金融科學/機率與風險評估

經濟學中的機率

要賦予機率以客觀意義，有必要且唯一必須的是它可以被測量。為此，有必要且唯一必須的是實驗可以被重複。透過多次重複相同的實驗，其結果的機率可以透過其出現頻率來測量。但在經濟學中，實驗永遠無法重複。每個經濟事件都是獨一無二的。所有主體總是不一樣，他們所處的條件也永遠不會完全相同。因此，經濟機率不可能具有客觀意義。但是，機率模型對經濟學至關重要。錯誤在哪裡？經濟學中的機率模型是否總是錯誤的，因為經濟學中的機率沒有客觀意義？

只要不作弊，機會遊戲的偶然性可以被認為是純粹的機率性，因為它們通常是可重複的實驗。經濟不確定性不是嚴格的機率性，但關於風險的經濟決策非常類似於賭徒的決策。當我們面對風險時，我們就像在與現實打賭一樣進行推理。當我們將機率歸因於預期的經濟事件時，它們永遠不可能是真實和準確的，但它們仍然可以是做出更好決定的估計。例如，保險公司必須估計死亡機率。它根據記錄的死亡人數的統計資料來做到這一點。如果它不這樣做，它將無法預測其支付義務，並面臨破產風險。

經濟學中的機率模型永遠不可能完全正確，但它們可能與現實足夠相似，以至於值得比較。所有需要的就是一個相關的類比來證明模型。即使模型非常錯誤，它們也可能有用，因為模型與現實之間的差距可能非常大。

風險的衡量

風險通常被稱為可衡量的量：在確定性情況下，風險為零，隨著不確定性的增加而增加。標準差與專案平均利潤之比通常是其風險的一個很好的度量，因為它隨著不確定性的增加而增加，並且因為它可以比較具有不同平均利潤的專案。但是，單個量永遠無法足以解釋各種風險。標準差衡量的是機率分佈的離散程度，但這種分佈的形狀對於評估風險也很重要。它決定了非常高和中等收益以及中等和非常高損失之間的機率分佈。標準差衡量的是離散程度，但它沒有說明形式的多樣性。因此，它特別適用於比較具有相同形式的分佈。例如，如果兩個分佈是正態（高斯）的，那麼顯然具有最大標準差的分佈風險最大。但是，如果分佈具有不同的形式，比較它們的標準差不一定是一種比較它們風險的好方法。此外，標準差並不是衡量分佈離散程度的唯一量。平均值的絕對值偏差的平均值有時比平均值的平方偏差的均方根更自然地估計離散程度，而平均值的平方偏差的均方根則非常重視大型差異，而損害小型差異。

當我們測量分佈的離散程度時，我們在獲勝的機率（當回報高於其平均值時）和虧損的機率（當回報低於其平均值時）上進行平均。當人們質疑公司或專案的生存能力時，虧損的風險尤其重要。我們特別關注機率分佈的左側，而右側的離散程度（獲勝的機率）不會給我們任何資訊。

風險價值 (Value at Risk)，是廣泛用於研究公司生存能力的虧損風險指標。

隨機變數 $X$ 的 p 風險價值，根據定義，是指這樣的數字 $V_{X}^{R}(p)$，使得 $Pr(X\leq -V_{X}^{R}(p))=p$。 $X$ 的正值為利潤，負值為虧損。

$Pr(X\leq x)=F_{X}(x)$ 表示 $X\leq x$ 的機率。 $F_{X}$ 是隨機變數 $X$ 的累積分佈函式。 $F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(y)dy$ 其中 $f_{X}$ 是 $X$ 的機率密度函式。

$V_{X}^{R}(p)=-F_{X}^{-1}(p)$

風險價值使我們能夠估計可能發生的損失。我們知道，以 $1-p$ 的機率，損失不會超過 $V_{X}^{R}(p)$。 $p$ 通常是一個很小的數字，例如 $0.05=5\%$ 或更小。機率低於 $p$ 的損失可以被認為是異常損失。風險價值用於估計最大普通損失，但它不能說明異常損失。如果損失的機率低於 $p$，它們對 $V_{X}^{R}(p)$ 沒有影響。兩家公司，其中一家面臨著巨大但罕見的損失，而另一家則沒有，它們可能具有相同的風險價值。

標準差、平均絕對偏差或風險價值等風險指標永遠無法提供面對風險的完整資訊。為了完全瞭解風險，必須瞭解預期收益和損失的機率密度函式，或者等效地，瞭解它們的累積分佈函式。

風險的價格

一般而言，人們認為風險會降低專案的價值。低利潤尤其是損失的風險通常會讓人望而卻步，即使高利潤的可能性使平均利潤相當可觀。在兩個平均利潤相同的專案中，風險較高的專案通常價值較低。這種價值下降是一種風險溢價。為了讓一個有風險的專案具有吸引力，它通常必須比無風險利率產生更高的收益，它必須有足夠的平均利潤來抵消風險承擔。風險溢價可以從抵消風險所需的超額利潤率計算得出，即所需利潤率與無風險利率之間的差額。

風險厭惡並非普遍現象。有很多例外。風險可能不會降低專案的價值，反而會讓人們主動尋求它。例如，在大多數機會遊戲中，人們總是平均輸錢，平均利潤為負，但即使是極小的獲利可能性也能說服賭徒參與。他們賦予尋求的風險的價值抵消了他們的平均損失。

由於經濟主體面對風險的態度並不相同，他們對風險的評估也大相徑庭。這促進了風險交易。對一個主體來說非常令人卻步的風險，對另一個主體來說可能微不足道。第二個主體有興趣向第一個主體出售風險保障。

不確定專案的折現

風險調整貼現率有時被定義為在無風險貼現率的基礎上加上風險溢價，風險溢價衡量的是風險帶來的額外收益。但是，對於計算一個不確定專案淨現值而言，這種定義只有在專案只有一次初始成本和一次最終收益時才成立。如果存在不確定的損失，用高於無風險利率的貼現率對損失進行折現顯然是愚蠢的。當不確定的支付在一段時間內分期進行時，通常沒有理由用相同的風險調整貼現率對其進行折現，因為它們可能具有非常不同的不確定性。

貼現率就是無風險利率。它是由被認為安全的投資利率估計得到的，但這並不妨礙將其應用於不確定專案的評估。它是今天支付的資金與以後支付的資金之間的匯率，是一種時間匯率。一個專案是確定且無風險的，還是非常不確定且非常冒險，不應該改變支付貼現的方式。為了評估風險專案，所有收入和成本都必須以無風險投資利率進行折現，因為這是將分期支付的資金加總在一起的最佳方式。這些支付是否以確定性預測得到並不影響情況。貼現率取決於特定時刻的經濟現實，而不是它被應用於的專案。對於面對相同現實的所有專案，無論它們是否有風險，貼現率都是相同的。

如果一個專案有風險，並且收入和成本的機率已知，我們可以用真實貼現率（而不是風險調整利率）計算收入、墊付現金和其他成本的平均折現值，因此可以計算出平均利潤、平均利潤率和平均淨現值。但這並不是專案的淨現值，因為它沒有考慮風險溢價。

一個不確定專案的淨現值是其平均淨現值減去風險溢價。風險溢價是抵消風險所需的平均超額利潤的現值。它是平均所需利潤與將資金投資於無風險利率所能獲得的利潤之間的差額的現值。由於平均淨現值是平均超額利潤的現值，因此不確定專案的淨現值是平均超額利潤與抵消風險所需的超額利潤之間的差額的現值，因此也是平均利潤與抵消風險所需的利潤之間的差額的現值。

統計獨立、反相關和風險降低

有兩種技術可以降低風險。一種利用經濟事件的統計獨立性，另一種利用它們的負相關性。

• 當許多專案在統計上獨立時，它們的總和比每個單獨的專案風險要低得多。一個簡單的例子就足以讓人信服：如果 $n$ 個統計獨立的專案具有相同的預期平均利潤 $\pi$ 和相同的標準差 $\sigma$，$\sigma /\pi$ 衡量的是單個專案的風險。它們的總和的預期平均利潤為 $n\pi$，標準差為 $\sigma {\sqrt {n}}$，因為獨立變數之和的方差是它們的方差之和。因此，所有專案之和的風險用 ${\frac {\sigma {\sqrt {n}}}{n\pi }}={\frac {\sigma }{\pi {\sqrt {n}}}}$ 來衡量，當 $n$ 非常大時，它接近於零。總的來說，專案不一定具有相同的預期平均利潤或相同的風險，但如果它們在統計上是獨立的，它們的總和的風險通常遠低於單獨考慮的每個專案的風險，並且當專案數量非常大時，風險接近於零。

• 當一個專案的成功與另一個專案的失敗相關聯時，這兩個專案是反相關的，或負相關的。它們的利潤協方差為負。例如，股票價格的上漲與該股票看跌期權價值的下降相關聯。資產和對應期權價值之間的正相關和負相關會導致無風險投資組合，這些投資組合構成了 Merton、Black 和 Scholes 在後面提出的期權定價方法的基礎。正相關可以透過做空來利用，可以透過賣空、買入看跌期權或賣出看漲期權來實現。賣空是指賣出借來的股票，並承諾稍後買回歸還。風險對沖策略通常涉及同時對某些資產的升值和對其他資產的貶值進行押注。但是，資產通常是正相關的，它們的價值往往同時上漲或下跌。因此，一些資產的上漲通常與其他資產的下跌反相關。因此，對沖策略降低了與資產價值變化相關的風險。人們試圖在市場上漲和下跌時都能獲利。

賭場經濟

一個專案通常受到許多不確定事件的影響，這些事件會增加或減少其利潤。必須區分兩種型別的事件，一種隻影響專案當前利潤，例如意外成本或收入，這些成本或收入會暫時影響專案的利潤，但不會影響其未來利潤；另一種事件會永久影響專案獲利能力。第一類事件的影響必須加起來以獲得其累積效應，而第二類事件的影響必須相乘。

假設一個專案只受第二類事件的影響：許多隨機事件 $i$ 可以在時間間隔 $dt$ 內影響其價值 $V$。每個事件 $i$ 如果發生，會將 $V$ 乘以一個因子 $R_{i}>1$，如果它促進了專案的成功，而如果它不利，則乘以 $<1$。我們假設事件 $i$ 的機率為 $p_{i}=\rho _{i}dt$，並且它們是獨立的。然後，$\ln V$ 的變化是隨機變化 $\ln R_{i}$ 的總和。根據中心極限定理，如果這些變化非常多，與它們的總和相比很小並且獨立，則該總和的機率分佈為正態分佈。設 $\mu dt$ 是它的平均值，$\sigma ^{2}dt$ 是它的方差。如果專案環境是恆定的，$\mu$ 和 $\sigma$ 不依賴於 $t$。在時間 $T$ 上，$\ln V$ 的變化服從平均值為 $\mu T$，方差為 $\sigma ^{2}T$ 的正態分佈。

設專案的初始值為 $V_{0}$。由於 $\ln V$ 服從均值為 $\ln V_{0}+\mu T$、方差為 $\sigma ^{2}T$ 的正態分佈，則 $V$ 服從對數正態分佈，其機率密度為

$f(V)={\frac {1}{V\sigma {\sqrt {t}}{\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln {\frac {V}{V_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}$

$V$ 的平均值為 $V_{0}e^{(\mu +\sigma ^{2}/2)T}$，其標準差為 $V_{0}e^{(\mu +\sigma ^{2}/2)T}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}T}-1}}$。如果我們用標準差與均值的比率來衡量風險，我們得到 ${\sqrt {e^{\sigma ^{2}T}-1}}$，它隨著 $T$ 的增加而迅速增長。

Suppose now that a project is affected only by events of the first type. Many random events $i$ can influence the current profit $d\Pi$ during a time interval $dt$. Each event $i$ if it occurs increases $d\Pi$ by an amount $d\Pi _{i}>0$ if it is a receipt and $<0$ if it is a cost. We assume that the events $i$ have probabilities $p_{i}=\ rho_{i}dt$ and that they are independent. The current profit $d\Pi$ during $dt$ is then a sum of random variations $d\Pi _{i}$. According to the central limit theorem, if these variations are very numerous, small compared to their sum and independent, the distribution of probabilities of this sum $d\Pi =\sum _{i}d\Pi _{i}$ is a normal law. Let $\mu dt$ be its mean and $\sigma ^{2}dt$ its variance. If the project environment is constant, $\mu$ and $\sigma$ do not depend on $t$. On a duration $T$, the profit $\Pi$ follows a normal distribution with mean $\mu T$ and variance $\sigma ^{2}T$. The ratio of the standard deviation on the average is ${\frac {\sigma }{\mu {\sqrt {T}}}}$ and approaches zero when $T$ is large.

在較長的時間段內，由第二類事件引起的風險往往會超過由第一類事件引起的風險。因此，為了評估風險，我們通常可以忽略第一類事件，從而保留對數正態分佈。但這條規則並非普遍適用。如果與第一類事件相關的風險很重要，則不應忽略它們，尤其是當考慮的時間較短時。

所有證明 $\Pi$ 的正態分佈或 $V$ 的對數正態分佈的先驗假設都非常值得懷疑。 $d\Pi _{i}$ 和 $\ln R_{i}$ 不一定比它們的總和小得多，因為單個事件可能對專案的成功或失敗產生重大影響。它們也不一定相互獨立，因為失敗可能導致更多失敗或更多成功，或者失敗可能在成功之前透過韌性而出現，或者成功可能導致失敗，因為偉大有時先於衰落。此外，通常沒有理由假設機率 $p_{i}=\rho _{i}dt$ 隨著時間推移而保持不變，因為經濟事件取決於不斷變化的環境。事實上，通常沒有理由可以正確定義這些機率，因為經濟事件永遠不可能完全複製。真實的經濟可能與賭場經濟有很大不同。這只是一個數學模型，可以幫助我們理解現實，但也可能誤導我們。

對於對數正態分佈，標準差與均值的比率 ${\sqrt {e^{\sigma ^{2}T}-1}}$ 不一定是一個好的風險指標，特別是當分佈非常扁平化時，對於 $\sigma ^{2}T>1$ 的值。一般來說，人們更喜歡 $\sigma {\sqrt {T}}$，這也是預期值圍繞均值分散的一個指標。 $\sigma {\sqrt {T}}$ 是對數收益的標準差。它被稱為波動率。如果時間以年為單位，$\sigma$ 就是年波動率。

在本節中，我們對專案價值進行了推理，但我們本可以對股票市場的價格保持相同的推理。在這種情況下，對數正態分佈是一個相當好的近似值，但它略微低估了與平均值大幅度偏差的機率（Luenberger 1997）。

為了更容易推理，我們在以下內容中將做出一些簡化的假設。

• 股票價格變化始終由對數正態分佈表示，其引數 $\mu$ 和 $\sigma$ 不變。

• 我們對不支付股利的股票進行推理。因此，利潤僅為資本收益。這相當於假設已支付的股利被系統地再投資。

• 忽略通貨膨脹。這意味著我們對實際價值進行推理，而不是對名義價值進行推理。

• 忽略交易成本和稅收。

• 我們假設存在一個單一的無風險利率。因此，我們忽略了它的期限結構。最重要的是，我們忽略了即使“無風險”利率也是有風險的，因為即使沒有借款人違約的風險，也總是存在通貨膨脹的風險。

這些簡化的假設使得能夠將推理集中在一些最重要的點上，但如果我們想將結論應用於現實世界，我們當然必須意識到理論忽略的複雜情況。

算術收益率、對數收益率和平均收益率

算術收益率，或簡稱為收益率，是資產的利潤率。如果 $V_{i}$ 是其初始價值，而 $V_{f}$ 是其最終價值，則利潤為 $V_{f}-V_{i}$，利潤率為 $r={\frac {V_{f}-V_{i}}{V_{i}}}$，因此 $V_{f}=V_{i}(1+r)$

對數收益率為 $R=\ln({\frac {V_{f}}{V_{i}}})=\ln(1+r)$，因此 $V_{f}=V_{i}e^{R}$

當 $r\ll 1$，$R\approx r$

當需要將收益率進行逐期疊加時，使用對數收益率比使用算術收益率更方便

$r_{12}=(1+r_{1})(1+r_{2})-1=r_{1}+r_{2}+r_{1}r_{2}$

而

$R_{12}=\ln(e^{R_{1}}e^{R_{2}})=R_{1}+R_{2}$

在計算投資組合收益率時，使用算術收益率比使用對數收益率更方便

$r_{pf}={\frac {\sum _{n=1}^{N}V_{ni}r_{n}}{\sum _{n=1}^{N}V_{ni}}}=\sum _{n=1}^{N}\omega _{n}r_{n}$

其中，$V_{ni}$ 是組成投資組合的 $N$ 種資產的初始值，$r_{n}$ 是它們各自的收益率。 $\omega _{n}$ 是資產 $n$ 在投資組合中的權重。

$R_{pf}=\ln(1+r_{pf})\neq \sum _{n=1}^{N}\omega _{n}R_{n}$

當 $R$ 是一個隨機變數時，對數收益率的平均值並不等於由平均收益率計算的對數收益率，這就是為什麼對數平均收益率 $R_{m}$ 的定義不是對數收益率的平均值，而是平均最終值與初始值之比的對數

$R_{m}=\ln({\frac {\langle V_{f}\rangle }{V_{i}}})\neq \langle R\rangle$

如果 ${\frac {V_{f}}{V_{i}}}$ 服從對數正態分佈，引數為 $\mu$ 和 $\sigma$，則對數平均收益率為 $\mu +\sigma ^{2}/2$，因為 $e^{\mu +\sigma ^{2}/2}=\langle {\frac {V_{f}}{V_{i}}}\rangle ={\frac {\langle V_{f}\rangle }{V_{i}}}$，但對數收益率的平均值為 $\mu$，因為 $\ln({\frac {V_{f}}{V_{i}}})$ 服從均值為 $\mu$ 的正態分佈。對數收益率的標準差為 $\sigma$。它衡量的是對數收益率圍繞其均值 $\mu$ 的離散程度，而不是圍繞對數平均收益率 $\mu +\sigma ^{2}/2$ 的離散程度，但二者之間的差異通常很小。對於一個風險資產 $\mu =0.1$ 和 $\sigma =0.15$ 是年度對數收益率的典型值，而 $\mu +\sigma ^{2}/2\approx 0.11$

資產預期價值的演變

假設資產價格變化是隨機的，並且可以用上述對數正態分佈來描述。

如果 $V_{0}$ 是資產的現值，其在日期 $T$ 的未來值 $V_{T}$ 服從對數正態機率密度分佈 

$f(V)={\frac {1}{V\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln V-\ln V_{0}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}$

未來價格的平均值或期望值是

$\langle V_{T}\rangle =e^{\ln V_{0}+\mu T+\sigma ^{2}T/2}=V_{0}e^{(\mu +\sigma ^{2}/2)T}$

資本資產定價模型

資本資產定價模型 (CAPM) 是一個簡化的模型，它展示了理想化的金融市場如何評估風險溢價。該模型的主要結論是，風險溢價不取決於資產價值的標準差，而取決於其與一般經濟狀況的協方差。這衡量了不可消除的風險，而標準差則包括可以透過多元化消除的風險。

如果所有經濟專案在統計學上都是獨立的，我們可以始終透過多元化來消除它們的風險。一個共同基金可以從大量風險資產中構建一個幾乎無風險的投資組合。由於風險幾乎被消除，其成本將微不足道，風險溢價也將幾乎為零。只要所有風險專案的收益率至少與無風險利率相同，它們就將具有吸引力。但經濟專案通常並非獨立的。相反，它們通常依賴於相同的經濟條件，因為所有參與者都對總體繁榮或蕭條敏感，因此它們通常相互關聯。透過多元化並不總是能夠消除風險。無法消除風險的風險專案必須具有更高的平均收益率。資本資產定價模型衡量了不可消除的風險以及它們產生的風險溢價。它基於一些簡化的假設

• 參與者始終根據其平均收益率衡量投資組合的績效，並根據該收益率的標準差衡量風險。他們都對平均資產收益率、標準差和協方差有相同的資訊。

• 他們可以自由地以無風險利率借貸，且無需成本。

• 他們可以始終構建多元化投資組合。所有資產的加權和都是潛在的投資組合。

最優投資組合的半直線

設 $r_{m}$ 是高於無風險利率 $r_{f}$ 的收益率（算術，而非對數）。設 $\Omega (r_{m})$ 是所有具有相同平均收益率的風險投資組合的集合。設 $\sigma _{min}(r_{m})$ 是 $\Omega (r_{m})$ 中最優投資組合收益率的標準差：對於 $\Omega (r_{m})$ 中的任何投資組合，其收益率的標準差大於或等於 $\sigma _{min}(r_{m})$。那麼，在 $\sigma r$ 半平面中的最優投資組合的半直線由以下公式給出

$r=r_{f}+(r_{m}-r_{f}){\frac {\sigma }{\sigma _{min}(r_{m})}}$

所有可能的投資組合的$(\sigma ,r)$ 都位於這條半直線的下方。半直線上的所有點都是最佳的$(\sigma ,r)$ 投資組合。對於給定的預期收益，它們是風險最低的；而對於給定的風險，它們是最有利可圖的。

證明：我們先證明半直線上的所有點都是可能的投資組合。考慮一個投資組合，它由$\alpha$ 無風險利率和$(1-\alpha )$ 最佳投資組合組成，該最佳投資組合的利率為$r_{m}$。它的平均收益是$\alpha r_{f}+(1-\alpha )r_{m}$，該收益的標準差是$(1-\alpha )\sigma _{min}(r_{m})$，因此它位於最佳投資組合的半直線上。如果$0\leq \alpha \leq 1$，$r$ 在$r_{f}$ 和$r_{m}$ 之間。如果$\alpha <0$，$r>r_{m}$。在這種情況下，投資者以無風險利率$r_{f}$ 借款，然後以風險利率$r_{m}$ 進行投資，並透過槓桿作用提高平均收益。

令$(\sigma ,r)$ 為最佳投資組合半直線上方的一點，並假設它代表一個可能的投資組合。與上面相同的論證，從$(0,r_{f})$ 出發，並經過$(\sigma ,r)$ 的半直線，也代表可能的投資組合。特別是$(\sigma {\frac {r_{m}-r_{f}}{r-r_{f}}},r_{m})$ 將代表一個可能的投資組合。由於$(\sigma ,r)$ 位於最佳投資組合半直線上方

${\frac {r-r_{f}}{\sigma }}>{\frac {r_{m}-r_{f}}{\sigma _{min}(r_{m})}}$

因此

$\sigma _{min}(r_{m})>\sigma {\frac {r_{m}-r_{f}}{r-r_{f}}}$

但這與 $\sigma _{min}(r_{m})$ 的定義相矛盾，它是相同收益 $r_{m}$ 的所有可能投資組合的標準差中的最小值。所以，如果 $(\sigma ,r)$ 在最佳投資組合的半直線之上，它不能代表一個可能的投資組合。

可以得出結論，

${\frac {\sigma _{min}(r_{m})}{\sigma _{min}(r_{M})}}={\frac {r_{m}-r_{f}}{r_{M}-r_{f}}}$

對於所有大於 $r_{f}$ 的 $r_{m}$ 和 $r_{M}$，因為 $(\sigma _{min}(r_{m}),r_{m})$ 和 $(\sigma _{min}(r_{M}),r_{M})$ 都位於最佳投資組合的半直線上。

最優市場假設

市場組合原則上包含一個經濟體中可以交易的所有資產，無論是有風險的還是無風險的。它包括所有可以帶來利潤的財富，無論是證券還是房地產，只要它們有市場價格。它的平均收益取決於經濟的繁榮程度。它的標準差代表了所有主體面臨的總體風險，因為它代表了經濟普遍不景氣的風險。由於市場組合是最多樣化的，它消除了所有可以透過多元化消除的風險。高度多元化的投資組合，如 SP500，也消除了可以透過多元化消除的風險。

最優市場假設認為市場組合位於最佳投資組合的半直線上。

該假設顯然是錯誤的，因為主體在投資時並不總是理性的。但作為第一近似，我們可以假設像 SP500 這樣的高度多元化的投資組合與最優投資組合沒有太大區別。然後，我們透過估計 SP500 或其他精心挑選的、高度多元化的投資組合的平均收益及其標準差來確定最佳投資組合的半直線。

與一般經濟狀況的協方差

如果我們假設市場組合是最佳的，並且如果$r_{M}$ 是其平均收益率，$\sigma _{min}(r_{M})$ 是其收益率的標準差 $\sigma _{M}$。

資產 $i$ 的 $\beta _{i}$ 根據定義是

$\beta _{i}={\frac {Cov(x_{i},x_{M})}{\sigma _{M}^{2}}}$

其中 $x_{i}$ 和 $x_{M}$ 分別是資產 $i$ 和市場組合的隨機收益率。

$\beta _{i}$ 與市場組合收益率的協方差成正比，因此與一般經濟狀況成正比。

我們將證明

$\beta _{i}={\frac {r_{i}-r_{f}}{r_{M}-r_{f}}}$

其中 $r_{i}$ 是資產 $i$ 的平均收益率。

考慮一個包含資產 $i$ 的價值 $\alpha$ 和最佳投資組合的 $(1-\alpha )$ 的投資組合，該投資組合具有相同的平均收益 $r_{i}$。該投資組合的收益率為 $r_{i}$。設 $v(\alpha )$ 為其收益率的方差。由於 $v(\alpha )$ 在 $\alpha =0$ 時最小，${\frac {dv}{d\alpha }}(0)=0$。

設 $x_{i}$ 為資產 $i$ 的隨機收益，$x_{opt}$ 為具有相同平均收益的最佳投資組合的隨機收益。

$r_{i}=E(x_{i})=E(x_{opt})$

${\frac {dv}{d\alpha }}={\frac {d}{d\alpha }}[\alpha ^{2}\sigma _{i}^{2}+2\alpha (1-\alpha )cov(x_{i},x_{opt})+(1-\alpha )^{2}\sigma _{opt}^{2}]$

$=2\alpha \sigma _{i}^{2}+2(1-2\alpha )cov(x_{i},x_{opt})+(2\alpha -2)\sigma _{opt}^{2}$

${\frac {dv}{d\alpha }}(0)=2Cov(x_{i},x_{opt})-2\sigma _{opt}^{2}=0$

因此

$Cov(x_{i},x_{opt})=\sigma _{opt}^{2}=\sigma _{min}(r_{i})^{2}$

收益率為$x_{opt}$ 的投資組合可以由市場投資組合的${\frac {r_{i}-r_{f}}{r_{M}-r_{f}}}=\beta _{i}'$ 和無風險資產的${\frac {r_{M}-r_{i}}{r_{M}-r_{f}}}=(1-\beta _{i}')$ 組成。所以

$Cov(x_{i},x_{opt})=\beta _{i}'Cov(x_{i},x_{M})$

現在

$Cov(x_{i},x_{opt})=\sigma _{min}(r_{i})^{2}=\beta _{i}'^{2}\sigma _{M}^{2}$

因此

$\beta _{i}'={\frac {Cov(x_{i},x_{M})}{\sigma _{M}^{2}}}=\beta _{i}$

$\beta$ 度量的是透過多元化無法消除的風險

我們定義隨機變數 $\epsilon _{i}$ 為

$x_{i}=r_{f}+\beta _{i}(x_{M}-r_{f})+\epsilon _{i}$

那麼

$E(\epsilon _{i})=E(x_{i})-\beta _{i}E(x_{M}-r_{f})-r_{f}=0$

$Cov(\epsilon _{i},x_{M})=Cov(x_{i}-\beta _{i}x_{M}-(1-\beta _{i})r_{f},x_{M})=Cov(x_{i},x_{M})-\beta _{i}Cov(x_{M},x_{M})=Cov(x_{i},x_{M})-\beta _{i}\sigma _{M}^{2}=0$

$\sigma _{i}^{2}=\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}+\sigma _{\epsilon _{i}}^{2}$

$x_{i}$ 的方差是兩項之和。 $\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}$ 代表一種無法透過多元化消除的風險。 $\sigma _{\epsilon _{i}}^{2}$ 代表可以透過多元化消除的風險，因為它是與市場組合不相關的隨機變數的方差。

風險溢價僅取決於與一般經濟狀況的協方差。

資產 $i$ 的風險溢價是抵消其風險所需的超額利潤的現值。它從所需的超額利潤率 $r_{i}-r_{f}$ 獲得。由於 $r_{i}-r_{f}=\beta _{i}(r_{M}-r_{f})$，資產 $i$ 的風險溢價僅取決於 $\beta _{i}$，因此僅取決於與一般經濟狀況的協方差。

如果 $\beta _{i}=0$，資產 $i$ 的風險溢價為零。可能這種資產風險也很高，具有很高的 $\sigma _{i}$，但是這種風險可以透過與其他資產的組合來消除，這些資產的 $\beta$ 為零。這就是風險溢價為零的原因。

當 $\beta$ 為負數時

如果 $\beta _{i}$ 為負數，$r_{i}=r_{f}+\beta _{i}(r_{M}-r_{f})<r_{f}$。為什麼當它平均而言帶來低於無風險收益的收益或虧損時，我們還要同意持有風險資產 $i$ 呢？

一個投資組合的 $\beta$ 是其組成資產 $j$ 的 $\beta _{j}$ 的加權平均值，因為一組隨機變數與其自身的協方差之和等於它們分別與該變數的協方差之和。一個 $\beta _{i}$ 為負數的資產 $i$ 會降低包含它的投資組合的 $\beta$，因此降低了無法透過多元化消除的風險。收益的下降被風險的下降所抵消。

如果標的資產的 $\beta$ 為正數，看跌期權就是一種負 $\beta$ 資產，因為看跌期權與標的資產負相關。看跌期權的 $\beta$ 甚至可以足夠負數以至於平均收益為負數。這種期權的購買價格比其平均收益更高。那麼為什麼還要買看跌期權？因為它們可以降低一個沒有它們就會非常冒險的投資組合的風險。

三種風險

• 如果 $\beta _{i}>0$，資產 $i$ 的風險與市場正相關。這種風險無法在不降低收益的情況下消除。
• 如果 $\beta _{i}=0$，資產 $i$ 的風險與市場無關，可以透過多元化在不降低收益的情況下消除。
• 如果 $\beta _{i}<0$，則資產 $i$ 的風險與市場負相關。 $i$ 與市場的反相關性降低了投資組合的風險，該投資組合的 $\beta$ 為正，同時降低了投資組合的收益。

投資組合最佳化

即使放棄了有效市場假說，CAPM 仍然可以使用，因為它提供了一種最佳化投資組合的方法。

首先選擇一個合理的投資組合，例如標普 500 指數，然後開始估計其平均收益 $r_{I}$ 和其方差 $\sigma _{I}^{2}$。對於它不包含的每個資產 $i$，然後估計其平均收益 $r_{i}$ 及其與初始投資組合的協方差 $cov_{i}$。然後我們計算該資產的 $\beta _{i}$ **相對於初始投資組合**。

$\beta _{i}={\frac {cov_{i}}{\sigma _{I}^{2}}}$

如果 ${\frac {r_{i}-r_{f}}{r_{I}-r_{f}}}>\beta _{i}$，那麼將資產 $i$ 納入初始投資組合是有價值的。如果這樣選擇的新的資產被很好地分散，這種方法會比初始方法得到更好的投資組合。它可以同時具有更高的收益和更低的風險。透過迭代該過程，人們可以希望找到一個最優的投資組合並戰勝市場。

CAPM 是由 Jack Treynor（1961 年，1962 年），William F. Sharpe（1964 年），John Lintner（1965 年）和 Jan Mossin（1966 年）獨立提出的，其基礎是 Harry Markowitz 關於多元化和現代投資組合理論的早期工作。（維基百科）

收益的預期值通常是不可測量的。

要測量隨機變數$X$的期望值$\mu$，且該變數的標準差為$\sigma$，我們至少需要進行$100({\frac {\sigma }{\mu }})^{2}$次獨立測量。

證明：使用$n$次獨立測量得到的平均值$\mu _{n}$本身就是一個隨機變數

$\mu _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$，其中$X_{i}$是與$X$服從相同分佈的獨立隨機變數。

$\mu _{n}$的期望值顯然是$\mu$，其標準差為

$\sigma _{n}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

為了使測量結果有意義，$\sigma _{n}$必須遠小於$\mu _{n}$。當${\frac {\sigma _{n}}{\mu _{n}}}<{\frac {1}{10}}$時，我們可以期望得到對$\mu$的正確估計，但這仍然是一個非常不精確的測量結果，因為$\mu _{n}$偏離$\mu$超過20%的機率大約為0.04。

${\frac {\sigma _{n}}{\mu }}<{\frac {1}{10}}$要求$n>100({\frac {\sigma }{\mu }})^{2}$

股票的年收益率通常在 6% 到 30% 之間，有時會更低。12% 是一個典型值。這些收益率的標準差通常在 10% 到 60% 之間。15% 是一個典型值。所以 $\sigma /\mu \approx 1$ 甚至更高。需要超過一個世紀的年收益率測量才能獲得其預期值的粗略估計。但我們沒有一個世紀，只有幾年，因為沒有理由讓收益率的預期值在幾年以上保持不變。如果我們測量月度收益率，我們將測量次數增加 12 倍，但 $(\sigma /\mu )^{2}$ 也增加了 12 倍。所以結論沒有改變。一般來說，收益率的預期值是不可測量的（Luenberger 1998）。

除非投資風險很低，否則測量的平均收益率並不是理論平均收益率的估計值，因為在這種情況下 $\sigma /\mu$ 在 1 前面很小。這意味著收益率變化的機率模型無法直接與現實進行比較，因為無法衡量其最重要的引數，即收益率的預期值。這並不奇怪，因為一般來說，理論機率在經濟學中沒有客觀意義，因為經濟事件不可重複。

由於收益率變化的機率模型無法直接與現實進行比較，人們可能會得出結論，這些模型沒有科學價值，但這是一個誇大的結論，因為這些模型仍然可以得出可觀察的預測。它們有時在解釋我們的觀察結果方面非常有用，即使我們無法測量所有引數。

CAPM 假設代理人知道收益率的預期值來做出投資選擇。由於這些預期值通常無法測量，因此代理人無法知道它們。事實上，這些收益率的預期值純粹是理論上的，並不存在。但不能因此得出 CAPM 完全不現實的結論。代理人會估計預期收益率並根據其估計做出決策。如果代理人得到充分的資訊，則預期收益率可能不是最終實現的收益率的太差估計值。

透過時間分散化降低風險

考慮一項非常冒險的投資，它允許投資者在短期內以 $k>2$ 的倍數增加其資本，機率為 $0.5$，或者失去所有資金。其平均效率為 $k/2-1$。但是，如果我們將所有資金投資於 $n$ 個連續時期，我們破產的機率為 $1-(1/2)^{n}$。如果 $n$ 很大，破產幾乎是確定的，我們不會從平均收益中受益。是否可以利用這種平均收益率而不承擔風險？

與其冒著損失所有資本的風險，我們可以選擇動態管理資金，並在每個週期只押注一小部分 $\alpha$ 到這種高風險投資上。在每個週期，平均收益率僅為 $\alpha (k/2-1)$。我們有二分之一的機率將我們的資本乘以 $1-\alpha$，也有二分之一的機率將它乘以 $1+(k-1)\alpha$。設 $V_{0}=1$ 為初始資本值，而 $V_{n}$ 為其在 n 個週期後的價值。n 個週期後的對數效率 $\ln(V_{n}/V_{0})=\ln(V_{n})$ 是具有均值 $[\ln(1-\alpha )+\ln(1+(k-1)\alpha )]/2$ 和方差 $[\ln(1-\alpha )-\ln(1+(k-1)\alpha )]^{2}/4$ 的獨立隨機變數之和。當 n 很大時，$\ln V_{n}$ 的分佈趨於均值為 $n[\ln(1-\alpha )+\ln(1+(k-1)\alpha )]/2$，方差為 $n[\ln(1-\alpha )-\ln(1+(k-1)\alpha )]^{2}/4$ 的正態分佈。

對數收益率均值的標準差比率 ${\frac {|\ln(1-\alpha )-\ln(1+(k-1)\alpha )|}{{\sqrt {n}}[\ln(1-\alpha )+\ln(1+(k-1)\alpha )]}}$ 當 n 非常大時趨於零。如果每個週期的對數收益率的平均值是正數，$[\ln(1-\alpha )+\ln(1+(k-1)\alpha )]/2>0$ 那麼當 n 非常大時，我們可以進行無風險盈利。如果 $\alpha <(k-2)/(k-1)$，這種動態管理策略只要週期數足夠大就能帶來一定的收益。

這種風險降低策略是基於時間分散的。它假設給定期間的利潤與之前期間的利潤無關。透過增加有風險但統計上獨立的利潤，降低了風險。

布萊克-斯科爾斯公式

布萊克-斯科爾斯公式可以根據標的資產的現值 $S_{t}$、波動率 $\sigma$、到期時間 $T$、期權執行價格 $K$ 以及無風險利率 $r$ 計算歐式看漲期權或看跌期權的現值。

證明它們最簡單的方法是在風險中性經濟體中進行推理。這意味著風險溢價始終為零。這個假設顯然完全錯誤，但令人驚訝的是，它得出了正確的公式。下面給出的布萊克-斯科爾斯方程不需要風險中性的假設，並證明了同名公式的合理性。更一般地說，風險中性的假設通常使我們能夠正確評估衍生產品，儘管這些產品非常危險，因為這些產品的價值基於其標的資產的現值。這些市場價格考慮了所需的風險溢價。如果風險溢價發生變化，例如，由於代理人對風險更加害怕，市場價格也會發生變化，但它們與衍生品價格之間的關係不會改變（Hull 2011）。這就是為什麼在根據標的資產價格估值衍生品價格時，通常可以忽略風險溢價的原因。後面介紹的二叉樹模型可以更清楚地證明這一點。

風險中性和資產價值

假設代理人是風險中性的。然後，資產的現值等於其預期值的現值的平均值

$S_{0}=\langle e^{-rT}S_{T}\rangle$

其中 $r$ 是無風險利率。對於價格變化由引數為 $\mu$ 和 $\sigma$的對數正態分佈決定的股票，我們可以推匯出

$\langle S_{T}\rangle =e^{rT}S_{0}=e^{(\mu +\sigma ^{2}/2)T}S_{0}$

因此

$r=\mu +\sigma ^{2}/2$

歐式看漲期權的現值

如果 $S_{T}$ 是標的資產的預期價值， $max(S_{T}-K,0)$ 是行權價為 $K$ 的看漲期權的預期價值 $C_{T}$ 。風險中性要求其現值 $C_{0}$ 是其預期價值的現值的平均值

$C_{0}={\frac {e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{K}^{+\infty }{\frac {S-K}{S}}e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS$

$={\frac {e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}(\int _{K}^{+\infty }e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS-\int _{K}^{+\infty }{\frac {K}{S}}e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS)$

$=C_{+}-C_{-}$

用 $x=\ln {\frac {S}{S_{0}}}$ ， $S=S_{0}e^{x}$ ， $dS=S_{0}e^{x}dx$

$C_{+}={\frac {S_{0}e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{\ln {\frac {K}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{x-(x-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dx$

現在 $x-(x-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}=-(x-(\mu +\sigma ^{2})T)^{2}/2T\sigma ^{2}+\mu T+\sigma ^{2}/2$

因此

$C_{+}=S_{0}e^{(-r+\mu +\sigma ^{2}/2)T}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{\ln {\frac {K}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{-(x-(\mu +\sigma ^{2})T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dx=S_{0}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{\ln {\frac {K}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{-(x-(\mu +\sigma ^{2})T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dx$

由於 $r=\mu +\sigma ^{2}/2$

以 $y=(x-(\mu +\sigma ^{2})T)/\sigma {\sqrt {T}}$，$dx=\sigma {\sqrt {T}}dy$

$C_{+}=S_{0}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(\mu +\sigma ^{2})T)/\sigma {\sqrt {T}}}^{+\infty }e^{-y^{2}/2}dy$

設 $N(.)$ 為標準正態分佈的累積分佈函式

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-y^{2}/2}dy$

由於 ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{+\infty }e^{-y^{2}/2}dy={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{-x}e^{-y^{2}/2}dy=N(-x)$

$C_{+}=S_{0}N[(\ln {\frac {S_{0}}{K}}+(\mu +\sigma ^{2})T)/\sigma {\sqrt {T}}]=S_{0}N[(\ln {\frac {S_{0}}{K}}+(r+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

$C_{-}={\frac {e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{K}^{+\infty }{\frac {K}{S}}e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS={\frac {Ke^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{\ln {\frac {K}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{-(x-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dx$

用 $z=(x-\mu T)/\sigma {\sqrt {T}}$，$dx=\sigma {\sqrt {T}}dz$

$C_{-}=Ke^{-rT}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-\mu T)/\sigma {\sqrt {T}}}^{+\infty }e^{-z^{2}/2}dz$

$=Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {S_{0}}{K}}+\mu T)/\sigma {\sqrt {T}}]=Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {S_{0}}{K}}+(r-\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

最後

$C_{0}=S_{0}N[(\ln {\frac {S_{0}}{K}}+(r+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]-Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {S_{0}}{K}}+(r-\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

這是歐式看漲期權的布萊克-斯科爾斯公式。

歐式看跌期權的現值

如果 $S_{T}$ 是標的資產的預期價值，$max(K-S_{T},0)$ 是行權價為 $K$ 的看跌期權的預期價值 $P_{T}$。風險中性要求其現值 $P_{0}$ 是其預期值的現值的平均值

$P_{0}={\frac {e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{K}{\frac {K-S}{S}}e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS=P_{+}-P_{-}$

$P_{+}={\frac {e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{K}{\frac {K}{S}}e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS={\frac {Ke^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\ln {\frac {K}{S_{0}}}}e^{-(x-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dx$

$=Ke^{-rT}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-\mu T)/\sigma {\sqrt {T}}}e^{-z^{2}/2}dz$

$=Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-\mu T)/\sigma {\sqrt {T}}]=Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(r-\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

$P_{-}={\frac {e^{-rT}}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{K}e^{-(\ln {\frac {S}{S_{0}}}-\mu T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dS=S_{0}e^{(-r+\mu +\sigma ^{2}/2)T}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {T}}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\ln {\frac {K}{S_{0}}}}e^{-(x-(\mu +\sigma ^{2})T)^{2}/2T\sigma ^{2}}dx$

$=S_{0}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(\mu +\sigma ^{2})T)/\sigma {\sqrt {T}}}e^{-y^{2}/2}dy$

$=S_{0}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(\mu +\sigma ^{2})T)/\sigma {\sqrt {T}}]=S_{0}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(r+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

最後

$P_{0}=Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(r-\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]-S_{0}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(r+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

這是歐式看跌期權的 Black-Scholes 公式。

Black-Scholes 方程

原則上，風險對沖策略可用於構建包含期權和股票或其他資產的無風險投資組合。該技術簡單地是對沖漲跌。投資組合中一個或多個專案的收益率高於無風險利率的任何漲幅，都會被其他專案的跌幅或低於無風險利率的漲幅抵消。因此，此類投資組合的回報率為無風險利率。漲跌會機械地抵消。但在支付風險溢價的經濟體中，無風險投資組合與不支付風險溢價的經濟體中的無風險投資組合相同，而 Black-Scholes 公式則決定了它們的組成。不同的公式必然會導致組成不同的無風險投資組合。由於無風險投資組合無論經濟體是否風險中性都相同，因此 Black-Scholes 公式的有效性並不依賴於風險溢價的存在。

更確切地說，我們將從無風險投資組合的存在證明，確定期權價值的函式必須滿足一個偏微分方程，即 Black-Scholes 方程。同名公式是此方程中滿足邊界條件的唯一解。

令 $V(t,S)$ 為基於標的資產當前價格 $S$，在時間 $t$ 的期權價值。如果 $V(t,S)$ 是市場價格，則可以透過經驗獲得。從先驗角度來看，它可能取決於風險溢價，因為買賣期權是風險交易。Black-Scholes 關於無風險投資組合的推理表明，$V(t,S)$ 實際上與風險溢價無關。

無風險投資組合是在時間 $t$ 持有一個期權和 $-{\frac {\partial V}{\partial S}}$ 個標的資產單位構建的。如果 ${\frac {\partial V}{\partial S}}>0$，則需要賣空標的資產。

如前所述，我們假設標的資產的隨機波動由對數正態分佈描述。

在時間間隔 $dt$ 內，$S$ 的變化 $dS$ 是兩項之和

${\frac {dS}{S}}=mdt+\sigma \epsilon {\sqrt {dt}}$

其中 $\epsilon$ 是一個標準正態隨機變數。

要計算 $dV$，公式 $dV=({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {\partial V}{\partial S}}{\frac {dS}{dt}})dt$ 不適用，因為當 $t$ 趨於零時，${\frac {dS}{dt}}$ 發散。

以下關於數量級的推理並不嚴格，但它會導致一個精確的公式，該公式可以用伊藤引理證明。

$dV={\frac {\partial V}{\partial t}}dt+{\frac {\partial V}{\partial S}}dS+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}dS^{2}$

${\frac {dS^{2}}{S^{2}}}=m^{2}dt^{2}+m\sigma \epsilon dt^{3/2}+\sigma ^{2}\epsilon ^{2}dt$

當 $dt$ 趨於零時，前兩項與第三項相比可以忽略不計。

假設我們可以用 $1$ 的平均值替換 $\epsilon ^{2}$，我們得到

$dV=({\frac {\partial V}{\partial t}}+mS{\frac {\partial V}{\partial S}}+S^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}})dt+S{\frac {\partial V}{\partial S}}dW$

無風險投資組合的價值變化是

$d\Pi =dV-{\frac {\partial V}{\partial S}}dS=({\frac {\partial V}{\partial t}}+S^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}})dt$

隨機項 $dW$ 消失了。這證實了該投資組合是無風險的。

$\Pi$ 必須以無風險利率 $r$ 變化

$d\Pi =r\Pi dt=r(V-{\frac {\partial V}{\partial S}}S)dt$

我們得到

${\frac {\partial V}{\partial t}}+S^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=r(V-{\frac {\partial V}{\partial S}}S)$

這是布萊克-斯科爾斯方程。

${\frac {\partial V}{\partial t}}+S^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

可以驗證布萊克-斯科爾斯的公式是同名方程的解。該方程不需要風險中性環境的假設。因此，布萊克-斯科爾斯的公式在非風險中性環境中也是成立的。二叉樹模型為這一結果提供了更簡單的解釋。

二叉樹和風險中性

以下例子非常簡單，也非常不現實，但足以理解為什麼期權和股票價格之間的關係不依賴於風險溢價。

假設今天價值為 100 的股票，在下一期可能以 p 的機率變為 110，或者以 1-p 的機率變為 90。現在想知道執行價格為 110 的看跌期權的當前價格 P。為了簡便起見，假設無風險利率為零。包含一隻股票和一隻期權的投資組合的當前價格為 100 + P。它的未來價值在任何情況下都是 110。因此，它是無風險的。我們推匯出 P = 10。我們不需要知道漲價的機率來知道期權的價格。我們不需要知道投資者承擔的風險及其風險溢價。

更一般地，單期二叉樹模型由以下引數定義：p、u、d 和 r。p 是股票價格在下一期乘以 u（上漲）的機率，1-p 是股票價格乘以 d（下跌）的機率。r 是單期的無風險利率。

假設股票的當前價格為 100，u> 1 且 d <1。為了評估執行價格為 K 的看跌期權的當前價格 P，我們考慮一個包含 $\Delta$ 股股票和一隻期權的投資組合。假設 $100d\leq K\leq 100u$。投資組合的當前價格為 $100\Delta +P$。它的未來價值要麼是 $100u\Delta$，要麼是 $100d\Delta +K-100d$。當

$100u\Delta =100d\Delta +K-100d$

也就是說

$\Delta ={\frac {K-100d}{100(u-d)}}$

由於它是安全的，我們必須有

$(100\Delta +P)(1+r)=100u\Delta$

所以

$P=\frac{100\mathrm{\Delta }(u-1-r)}{1+r}=\frac{(K-100d)(u-1-r)}{(u-d)(1+}$

為了找出行使價格為 K 的看漲期權的現價 C，我們可以考慮一個組合，該組合由賣出 $\Delta$ 股股票做空，並買入一份期權組成。賣空是指賣出借來的股票，並承諾以後買回它們來歸還。該組合的現價為 $-100\Delta +C$。它的未來價值要麼是 $-100u\Delta +100u-K$，要麼是 $-100d\Delta$。當滿足以下條件時，該組合是無風險的

$-100u\Delta +100u-K=-100d\Delta$

也就是說

$\Delta ={\frac {K-100u}{100(d-u)}}$

由於它是安全的，我們必須有

$(-100\Delta +C)(1+r)=-100d\Delta$

所以

$C={\frac {100\Delta (1+r-d)}{1+r}}={\frac {(K-100u)(1+r-d)}{(d-u)(1+r)}}$

與第一個例子一樣，我們不需要知道漲幅的機率 p 就能知道期權的價格。因此，我們不需要知道風險溢價來評估看跌期權和看漲期權。

當然，假設股票在一段時間後只有兩個值是不現實的。但只要期數足夠多，對多期二叉樹進行推理就足以使模型非常現實。用兩個時期，可以得到三個可能的未來值：100uu、100ud 和 100dd。用 N 個時期，可以得到 N + 1 個可能的未來值。如果 N 非常大，股票價格的變化遵循對數正態分佈。我們可以透過對二叉樹進行推理來證明布萊克-斯科爾斯公式。因此，用二叉樹建立的期權價格與風險溢價無關性，比模型簡單性在開始時所暗示的要現實得多。

科克斯、羅斯和魯賓斯坦的論文《期權定價：一種簡化方法》（1979 年）是開創性的論文，它展示了該模型的價值。

看跌期權的平均收益率可能為負。

如果標的股票的 $\beta$ 為正，那麼看跌期權的 $\beta$ 為負。我們將在一個例子中展示，$\beta$ 可以足夠負以使平均收益率為負。

考慮一隻股票，其平均收益率（算術年化）為 10%，波動率為 20%。

$\mu =0.08$

$\sigma =0.2$

$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}-1\approx 0.1$

我們對一個 6 個月的看跌期權進行推理，其執行價格等於股票的當前價格加上其平均收益率。

設 $V_{0}=100$ 為股票的現價。期權的執行價格為

$K=V_{0}e^{(\mu +\sigma ^{2}/2)T}=100e^{(0.08+0.2^{2}/2)0.5}\approx 105.13$

使用 Black 和 Scholes 公式可以得到期權的現價

$P_{0}=Ke^{-rT}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(r-\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]-S_{0}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(r+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

其中 $r=0.02$, $P_{0}\approx 8.02$,

期權在行權日平均將產生 $\langle P_{f}\rangle$

$\langle P_{f}\rangle =KN[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-\mu T)/\sigma {\sqrt {T}}]-S_{0}e^{rT}N[(\ln {\frac {K}{S_{0}}}-(\mu +\sigma ^{2})T)/\sigma {\sqrt {T}}]$

$\approx 7.87$

因此期權的平均年對數收益率為

$2\ln {\frac {7.87}{8.02}}\approx -0.038=-3.8\%$

數學補充

正態分佈

機率密度

• 當隨機變數 $X$ 的機率密度為時，它遵循 **標準正態分佈**

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}$

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ 是一個歸一化因子，使機率之和等於 1

$\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}/2}dx=1$

可以透過以下推理來證明

$\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy=(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx)^{2}$

$=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}rd\phi dr=2\pi [-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}]_{0}^{+\infty }=\pi$

因此 $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

當 $x=y/{\sqrt {2}}$, $dx=dy/{\sqrt {2}}$，我們得到 $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}/2}dy$

因此

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}/2}dy={\sqrt {2\pi }}$

• 一個隨機變數 $X$ 服從 **中心正態分佈**，當其機率密度函式為

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}$

當 $y=x/\sigma$，$dx=\sigma dy$，我們可以驗證 $\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)dx={\frac {\sigma }{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}/2}dy=1$

• 一個隨機變數 $X$ 服從正態分佈，當它的機率密度函式為

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

當 $y=x-\mu$，$dy=dx$，我們可以驗證 $\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}/2\sigma ^{2}}dy=1$

紅色曲線是標準正態分佈。

期望值

一個隨機變數 $X$ 當它的均值，或者說期望值 $E(X)$ 為零時，稱其為中心化的。由於中心化正態分佈的機率密度函式是偶函式，所以很容易驗證它的均值為零。$E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)dx$ 是一個奇函式的積分，因此結果為零。

當 $y=x-\mu$，我們得到正態分佈的期望值為

$E(X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }xe^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }(y+\mu )e^{-y^{2}/2\sigma ^{2}}dy=\mu$

方差和標準差

• 我們透過分部積分獲得標準正態隨機變數$X$的方差

$Var(X)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}e^{-x^{2}/2}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}([-xe^{-x^{2}/2}]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }-e^{-x^{2}/2}dx)=1$

• 用$y=x/\sigma$，$dx=\sigma dy$，然後我們得到中心正態律的方差

$Var(X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\sigma ^{2}y^{2}e^{-y^{2}/2}\sigma dy=\sigma ^{2}$

• 正態分佈的方差是相同的

$Var(X)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }y^{2}e^{-y^{2}/2\sigma ^{2}}dy=\sigma ^{2}$

$\sigma$ 因此是標準差 ${\sqrt {Var(X)}}$ 的 $X$.

對於正態分佈，$\sigma$ 也是對均值絕對偏差的平均值的一個很好的估計

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }|x|e^{-x^{2}/2}dx=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{+\infty }xe^{-x^{2}/2}dx$

$={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}[-e^{-x^{2}/2}]_{0}^{+\infty }={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$

因此

${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }|x-\mu |e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.8\sigma$

對數正態分佈

機率密度

令 $X$ 是一個隨機變數，使得 $\ln X$ 遵循均值為 $\mu$ 且標準差為 $\sigma$ 的正態分佈。

$X$ 的累積分佈函式是

$F_{X}(x)=Pr(X\leq x)=Pr(\ln X\leq \ln x)=F_{\ln X}(\ln x)$

因此，$X$ 的機率密度為

$f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x)={\frac {1}{x}}f_{\ln X}(\ln x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

一些對數正態密度函式具有相同的引數 $\mu$，但引數 $\sigma$ 不同。

期望值

$\langle X\rangle ={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{+\infty }xf_{X}(x)dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{+\infty }e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

用 $y=\ln x$，$x=e^{y}$，$dy={\frac {dx}{x}}$，$dx=e^{y}dy$

$\langle X\rangle ={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{y-(y-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dy$

現在 $y-(y-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}=-(y-(\mu +\sigma ^{2}))^{2}/2\sigma ^{2}+\mu +\sigma ^{2}/2$

因此

$\langle X\rangle =e^{\mu +\sigma ^{2}/2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(y-(\mu +\sigma ^{2}))^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

方差和標準差

$\langle X^{2}\rangle ={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{+\infty }x^{2}f_{X}(x)dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{+\infty }xe^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

令 $y=\ln x$, 則 $x=e^{y}$, $dx=e^{y}dy$

$\langle X^{2}\rangle ={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{2y-(y-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dy$

現在 $2y-(y-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}=-(y-(\mu +2\sigma ^{2}))^{2}/2\sigma ^{2}+2(\mu +\sigma ^{2})$

因此

$\langle X^{2}\rangle =e^{-2(\mu +\sigma ^{2})}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(y-(\mu +2\sigma ^{2}))^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$=e^{2(\mu +\sigma ^{2})}$

$Var(X)=\langle X^{2}\rangle -\langle X\rangle ^{2}=e^{2(\mu +\sigma ^{2})}-(e^{\mu +\sigma ^{2}/2})^{2}$

$=(e^{2\mu +\sigma ^{2}})(e^{\sigma ^{2}}-1)$

因此，$X$ 的標準差為

${\sqrt {Var(X)}}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}$