2}$

${\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{0}}}{\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{0}}}+{\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{1}}}{\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{1}}}$

這些條件最終被證明等效於全純或反全純函式的柯西-黎曼條件！

${\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{0}}}={\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{1}}}$ 以及 ${\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{0}}}=-{\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{1}}}$ （全純）

${\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{0}}}=-{\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{1}}}$ 以及 ${\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{0}}}={\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{1}}}$ （反全純）

因此，在二維空間中，共形群是由所有可逆全純對映組成的集合，該集合與所有反全純對映的集合同構。由於這個原因，在討論二維共形場時使用復座標很方便。

所有可逆全純函式的集合是分數線性變換的集合

$f(z)={\frac {\heartsuit z-\clubsuit }{\spadesuit z+\diamondsuit }}$

其中

$\heartsuit \diamondsuit -\clubsuit \spadesuit =1$

很容易透過組合兩個這樣的函式來驗證它們的組合等效於矩陣乘法，矩陣的形式為

${\begin{pmatrix}\heartsuit &\clubsuit \\\spadesuit &\diamondsuit \end{pmatrix}}$

很明顯，二維共形群等效於複數可逆 $2\times 2$ 矩陣組，其行列式為 1。該組也稱為 $SL(2,\mathbb {C} )$.

經典弦

經典弦

讓我們將二維中共形不變的行動嵌入到更高維度的空間中。我們發現這樣的行動概括了點粒子的概念。

二維量子場論

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