金融學/無風險專案的價值
我們透過預測專案的利潤來計算專案的價值，因此要計算其成本和收入。
計算成本和收益是評估決策的一種通用方法。市場規則要求進行此類計算。一家沒有正確計算其支出和收入的公司通常會破產。但計算成本和收益的重要性並不止於商業會計。對於大多數專案，即使是非營利專案，即使只有慈善目的，也存在評估成本和收益的興趣，以便做出最佳選擇，或者至少做出合理的、可能令人滿意的選擇。計算不需要非常精確。粗略評估足以做出明智的決策。
當涉及到不可替代的自然資源時，成本和收益的計算很快：它們消失的成本是無限的，因此沒有任何收益能證明它們的犧牲是合理的。
總的來說，公司不會為其環境破壞付費，或者支付的很少。如果透過用損失財富的替代成本來評估這種成本，讓它們支付這種成本，那麼它們將不得不將其計入其售價中。但由於市場價格在很大程度上忽略了環境成本，它們鼓勵我們做出錯誤的決定，選擇花費比購買價格多得多的產品。如果我們想要正確地評估成本和收益，我們還必須考慮在公司或個人賬戶中被忽略的隱性成本或收益。
如果我們知道成本和收入，計算利潤似乎很容易：利潤等於所有收入的總和減去所有成本的總和。如果專案是短期專案，這是一個準確的計算，但如果專案是長期專案，如果忽略截止日期，則成本和收入的估計值很差。明天收入 100 元與一年後收入 100 元的價值不同。成本也是如此。需要一個跨期匯率將未來付款的價值轉換為當前付款的價值。這被稱為貼現率。它是使用無風險貸款的利率估算的。
以每年 2% 的利率計算，如果今天投資 100 元，則明年可獲得 102 元。因此，一年後的 102 元相當於今天的 100 元。100x(1.02)^20 = 148，二十年後的 148 元相當於今天的 100 元。100x(1.02)^100 = 724，一百年後的 724 元相當於今天的 100 元。因此，一百年後的 100 元相當於今天的 100/7.24 = 13.8 元。13.8 是百年後的 100 元的現值。金融邏輯導致對未來商品的系統性貶值。在財務計算中。因此，金融邏輯對子孫後代的利益考慮不足。
從金融的角度來看，基本的金融錯誤，資本罪是讓財富處於休眠狀態，不利用它創造更多財富，例如將自己的金子埋在自己的花園裡，而不是為生產性企業融資。因此，金融邏輯促使我們最大限度地利用所有可用財富。但如果我們將這種邏輯應用於不可再生自然資源，我們會得出荒謬的結論：保護它們是錯誤的，因為它們是未使用的財富。為什麼把它們留給子孫後代，而我們可以立即使用它們賺很多錢呢？在我們的財務賬戶中，為子孫後代保留的財富毫無價值或幾乎毫無價值，最好立即利用它。
金融邏輯低估了壽命長的商品的價值，因為它沒有考慮到這些商品對尚未出生的人的價值。對商品的需求決定了它們的價值，但缺席者永遠是錯誤的。當我們忽視子孫後代的利益時，這是他們的錯，因為他們沒有要求任何東西，因為他們還沒有出生。
當前的經濟體系正在毀掉我們的未來。每天，地球都比前一天更加退化。自然財富正在以驚人的速度消失。我們努力工作以使自己變得貧窮。如果經濟發展任其自流，任由市場規律支配，商品的價值由那些能夠支付商品的人決定，那麼它將直接把我們引向懸崖，因為市場貶值了長遠的未來。
利潤是最終收入與初始成本之間的差額。
初始成本在專案啟動之日評估，最終收入在專案結束之日評估。
最簡單的無風險專案只有一個成本和一個收入，例如今天支付 100 元，一年後獲得 102 元。從會計的角度來看，它們等同於零息債券。債券是一種債務。債券發行人借錢。債券購買者借出他們的錢。債券發行人必須支付利息並償還本金。債券的息票代表在償還本金之前必須支付的利息。零息債券一次性償還本金和利息。例如，我們可以今天以 100 元的價格購買一張債券，這承諾發行人將在一年後償還 102 元。
在生產專案中，成本先於收入。初始成本是不由過去收入支付的成本。專案的持續時間始終可以分為兩個階段，一個階段需要預付資金來支付成本，因為這些成本沒有由之前的收入支付，而另一個階段則不再需要預付此類資金，因為收入足以支付成本。初始成本是第一階段的淨成本。最終收入是第二階段的淨收入。初始成本是完成專案所需預付的資金。最終收入是支付完初始成本並完成專案後國庫中剩餘的資金。
未使用的資金是處於休眠狀態的資金，不會賺取任何利息。這就是為什麼公司不希望保留大量現金的原因。與其讓資金留在基金中，不如將其投資並賺取無風險利息。因此，我們可以透過買賣無風險債券來儘可能緊密地管理我們的現金流。國庫成本是我們如果不能儘可能準確地管理現金流，如果讓資金在收銀機裡沉睡，我們必須支付的成本。為了忽略它們，我們可以假設國庫始終以無風險利率投資，就好像它始終以儘可能緊密的方式管理一樣。對於小型國庫或短期專案，國庫成本非常低，可以忽略不計，但對於長期的大型國庫，它們可能非常重要。
如果國庫成本降至零，最終收入就是專案結束當日更新的所有最終收入的總和。
例如，如果貼現率為每年 2%，那麼一年後的 100 元收入相當於兩年後的 102 元收入。
在相同的貼現率下，一年後的 102 元成本相當於今天的 100 元成本，因為透過今天支付 100 元並將其放在無風險利率下，我們可以在一年後支付 102 元。如果我們將國庫成本降至零，無風險專案的初始成本就是專案啟動之日貼現的所有初始成本的總和。
利潤率是利潤除以初始成本。利潤率必須按時間單位計算。為期兩年的專案 21% 的利潤率是每年 10% 的利潤率。
專案結束之日的價值是其最終收入。
無風險專案啟動之日的價值是其最終收入當日的貼現價值。
例如，如果最終收入是一年後的 102 元，並且貼現率為每年 2%，那麼專案今天的價值是 100 元。
風險中性專案的淨現值是專案價值與其初始成本之間的差額，因此是專案價值減去其初始成本。專案啟動當天的淨現值是當天預期最終收入的現值與初始成本之間的差額。淨現值不是利潤，因為最終收入必須折現到專案啟動當天。
如果專案的淨現值嚴格大於零，則該風險中性專案是一個意外之財。其價值大於其初始成本，即價格。如果其淨現值為零，則它是一個最優專案，其收益與常規的最優風險中性專案一樣多，其價值等於其價格。如果其淨現值嚴格小於零，則它是一個次優專案，其收益低於常規的最優風險中性專案，或虧損，其價值小於其價格。這就是為什麼金融規則之一是，如果專案的淨現值為負，則拒絕該專案。
當一家公司經營良好時，預計它會充分利用其可用資源，並擁有為零的淨現值，不考慮意外之財，因為它正在為其初始成本創造最優的超額利潤。因此，零淨現值意味著一家公司與其初始成本相符，因為它正在得到最優管理。如果淨現值嚴格大於零，則它是一系列意外之財的總和。如果一家公司管理不善，其淨現值會降至零以下，就像管理錯誤的所有成本的總和。
專案的超額利潤是指與以無風險利率支付且初始成本相同的專案相比的超額利潤。
定理：風險中性專案的淨現值是專案啟動當天預期的超額利潤的價值。
證明：專案結束當天初始成本的價值等於初始成本加上該初始成本如果以無風險利率投資所產生的利潤。因此，超額利潤是最終收入與專案結束當天初始成本價值之間的差額。因此，專案啟動當天預期的超額利潤的價值是當天預期最終收入和初始成本的價值，因此是淨現值。
定理：專案的淨現值是所有收入的總和減去所有成本的總和，所有都在專案啟動當天折現。
證明：令 r 為年度貼現率。這意味著在日期 t1 的價值 x 在日期 t2 的價值為 x(1+r)^(t2-t1)。a^b 是 b 的指數。r = 5% 意味著 r = 5/100 = 0.05。如果 r = 5%，則 1+r = 1.05。日期以年為單位。令 0 為專案啟動日期，t1 為所有初始成本支付的第一個日期，t2 為專案結束日期。收入和成本分別為 R(t) 和 C(t)。初始成本 C 是從 0 到 t1（不包括 t1）的 (C(t)-R(t))(1+r)^(-t) 的總和。最終收入 R 是從 t1 到 t2 的 (R(t)-C(t))^(t2-t) 的總和。因此，從 0 到 t2 的 (R(t)-C(t))^(-t) 的總和等於 -C + R(1+r)^(-t2) = (R - C(1 +r)^t2)(1+r)^(-t2)。這是我們想要的結果，因為淨現值是預期超額利潤 R - C(1+r)^t2 的現值。
定理：一個獲得常規利潤的風險中性專案，當且僅當其淨現值為零時，才具有最優價值。
證明：如果一個風險中性專案具有嚴格大於零的超額利潤，那麼它必然是一個無法定期重複出現的意外之財。如果可以，則只需以無風險利率借款即可獲得無限利潤。但金融法則不允許無限利潤。因此，一個獲得常規利潤的風險中性專案必然具有小於或等於零的超額利潤。因此，一個獲得常規利潤的風險中性專案，當且僅當其超額利潤為零時，才是最優的，因此得證。
定理：風險中性專案的總和的淨現值是其淨現值的總和。
證明：令 C1 和 C2 為兩個風險中性專案在同一天評估的初始成本。R1 和 R2 是它們最終收入在同一天的價值。專案 1 的淨現值為 NPV1 = R1 - C1，專案 2 的淨現值為 NPV2 = R2 - C2，專案 1+2 的淨現值為 NPV(1+2) = R1+R2-(C1+C2) = NPV1 + NPV2。因此，兩個風險中性專案的總和的淨現值是兩個組成專案淨現值的總和。我們可以透過遞迴推理得出結論，n 個專案的總和的淨現值是 n 個組成專案的淨現值的總和。
專案的組合可以創造價值，因為一個專案的初始成本和最終收入可能取決於另一個專案的存在。為了計算專案總和的淨現值，必須在考慮這種組合效應後，計算初始成本和最終收入。以這種方式計算時，專案總和的淨現值始終是組成專案淨現值的總和。因此，兩個風險中性專案的總和的淨現值是兩個組成專案淨現值的總和。我們可以透過遞迴推理得出結論，n 個專案的總和的淨現值是 n 個組成專案的淨現值的總和。
槓桿
[edit | edit source]如果一個專案的利潤率高於借款利率，我們就可以從槓桿中獲益。槓桿透過借入專案所需的全部或部分資金，將利潤率提高到無窮大。如果我們可以借入所有資金，則無需預付任何資金，利潤率為無窮大。如果我們只借入部分資金，我們將提高利潤率，因為我們從專案的利潤率與借款利率之間的差額中獲益。
舉個例子：如果我們在一家年利潤率為 20% 的公司投資 100 元，一年後我們將獲得 20 元的利潤。如果我們以 2% 的利率借入 50 元，一年後我們必須償還 51 元，利潤只有 19 元，但我們只預付了 50 元。因此，利潤率為 19/50 = 38%。透過借款，槓桿作用將利潤率從 20% 提高到 38%。
借款人始終可以透過借入部分預付資金來降低專案的初始成本。這種初始成本的降低伴隨著最終收入的降低，因為必須支付借款利息。專案的價值是其最終收入的價值，因此透過槓桿作用而降低。但如果以無風險利率借款，專案價值的降低將完全被初始成本的降低所抵消。
定理：如果一個專案以無風險利率借款融資，則其超額利潤不會改變。
證明：令 C 為專案的初始成本，E 為以無風險利率 r 借入的金額，R 為最終收入。r 是年利率。為簡單起見，我們假設 R 在一年後獲得。如果專案沒有透過借款融資，則利潤為 R - C，超額利潤為 R - C - rC = R - C(1+r)。如果專案透過借款融資，則利潤為 R - (C-E) - E(1+r) = R - C - rE。rE 是為了償還貸款而放棄的利潤部分。超額利潤是指利潤減去初始成本的利息：R - C -rE - r(C-E) = R - C - rC。因此，超額利潤不會因融資方式而改變。
生產專案的初始成本可以改變，而不會改變其超額利潤。因此，初始成本不是衡量產生超額利潤能力的相關量。即使生產專案的初始成本為零，即使是零，相同的生產專案也會創造相同的超額利潤。如果初始成本為零，則利潤等於超額利潤。
定理：風險中性專案的淨現值不會因其融資方式而改變。
證明：這是前面定理的直接推論，因為風險中性專案的淨現值是其超額利潤的現值。我們將在後面證明，前面的定理可以推廣到風險專案。
定理：如果我們可以以無風險利率借款，我們始終可以透過槓桿作用將專案的超額利潤率乘以倍數。
證明：令 r 為無風險利率，p 為專案的利潤率。s=p-r 為超額利潤率。如果我們透過借入預付資金的比例 L 來為專案融資，則超額利潤不會改變，但初始成本會乘以 1-L，因此超額利潤率為 s/(1-L)。
因此，槓桿作用可以使我們獲得儘可能高的利潤率。如果我們借入專案的全部初始成本，則無需預付任何資金，利潤率為無窮大。
槓桿作用，當我們可以從中獲益時，看起來像一個巨大的意外之財，因為它允許我們根據需要提高利潤率。如果專案沒有風險，那麼沒有理由拒絕這種意外之財。但專案通常是有風險的。如果實現的利潤率低於借款利率，則必須承擔損失，這種損失越大，借款越多。槓桿作用會增加專案的風險，並可能導致破產。這就是為什麼公司通常被要求擁有足夠的資本，而不是僅由貸款融資。這些資金就像一種緩衝，允許公司承擔可能的損失 (Admati & Hellwig 2013)。如果一家公司過度使用槓桿作用，其資本與借款相比過低，則其面臨破產的風險，並使貸方面臨違約的風險。因此，槓桿作用是一種提高預期利潤率但同時增加風險，並將部分風險轉嫁給貸方的方法。
為了社會正義，即使是最不幸的人也可以承擔某些專案，因此最好是，某些專案僅透過借款融資，而無需初始資本，以便他們從無限槓桿中獲益。但在這種情況下，貸方必須知道他們承擔了專案風險。
銀行是槓桿作用的主要受益者，因為當銀行賬戶未償還時，他們可以以非常低的利率甚至零利率借款。
最佳無風險利率是在市場條件下，無風險借款人所能借到的最低利率。 它也是在市場條件下，無風險借款人所能借出的最高利率。
市場條件是指正常條件，不包括意外之財，原則上可以無限次重複。以低於最佳無風險利率的利率借款是一種意外之財，因為可以將借來的錢以更高的利率貸出，從而從無限槓桿中獲益。同樣，如果借款人是無風險的，而自己也是無風險的借款人，那麼以高於最佳無風險利率的利率貸出也是一種意外之財，因為可以以更低的利率借出貸出的錢，也從無限槓桿中獲益。
意外之財不能無限次重複，否則就會獲得無限的利潤。無限的利潤率並非不可能。對於無風險專案來說，這是一種意外之財。但無限的利潤，或者想賺多少就賺多少的利潤，是不可能的。
由於銀行賬戶沒有利息，人們可能會認為銀行永久地從無限的利潤率中獲益，因為他們可以以零利率借款。但他們實際上並沒有以零利率借款。銀行向客戶提供免費或幾乎免費的紙幣、支票和其他服務。對於銀行來說，這些是向客戶借錢的成本，就像他們必須支付利息一樣。
最佳無風險利率是所有專案的成本和收入的折現率， 因為它對於無風險借款人來說是一個跨期交易率，他們可以將錢投資於有風險或無風險的專案。