金融科學/風險的成本與收益
當一個專案有風險時，投資者要求以超額利潤的形式獲得承擔風險的補償。一個專案的超額利潤是指其利潤超出如果投資於無風險利率所獲得的利潤的差額。
風險的成本是針對特定風險可以獲得的最佳平均超額利潤。
最佳專案的平均超額利潤隨風險變化而變化，使得可以衡量風險成本：風險成本是補償風險所需的平均超額利潤。
定理：風險成本與風險成正比。
證明：假設一個最佳專案的所有權在幾個股東之間共享，他們共同分享利潤。超額利潤的標準差在所有股東之間以與超額利潤相同的方式共享。因此，每個股東收到的補償與其承擔的風險成正比，因為風險可以透過超額利潤的標準差來衡量。因此，風險成本除以風險是一個常數 k。因此，我們證明了
定理：存在一個風險價格常數 k，使得 kR 是風險 R 的成本。
這個風險價格常數是無量綱的，因為利潤的標準差與超額利潤具有相同的量綱。如果貨幣單位是美元，則風險和風險成本以美元衡量。我們將在後面證明，風險價格常數 k 必然小於 1。它真的是一個常數，並且具有普遍性嗎？不，因為對風險的態度以及對相同風險所需的補償會隨著時間的推移而變化。對所有公司和所有專案來說，它都相同嗎？不一定，因為標準差不是表徵風險的唯一條件。不同的專案可以具有非常不同的利潤和損失分佈，同時具有相同的利潤標準差。這些分佈差異會影響對風險的感知和對補償的要求。但是，利潤的標準差可以被認為是對大多數專案來說的一個良好的風險衡量指標。這就是為什麼風險價格常數 k 可以被認為對所有專案和公司都相同的原因。
只要知道最佳無風險專案的平均利潤和最佳風險專案的平均利潤，就可以計算出風險價格常數 k，從而計算出所有風險的成本，因此可以計算出所有專案的價值。最佳無風險專案和最佳風險專案就像衡量標準，我們可以用它們來衡量所有專案的價值，無論它們是否最佳。
k 是多少？貼現率是最佳無風險利潤率。2% 或 3% 的年利率是現實的價值，也許更多，高達 4% 或 5%，如果所有者非常有利，也許更低，在經濟衰退時期。一個管理良好的公司在保持謹慎的同時承擔風險，其平均利潤率為每年 10%，標準差為 15%。如果貼現率為每年 2% 或 3%，那麼這將使超額利潤率達到 7% 或 8%，風險為 15%。如果我們假設這些值代表了最佳專案不可減少的風險，那麼 k 約為 1/2。
如果最終收益的標準差為 R，則風險成本為 kR。此成本是在專案結束日進行評估的。為了計算專案的預期價值，必須在專案啟動日將此成本折現。
定理：風險成本必須以與其他成本和收益相同的貼現率折現。
證明：如果我們將最終收益置於無風險利率，我們將透過延遲獲得新的最終收益，這些收益只是乘以相同的貼現因子。因此，最終收益的標準差也乘以相同的貼現因子。由於沒有承擔新的風險，因此預期的風險成本不應修改。因此，該定理成立。
有時透過改變用於計算專案價值的貼現率來評估風險成本。這種計算方式似乎對使用它的人來說很有意義，因為真正的貼現率是根據無風險零息債券評估的。他們得出結論，應該對風險專案使用另一個貼現率。但這種推理毫無道理。相同的貼現率用於估值成本和收益。貶低損失因為它們有風險沒有意義。風險損失的成本並不比平均而言相等的無風險損失更低，而是更高，因為它們會增加專案的風險。貼現率取決於特定日期整個經濟的狀況，而不是取決於用於評估的專案。所有專案的成本和收益，無論是否有風險，都應該使用相同的貼現率進行評估。
風險及其成本有時使用年度利潤率的標準差進行估計，因為這種標準差似乎是風險的一個良好衡量指標。但是，這種風險成本計算並不準確。例如，考慮一個為期兩年的專案，其兩年超額利潤率為 60% 或 -20%，機率相等。兩年平均超額利潤率為 20%。標準差為 40%，所以如果 k = 1/2，這個專案是最佳的。令 r = 2% 為年貼現率。因此，兩年利潤率為 64.04% 或 -15.96%。每兩年 64% 為 1.64^(1/2) - 1 = 28.1% 年。每兩年 -16% 為 (0.84)^(1/2) - 1 = -8.3%。因此，年度超額利潤率為 26.1% 或 -10.3%，機率相等。年度平均超額利潤率為 (26.1-10.3)/2 = 7.9%，年度超額利潤率的標準差為 (26.1+10.3)/2 = 18.2%。利潤率和超額利潤率僅相差一個常數，因此它們的標準差相同。如果我們使用年度利潤率的標準差來評估風險，我們就會得出結論，這個專案是次優的，而實際上它是最佳的。因此，對於持續多年的專案來說，年度利潤率的標準差不是一個好的風險衡量指標。
風險價格使我們能夠計算出風險不可減少的隨機收益或損失的價值。隨機收益的價值是平均收益減去風險成本。隨機損失的價值是平均損失加上風險成本
考慮以 1/2 的機率獲得 100，因此平均收益為 50。收益的標準差，因此風險，等於 50。如果風險價格常數為 k，則此風險的成本為 50k，因為假設 50 的風險是不可減少的。因此，如果該隨機收益的風險是不可減少的，那麼它的價值等於 50(1-k)。考慮以 1/2 的機率損失 100，因此平均損失為 50。損失的標準差，因此風險，等於 50。此風險的成本為 50k。因此，如果該隨機損失的風險是不可減少的，那麼它的價值等於 50(1+k)。
如果 k = 1/2，那麼對於一個與不可減少的金融風險對賭的人來說，有 1/2 的機率贏得 100 的成本為 25。在拋硬幣遊戲中，這種機會的成本為 50。在國家彩票中，成本為 100。因此，那些喜歡冒險的人有興趣與不可減少的金融風險對賭。
定理：風險價格常數 k 始終嚴格小於 1。
證明：如果 k 等於 1，則在沒有損失風險的情況下，非零平均收益將為零，就像彩票可以免費獲得一樣。因此，我們可以從無限的利潤中獲益，而無需冒失去一分錢的風險。這種利潤不被金融法允許。如果 k 嚴格大於 1，則在沒有損失風險的情況下，非零平均收益將為負值。這意味著我們可以被支付來接受它，這是不可能的。
在比較平均利潤相同的專案時，風險被視為成本。但如果我們比較初始成本相同的最佳專案，風險也可以被視為利潤，因為風險越高，平均利潤就越高。如果我們考慮初始成本為零的最佳專案，風險也是一種益處。當我們可以以無風險利率借款來完全為風險專案融資時，這種專案是可能的。然後，我們從無限槓桿中獲益。
假設貼現率為每年 2%，風險價格常數 k 為 0.5。這意味著利潤的標準差為 1 必須抵消平均利潤的增加 0.5。考慮一個專案，今天花費 100，其唯一收入是一年後的 126 或 94，每個的機率都是 1/2。平均利潤為 10。利潤的標準差為 16。平均盈餘利潤為 8。這個風險專案是最佳的，因為風險等於 16 已被平均利潤的增加 16k = 8 抵消。這種補償證明了承擔風險的合理性。
假設我們可以以無風險利率借款 100 來為之前的風險專案融資。我們必須在一年的時間內償還 102。所以我們有 1/2 的機會贏得 24，1/2 的機會損失 8。這就像玩一個 3 比 1 的硬幣拋擲。
3 比 1 的賠率取決於風險價格常數 k=0.5，但對於一個最佳的風險專案，只要風險成本大於零，它就總是大於 1 比 1。
考慮一個專案，今天花費 100，其唯一收入是一年後的 118 + 16k 或 86 + 16k，每個的機率都是 1/2。平均利潤為 2 + 16k。利潤的標準差為 16。平均盈餘利潤為 16k。該專案是最佳的，因為我們透過平均利潤增加 16k 抵消了等於 16 的風險。如果我們以無風險利率借款 100 來為之前的專案融資，我們有 1/2 的機會贏得 16 + 16k，1/2 的機會損失 16 - 16k。因此，我們以 1+k 比 1-k 的機率進行遊戲，因此以 (1+k)/(1-k) 比 1 的機率進行遊戲，機率相等。這些賠率只取決於風險價格常數 k，而不取決於貼現率。因此，我們證明了
定理：**如果風險價格常數為 k，我們可以以相等的機率以 (1+k)/(1-k) 比 1 的機率進行遊戲。**
只有不可約風險才能產生這種利潤。如果風險可以降至零，就像在普通的硬幣遊戲中一樣，正面或反面的賠率必須是 1 比 1，否則其中一個玩家會受到傷害。不可約風險是針對命運的。沒有其他對手。
當我們可以以相等的機率以 (1+k)/(1-k) 比 1 的機率進行遊戲時，我們不能重複遊戲多次來增加利潤並降低風險，因為那樣我們會降低風險。然而，假設風險是不可約的。