程式設計科學/Auld Lang Sine

你很可能之前已經接觸過正弦和餘弦。正弦曲線（包括正弦和餘弦）是週期函式。週期函式具有以下性質

    $f\,(x)=f\,(x+p)=f\,(x+2p)=...$

對於所有x 和p 的某些值。滿足上述等式的p 的最小值被稱為該函式的週期。

如果你不熟悉正弦和餘弦函式，這就是正弦波的樣子

請注意，對於沒有相位和頻率偏移的正弦波（如上所示），當x 為零時，正弦波的振幅（y 值）為零（具有上升斜率）。該波在x = 2 再次達到零（具有上升斜率）π. 對比餘弦波

與正弦波不同，正弦波在p 的倍數處具有零交叉點π，餘弦波在p 的倍數處具有峰值和谷值π. 與正弦波一樣，週期或峰值到峰值長度為 2π.

一般正弦波

如果你仔細觀察這兩個波，你會發現餘弦只是正弦波向左移動了 ${\frac {\pi }{2}}$ 個單位。因此，我們可以用正弦來定義餘弦

    $\cos(x)=\sin(x+{\frac {\pi }{2}})$

請注意，數學家通常將正弦縮寫為sin，將餘弦縮寫為cos。以上說明了修改正弦波的常見方法之一：移動波的相位，通常使用符號 $\theta$

    $y=\sin(x+\theta );$

另一種修改是改變正弦波的振幅，或者換句話說，改變峰值的高低範圍。變數a 用於表示振幅，因此允許振幅修改的正弦波公式為

    $y=a\sin(x+\theta );$

最後，通常會改變正弦波的頻率，或者在給定區域內有多少個峰值（或谷值）。變數 $\omega$ 通常用於此任務

    $y=a\sin(\omega x+\theta );$

如果我們將 $\omega$ 設定為 2，我們將獲得給定區域內兩倍的峰值（或谷值）。頻率的倒數是週期，因此將 $\omega$ 設定為 2 將使峰值到峰值距離縮短一半。在頻率為 2 的特定情況下，正弦波的週期將為π.

這裡有一個巧妙的技巧。如果你想找到這種形式的一般符號波的“第一個”零交叉點的位置，請更改相移和將它與x 相結合的運算子的符號，然後將 $\omega$ 提取出來。對於餘弦，具有單位振幅和頻率加倍，我們有

    $\cos(x)=\sin(2x+{\frac {\pi }{2}})$ 
    
    $\cos(x)=\sin(2x-(-{\frac {\pi }{2}}))$ 
    
    $\cos(x)=\sin(2[x-(-{\frac {\frac {\pi }{2}}{2}})])$ 
    
    $\cos(x)=\sin(2[x-(-{\frac {\pi }{4}})])$

此版本的餘弦在 $x=-{\frac {\pi }{4}}$ 處具有第一個零交叉點。^[1] 換句話說，要找到第一個零交叉點，請將相移除以頻率並取反（假設相移被新增進去）。

實現一般正弦波

Sway 內建了sin 和cos 函式，但這些函式假設振幅 = 1，頻率 = 1 且相移 = 0。^[2] 為了實現sine 和cosine，我們將採用我們通常的物件方法

   function sine(amp,freq,shift)
       {
       function value(x)
           {
           amp * sin(freq * x + shift);
           }
       this;
       }
    
   function cosine(amp,freq,shift)
       {
       sine(amp,freq,shift + (pi() / 2));
       }

請注意，我們如何將餘弦包裝為正弦，因為餘弦只是具有相移的正弦。

讓我們利用我們在上一節中學習的關於查詢“第一個”零交叉點的技巧，並將其實現

   function sine(amp,freq,shift)
       {
       function value(x) { ... }
       function firstZero()
           {
           // phase shift is added in so just divide and negate
           -(real(shift) / freq);
           }
       this;
       }

讓我們看看它是否適用於頻率為 2 的餘弦

   var w = cose(1,2,0);
    
   sway> -(pi() / 4);
   REAL_NUMBER: -0.7853981634
   
   sway> w . firstZero();
   REAL_NUMBER: -0.7853981634

不錯。讓我們也檢查一下正弦波的值在該點確實為零

   sway> var fz = w . firstZero();
   REAL_NUMBER: -0.7853981634
    
   sway> w . value(fz);
   w . value(fz) is 0.000000e+00

bingo！

正弦和餘弦的微分

正如 SPT 在 CMT 的第 XV 章中指出的那樣，正弦的導數是餘弦，餘弦的導數是正弦的負數。

使用第一個規則，我們可以將diff 函式新增到sine 建構函式中。當然，為了符合我們謙遜的微分系統，我們需要根據需要傳入自變數和關於變數

   function sine(amp,freq,shift)
       {
       function value(x) { ... }
       function firstZero() { ... }
       function diff()
           {
           cosine(amp,freq,shift);
           }
       this;
       }

當然，此實現假定自變數和關於變數是一樣的。它還假定自變數只是一個符號。因此，我們無法構造形式為；

    $y=3\sin(2x^{2}+pi)$

為此，我們將不得不像處理項一樣，允許自變數成為可微分物件。回想一下項建構函式

   function term(a,iv,n)
       {
       function value(x) { ... }
       function toString() { ... }
       function diff(wrtv)
           {
           if (n == 0)
               {
               constant(0);
               }
           else
               {
               term(a * n,iv,n - 1) times iv . diff(wrtv);
               }
           }
       
       if (iv is :SYMBOL) { iv = variable(iv); }
       this;
       }

還記得diff 函式如何實現鏈式法則。我們將需要對sine 建構函式採用相同的策略

   function sine(amp,freq,iv,shift)
       {
       function value(x) { ... }
       function firstZero() { ... }
       function diff(wrtv)
           {
           cosine(amp,freq,iv,shift) times iv . diff(wrtv);
           }
        
       if (iv is :SYMBOL,iv = variable(iv));
       this;
       }

我們剩下要做的就是實現sine 的視覺化（當然還有測試）

   function toString()
       {
       "" + amp +
           " sin(" + freq +
               "(" + iv . toString() + ")"
               + shift + ")";
       }

-sin 是什麼？

根據 CMT，正弦函式的導數是餘弦函式，餘弦函式的導數是負正弦函式。因此，正弦函式的二階導數是負正弦函式。

問題

1. 函式 $\sin(x+{\frac {\pi }{2}})$ 和函式 $\sin(x)+{\frac {\pi }{2}}$ 之間有什麼區別？

2. 為什麼我們不能將正弦和餘弦建構函式命名為 sin 和 cos？

3. 在正弦建構函式中新增以下簡化。如果相移等於或大於 2π，減去 2π.

4. 解釋為什麼之前的簡化在數學上是有效的。

5. 簡化正弦物件的構造，以便如果幅度為零，則生成零物件。

6. 簡化正弦物件的構造，以便如果頻率為零，則生成常數項物件。

7. 簡化正弦物件的視覺化，以便如果幅度、頻率和相移分別為 1、1 和 0，則省略它們。

8. 查詢並新增其他視覺化調整。提示：如果頻率 ≠ 1 但自變數是係數 ≠ 1 的項，你的視覺化應該是什麼樣子？

腳註

↑ 將此與具有單位幅度和頻率的餘弦波（在本章開頭顯示）進行對比，該餘弦波在 $x=-{\frac {\pi }{2}}$ 處有一個過零點。
↑ 還存在一個廣義餘弦函式： $y=a\cos(\omega x+\theta )$ 。當然，這等於 $a\sin(\omega x+{\frac {\pi }{2}}+\theta )$ 。

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[1] 將此與具有單位幅度和頻率的餘弦波（在本章開頭顯示）進行對比，該餘弦波在 $x=-{\frac {\pi }{2}}$ 處有一個過零點。

[2] 還存在一個廣義餘弦函式： $y=a\cos(\omega x+\theta )$ 。當然，這等於 $a\sin(\omega x+{\frac {\pi }{2}}+\theta )$ 。

[1]

[2]