TI-Basic Z80 程式設計/數學金融程式設計

TI-BASIC 是一種簡單的程式語言，用於德州儀器圖形計算器。本模組向您展示如何對一些標準的財務計算進行程式設計

TI-BASIC 程式

伊藤引理

讓我們開始透過伊藤的定義來定義一個隨機過程

:defsto(t,x)
:Func
:{t,x}
:EndFunc

所以對於我們的 TI 計算器，由以下公式正式定義的擴散過程：

$dS=f(S,t)dt+g(S,t)dW$

由兩組定義

{ f(S,t), g(S,t) }

對於指數布朗運動，我們定義

defsto(m*s, sigma*s) → ds(s)

現在我們想要對 $S$ 和 $t$ 的函式使用伊藤引理

:dsto(f,x,t,ds)
:Func
:{d(f,t)+ds[1]*d(f,x)+ds[2]^2*d(d(f,x),x)/2 , ds[2]*d(f,x)}
:EndFunc

這現在可以用來將伊藤引理應用於 $\ln(S)$

dsto(ln(S),S,t,ds(S))
>> { m - sigma^2/2 , sigma }

這告訴我們

$d\ln(S)=\left(m-{1 \over 2}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW,\;{\rm {when}}\;dS=mSdt+\sigma SdW$

布萊克-斯科爾斯方程

現在我們可以嘗試證明布萊克-斯科爾斯方程。

定義一個包含期權和 $\Delta$ 股 $S$ 的投資組合

V(S,t) - Delta * S → Pi

並使用伊藤引理來獲得 $d\Pi$

dsto(Pi, S, t, ds(S)) → dPi

我們現在想要透過選擇 $\Delta$ 的適當值來使 $d\Pi$ 的隨機部分為零

solve( dPi[2]=0, Delta)
>> Delta = d(V(S,t), S) or sigma S = 0

我們現在知道 $\Delta$ 的正確值是

$\Delta ={\partial V(S,t) \over \partial S}$

另一方面，我們有

$d\Pi =r\Pi dt=r(V(S,t)-\Delta \cdot S)dt$

這導致我們得到以下方程

$(\partial _{t}V+{1 \over 2}\sigma ^{2}S^{2}\partial _{S}^{2}V)dt=r(V(S,t)-\Delta S)dt$

首先，我們需要將 $\Delta$ 的值代入 $d\Pi$ 中，然後與

solve( dPi[2]=0, Delta) | sigma > 0 and S > 9 → sol
>> Delta = d(V(S,t), S)
dPi | sol → dPi
>> {sigma^2 d^2(V(S,t), S^2) S^2 /2 + d(V(S,t), t) , 0 }
dPi = defsto( r(V(S,t) - Delta S) ) | sol → BS
>> { BS_equation , true }

現在我們得到了變數 BS_equation[1] 中的 **Black-Scholes 微分方程**!