金融科學/風險計算

經濟學中的機率

風險的數學理論是機率論。它最初是為機會遊戲而設計的。只要沒有作弊，它就能讓我們計算出它們的平均收益和風險。它也可以應用於包含大量分子的物理系統。它們的隨機運動是布朗運動，而且不會作弊。機率存在於自然界中。

經濟不是賭場。經濟主體並不處於布朗運動中。那麼我們在經濟學中如何理解機率呢？

當一個隨機實驗可以重複時，我們可以測量機率。測量的精度隨著實驗重複次數n的增加而增加。對於物理系統，n可以與分子數量一樣大，因此是數十億數十億數十億，因為分子是相同的。這就是為什麼機率物理測量可以非常精確的原因。

實驗的精度透過相對誤差範圍來衡量，即誤差範圍除以測量量。可以證明，對於重複n次的隨機實驗，當n很大時，相對誤差範圍等於n的平方根的倒數。

經濟主體彼此不同。一個永遠不會是另一個的複製品。他們所處的環境也是不可複製的，因為時代在變，因為我們永遠不會回到過去。因此，似乎在經濟學中，一個實驗的最大重複次數等於1。這不足以測量機率。

經濟主體並不相同，但有時卻非常相似。他們所處的環境也是如此。因此，經濟機率有時是可以測量的，其精度取決於測量的重複次數以及不同測量之間相似程度的大小。通常，我們必須滿足於非常不精確的估計。

數學理論首先是有用的，因為它教會我們如何思考風險。當機率是可以測量的時，數學模型也可以很好地代表現實。如何衡量風險？

一個專案的風險透過其預期最終收入的離散度來衡量。

一個隨機量X用機率定義。如果存在n個可能的輸出X(i)，其中i從1變化到n，我們將為它們中的每一個分配一個介於0和1之間的機率p(X = X(i))，兩者都包括在內。機率等於1意味著結果是確定的，或者幾乎確定。結果不會發生的可能性無限小。如果機率為零，則結果的可能性無限小，幾乎不可能發生。

所有i的p(X=X(i))的總和等於1，因為結果是X(i)之一是確定的。

$\sum _{i}p(X=X(i))=1$

均值E(X)，也稱為平均值或X的期望值，是所有i的p(X = X(i)) X(i)的總和。

$E(X)=\sum _{i}p(X=X(i))X(i)$

絕對值的平均值從均值偏差是一個分散度量，但標準偏差，即均值偏差的平方的均值的平方根，通常更受歡迎，因為它通常更容易計算。

方差var(X)是平方偏差的均值。

$var(X)=\sum _{i}p(X=X(i))(X(i)-E(X))^{2}=E((X-E(X))^{2})$

標準偏差std(X)是方差的正平方根。

$std(X)={\sqrt {var(X)}}$

標準偏差衡量隨機量的離散度，但它不是風險的唯一指標，因為對於相同的標準偏差，均值偏差的離散度可能以非常不同的方式離散。均值偏差的分佈，而不僅僅是它們的標準偏差，會影響對風險的評估。但在大多數情況下，標準偏差被認為是風險的充分度量。

一個專案的風險是其預期最終收入的標準偏差。

利潤是最終收入和初始成本之間的差額。如果初始成本固定，則利潤的標準偏差等於最終收入的標準偏差，因此是相同風險的度量。剩餘利潤是專案利潤與其初始成本以無風險利率投資後應獲得的利潤之間的差額。如果初始成本固定，則剩餘利潤的標準偏差因此等於利潤的標準偏差，也是相同風險的度量。因此，我們已經證明

定理：如果初始成本固定，專案的風險是其預期剩餘利潤的標準偏差。

風險的補償

一個專案的風險可能會被一個或多個其他專案的風險抵消。透過補償降低風險是透過專案或期權組合來創造價值的一個例子，因為風險必須被計入成本。

考慮一個拋硬幣遊戲。你可以押注反面，風險為 1，有 1/2 的機率贏取 2。押注反面意味著獲得一個贏得 2 的選擇權。這個選擇權的價格為 1。贏得的期望值也為 1 = 0.5 x 2。根據金融理論，一個專案的價值並不等於其預期收益，必須考慮到風險。對於相同的預期收益，專案越冒險，其價值越低。因此，我們應該得出結論，押注反面並希望贏得 2 的價格 1 被高估了，因為這個專案是冒險的，但這個結論是錯誤的。我們可以組合專案。多個專案的預期收益是每個專案的預期收益之和。如果我們同時押注正面和反面，我們得到一個無風險的專案來贏得 2。如果押注正面和反面的選擇權價格低於 1，我們可以將它們組合起來，並透過支付低於 2 的價格獲得一個無風險的專案來贏得 2。這樣，就可以從任何初始押注中無風險地獲得無限利潤，這是不可能的。因此，押注正面或反面的選擇權的價值由它們的預期價值正確評估。我們可以忽略它們的風險，因為可以抵消它。押注正面的風險可以透過押注反面的風險來抵消，從而得到一個無風險的專案。

我們可以用非常冒險的選擇權組合一個無風險的投資組合。因此組成的無風險投資組合的收益是構成它的資產收益的加權總和。如果這些資產的收益率高於無風險資產的收益率，那麼這樣組成的無風險投資組合的收益率將高於其他無風險投資組合的收益率，人們可以通過出售無風險投資組合併購買收益率更高的無風險投資組合來獲得無限利潤，而無需承擔風險。但金融市場不允許我們無風險地獲得無限利潤。因此，一旦冒險資產可以成為無風險投資組合的一部分，就應該像無風險資產一樣對其進行估值。為了評估冒險資產，必須考慮到風險，但不是資產本身固有的風險，而是作為資產組成部分的投資組合的最小風險，因為可以透過組合投資組合來降低風險，因為一種風險可以被另一種風險抵消。只有在無法抵消的情況下，風險才具有成本。在對金融資產進行估值時，必須考慮不可減少的風險。這是指透過構建投資組合無法進一步降低的風險。一旦金融期權和其他資產可以成為無風險投資組合的一部分，就應該像無風險資產一樣對其進行估值，因為它們的風險可以降低到零。

一個專案或一個選擇權不應被評估為孤立的，與其他專案分離，因為那樣會高估風險成本。為了評估一個專案，我們必須評估不可減少的風險，因此我們必須評估該專案對一個最優專案的價值的貢獻，該最優專案由多個專案組成，這些專案的風險相互抵消，部分或全部，以最優的方式。同一個專案可以為不同的專案做出貢獻，這些專案有不同的風險，但如果它們是最優專案，其貢獻價值始終相同。我們透過使風險多樣化來降低風險，前提是它們是獨立的，或者不太依賴。當一個專案可以重複多次時，如果每次成功與之前和之後的成功無關或依賴性很小，就可以降低其風險。

降低風險可能需要時間。目前的風險可以被以後承擔的風險抵消。目前的風險可以被以後承擔的風險抵消。不好的年份可以被好年份抵消。保險公司的作用是透過抵消風險來降低風險。如果它沒有降低風險，或者沒有做得足夠好，它本身就是一個冒險的行業。由一家有破產風險的公司提供保險，與根本沒有保險沒什麼區別。

獨立性、協方差和相關性

為了計算風險補償，我們必須考慮隨機利潤之間的獨立性和協方差。

兩個事件 A 和 B 是獨立的當且僅當它們聯合發生的機率等於它們各自機率的乘積，p(A 和 B) = p(A) p(B)。

兩個隨機量 X 和 Y 是獨立的當且僅當所有事件 X = X(i) 與所有事件 Y = Y(j) 獨立，p(X=X(i) 和 Y=Y(j)) = p(X=X(i)) p(Y=Y(j))，對於所有 i 和所有 j。

兩個隨機量之間的協方差衡量了一個隨機量的變化與另一個隨機量的變化之間的相關性。如果一個隨機量的變化的平均符號與另一個隨機量的變化的平均符號相同，則協方差為正。如果一個隨機量的變化的平均符號與另一個隨機量的變化的平均符號相反，則協方差為負。正協方差意味著這些量更常以相同的方向變化，而不是相反的方向變化。負協方差意味著它們更常以相反的方向變化，而不是相同的方向變化。零協方差意味著它們以相同的方向變化的頻率與以相反的方向變化的頻率一樣多。

兩個隨機量 X 和 Y 的協方差 cov(X,Y) 是它們偏離平均值的乘積的平均值 E( (X-E(X))(Y-E(Y)) )

cov(X,Y) = 所有 i 和所有 j 的 p(X=X(i) 和 Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y)) 的總和。

定理：對於所有隨機量 X、Y、Z 和任何實數 a，

cov(X,Y) = cov(Y,X)
cov(X,X) = var(X)
cov(X,a) = 0
cov(X,Y+Z) = cov(X,Y) + cov(X,Z)
cov(X,Y+a) = cov(X,Y)
cov(X,aY) = a cov(X,Y)

證明：它們直接從協方差的定義得出。

var(X+Y) = var(X) + 2cov(X,Y) + var(Y)

證明：var(X+Y) = cov(X+Y,X+Y) = cov(X,X) + 2cov(X,Y) + cov(Y,Y)

定理：如果隨機量 X 和 Y 是獨立的，則它們的協方差為零。

證明： $cov(X,Y)=\sum _{i,j}p(X=X(i))p(Y=Y(j))(X(i)-E(X))(Y(j)-E(Y))=\sum _{i}p(X=X(i))(X(i)-E(X))\sum _{j}p(Y=Y(j))(Y(j)-E(Y))=0$ ，因為 $\sum _{i}p(Y=Y(j))Y((j)=E(Y)$ 以及 $\sum _{j}p(Y=Y(j))=1$ .

兩個隨機量 X 和 Y 的相關係數 cor(X,Y) 是它們的協方差除以它們的標準差的乘積，cov(X,Y)/(std(X) std(Y))。

定理：如果兩個隨機量 X 和 Y 之間的相關係數嚴格小於 1，則它們的和 X+Y 的風險嚴格小於它們風險的總和。

證明： $(std(X+Y))^{2}=var(X+Y)=var(X)+2cov(X,Y)+var(Y)<var(X)+2std(X)std(Y)+var(Y)$ 如果 $cor(X,Y)<1$ 。 $(std(X)+std(Y))^{2}=var(X)+2std(X)std(Y)+var(Y)$ ，所以 $(std(X+Y))^{2}<(std(X)+std(Y))^{2}$ 和 $std(X+Y)<std(X)+std(Y)$ 。

特別是，如果 X 和 Y 風險且獨立，則它們總和的風險嚴格小於它們風險的總和。

定理：如果兩個隨機量 X 和 Y 之間的相關係數 cor(X,Y) 等於 1，則存在兩個實數 a 和 b，a > 0，使得 Y = aX +b 幾乎總是成立。

如果一個陳述的機率等於 1，則該陳述幾乎總是成立，或者幾乎處處成立。

引理：如果 var(X) = 0，則 X = E(X) 幾乎總是成立。

引理的證明：如果 X 不同於 E(X) 的機率不為零，則 (X - E(X))² > 0 的機率也是如此，並且 var(X) > 0。定理的證明：設 a = std(Y)/std(X)。var(Y - aX) = var(Y) - 2a cov(X,Y) + a²var(X) = 0，因為 cov(X,Y) = std(X)std(Y)。因此，Y - aX = E(Y) - a E(X) 幾乎總是成立。因此定理成立。當 Y = aX +b 對於兩個常數 a 和 b 時，我們說 Y 是 X 的仿射函式。

在下文中，我們將不區分幾乎總是成立的陳述和僅僅成立的陳述。

最佳專案

如果一個經濟體可以細分為許多獨立的專案，使得一個專案的成功或失敗不依賴於其他專案的成功或失敗，那麼就有可能抵消所有風險，併為整個經濟體獲得幾乎為零的風險。但是，同一經濟體中的專案通常不是獨立的。一些專案的繁榮取決於其他專案的繁榮。一個專案的破產會導致其他專案的破產。這就是為什麼有些風險無法抵消的原因。風險有時是不可減少的，因為同一經濟系統的參與者是相互依存的。不可減少的風險是系統性的。

一個專案是最佳的，當且僅當它在所有具有相同平均利潤和相同初始成本的專案中具有最小的風險。 最佳專案的風險是不可減少的，因為在不降低平均利潤的情況下無法降低風險。

先前對最佳專案的定義等效於以下定義：一個專案是最佳的，當且僅當它在所有具有相同風險和相同初始成本的專案中具有最大的平均利潤。

最佳利潤應使用市場價格、平均價格或普通價格來評估。它們代表整個經濟體可獲得的投資機會。如果有便宜貨，與普通價格相比非常有利的價格，在評估最佳利潤時不應該計算它們，因為它們只是幸運代理人的特殊條件，並不代表整個經濟體。

最佳專案的槓桿

槓桿透過改變專案的最終收益來改變專案的初始成本。人們可能會希望它可以將一個次優專案轉變為一個最佳專案，但這種希望是徒勞的。

定理：如果一個專案是最佳的，那麼如果它以無風險利率部分或全部用貸款融資，因此利用槓桿效應，它仍然是最佳的。

證明：借款會降低平均利潤，因為利息必須償還，但不會改變利潤的離散程度，因為利息是在事先固定的。因此，專案的風險不會因借款而改變。盈餘利潤不會因融資方式而改變，並且它對於專案的風險是最佳的。因此，無論專案的融資方式如何，該專案都是最佳的。

一個風險專案由一系列隨機成本和收益組成，所有日期都已確定，從中我們可以計算出初始成本、最終收益、利潤和盈餘利潤，所有這些都是隨機的。設 X 是表示風險專案盈餘利潤的隨機量。

定理：如果 X 是一個最佳專案的隨機盈餘利潤，該專案的初始成本 C 不是隨機的，那麼 X 也是一個初始成本為 D 的最佳專案的隨機盈餘利潤，無論 D 是什麼。

證明：如果 D < C，則以無風險利率借款 C - D 就足以將初始成本恢復到 D，而不會改變盈餘利潤。如果 D > C，則以無風險利率借款 D - C 就足以將初始成本從 C 增加到 D，而不會改變盈餘利潤。

如果初始成本是隨機的，則可以透過決定借入所有未由事先確定的初始金額或收益覆蓋的成本，將其設定為任意值，可能是零。因此，最佳專案僅由其隨機盈餘利潤來表徵，而不是由其初始成本表徵。

定理：一個專案是最佳的，當且僅當它在所有具有相同平均盈餘利潤的專案中具有最小的風險。

證明：這是前一個定理的直接結果。

最佳專案的組合

定理：**如果 X 是一個最佳專案的隨機盈餘利潤，那麼 aX 也是一個最佳專案的盈餘利潤，如果 a > 0。**

證明：如果 a < 1，購買專案 X 的 a 部分就足以獲得最佳的盈餘利潤 aX。如果 a > 1，則只需將專案 X 的規模擴大 a 倍即可。

一個專案對於市場條件來說是最佳的，而市場條件被假定為無限可複製的。這就是為什麼假設最佳專案規模可以無限擴大。這是一個理論上的簡化。實際上，專案的規模擴大總是有侷限性的。

定理：**如果 X 和 Y 是兩個最佳專案的隨機盈餘利潤，那麼 X + Y 也是一個最佳專案的隨機盈餘利潤。**

證明：如果我們購買 X 和 Y，我們將得到一個隨機盈餘利潤為 X + Y 的專案。如果 X + Y 的風險小於 X 和 Y 風險之和，那麼 X 和 Y 的風險可以透過將它們合併在一起並分享它們的共同風險來降低，而 X 和 Y 就不再是最佳的盈餘利潤。因此，X + Y 的風險不能小於 X 和 Y 風險之和，因此也不能降低。

所有最佳專案之間的相關性

定理：**兩個有風險的最佳專案不能是獨立的。** 證明：如果它們是獨立的，那麼透過將它們組合在一起就可以降低風險。然而，最佳專案具有不可降低的風險。因此，它們不是獨立的。

特別是，重複相同的風險最佳專案並不能降低其風險，因為連續專案彼此之間不獨立。

最佳專案之間的依賴性非常強。所有最佳專案都密切相關。

定理：**最佳風險專案的盈餘利潤都是同一隨機量的嚴格正倍數。**

證明：設 X 和 Y 是兩個風險最佳專案的盈餘利潤。它們的和的風險 std(X+Y) 等於它們風險之和 std(X) + std(Y)，否則將它們合併在一起將降低風險，它們將不再是最佳的。所以 cor(X,Y) = 1。所以 Y = aX + b，其中 a 和 b 是常數，並且 a > 0。Y 和 aX 都是最佳的盈餘利潤，所以 b = 0。風險最佳專案的盈餘利潤都是彼此的倍數，因此都是其中一個的倍數。因此得到定理。

這個定理非常令人驚訝，幾乎難以置信，甚至可能讓人擔心它會導致荒謬的結果。最佳專案可以在不同的地方和不同的時間進行。然而，只要知道一個最佳專案的最終收入，就足以知道所有最佳專案的最終收入。例如，一個在此時此地結束的最佳專案的最終收入應該足以知道世界各地現在或將來所有最佳專案的最終收入。因此，執行一個最佳專案就應該像一個水晶球，可以預測所有現在和將來所有最佳專案的結果。但這樣一來，這些專案將不再有風險，因為它們的最終收入將提前知道。因此，執行一個最佳專案並觀察其結果就足以將所有風險降至零，我們將不再需要風險理論和保險公司。

我們找不到這個水晶球，因為我們永遠無法知道一個風險專案是否是最優的。在我們執行之前我們無法知道，因為最終收入的機率無法準確得知。我們執行之後也無法知道，原因相同。

當我們估計風險來識別最佳專案時，我們不能斷定它確實是最佳的，因為我們的估計永遠不夠精確，我們只能斷定它可能與最佳專案沒有太大差異。

代表所有風險最佳專案的單個隨機量的存在是數學模型的結果。它假設所有事件的所有機率都事先被精確地定義，就好像所有機率都事先被寫下，帶有無限的小數位數一樣。這種機率的精確性在現實中是不存在的，因為沒有任何東西是完全可複製的。這就是為什麼代表所有其他專案的單個風險最佳專案在現實中不存在。它只具有數學上的存在。

即使它只以數學方式存在，代表所有最佳風險專案的獨特隨機量也具有現實意義。這意味著執行最佳風險專案的代理人都在同一條船上。他們要麼一起贏，要麼一起輸，但一些人的損失不能由其他人的收益來彌補，否則風險就可以降低。

當我們對不可減少的風險進行賭博時，我們押注所有同樣對不可減少的風險進行賭博的人的成功，因此我們都是團結的，我們不相互對抗。如果我們相信我們都會一起成功，那麼我們就被鼓勵進行賭博。如果我們相信我們都會一起失敗，那麼我們就會被勸阻進行賭博。執行風險最佳專案的動力來自於所有冒險者之間的團結以及他們的希望。

當我們對不可減少的風險進行賭博時，我們獲得了分享期望的集體成功利潤的權利，但同時我們也承諾，如果它是集體失敗，我們將承擔一部分損失。

風險承擔者是那些有能力預付資金的人，因此是資本家。為了最佳化他們的投資，他們有興趣團結起來，因此要像社會主義者或共產主義者一樣思考。所以我們已經證明了

定理：**要成為優秀的金融家，我們必須像共產主義者一樣思考。**

風險與時間

時間會對風險產生多種影響。

時間會增加風險，因為盈利需要時間。時間越長，利潤增加的可能性就越大，它們的離散程度也越大，因此風險也越大。
目前的風險可以透過未來的風險來抵消。因此，時間的推移透過跨期補償來降低風險：好年頭彌補了壞年頭。
一個專案在時間上越遙遠，就越難預測其最終收入。因此，專案的收入在時間上越遙遠，風險就越大。隨著時間的推移，與最終收入的距離會縮短。因此，時間的推移透過減少不確定性來降低風險。

為了評估風險，我們必須透過考慮所有可用資訊來估計機率。

一個專案在給定的機率下是最優的，則它在相對意義上是最優的。

當投資組合的構成隨時間推移發生變化時，它就被稱為動態管理。

如果投資組合的構成保持不變，則它被稱為靜態管理。

新資訊始終會出現，並可能導致我們改進機率估計並減少不確定性。因此，相對最優的專案可能會隨著時間推移而發生變化。時間越長，我們對最佳專案的評估就越好，我們越能降低風險。如果我們沒有動態管理專案，我們就忽略了這種降低風險的可能性，因此有更大的風險損失更多資金。因此，投資組合或專案必須進行動態管理才能保持相對最優。