理論力學/向量代數

標量和向量

標量

標量是簡單的值。它們描述了一些東西，比如高度、長度、質量、椅子數量，用一個實數。例如，10把椅子，5公斤，2米：10、5和2是標量。

向量

向量具有大小和方向。例如，球的速度既有速度，也有它運動的方向。

基向量

所有笛卡爾座標系都有與維度相同的基向量數量；對於理論力學中的大多數應用，向量空間是E₃，其基向量是e_x、e_y、e_z。

您可能還會看到${\hat {\imath }}$用於e_x，${\hat {j}}$用於e_y，以及${\hat {k}}$用於e_z。

然後，每個向量都是這些基向量的線性組合。通常，向量被寫成元組，因此向量ae_x + be_y + ce_z等價於元組(a, b, c)。

任何向量的單位向量可以透過將其所有分量除以長度來找到：V = 3e_x + 4e_y
長度：|V| = sqrt (3² + 4²) = sqrt (9 + 16) = sqrt 25 = 5
單位向量e_v = (3/5)e_x + (4/5)e_y

3/5 等於該向量與 X 軸夾角的餘弦，4/5 是該向量與 Y 軸夾角的餘弦
argcos(3/5) = 約 53°
argcos(4/5) = 約 37°
注意兩個角度加起來是 90°。這意味著該向量位於 XY 平面內。如果加起來超過這個數，則位於 3D 體積內，而不是平面內。

相等性

當且僅當兩個向量的方向和大小都相同時，這兩個向量才相等。
4e_x ≠ 5e_x
4e_x ≠ 4e_y
4e_x + 8e_y - 1e_z ≠ 4e_x + 8e_y + 3e_z
4e_x = 4e_x
10e_y = 10e_y
4e_x + 8e_y - 1e_z = 4e_x + 8e_y - 1e_z

向量乘以標量

將向量的幅度乘以標量。
4e_x + 3e_y * 2 = 8e_x + 6e_y
3e_a * 5 = 15e_a

兩個向量之間的夾角

這是兩個向量之間的最小角。

新增兩個向量

兩個向量按分量相加，如下所示

(a₁e_x + a₂e_y + a₃e_z) + (b₁e_x + b₂e_y + b₃e_z) = (a₁ + b₁)e_x + (a₂ + b₂)e_y + (a₃ + b₃)e_z

所以，例如

(2e_x + 1e_y + 3e_z) + (e_x + 1e_y + e_z) = (3e_x + 2e_y + 4e_z)

減去兩個向量

從向量B中減去向量A與將A和-1 * B加在一起沒有什麼不同。

點積

a*b*cos θ
其中：a、b 是向量的幅度；θ 是向量之間的角度。

A.B = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z

其中 A、B 是兩個向量；a_x 是向量 A 的 X 分量，...

點積的性質：是一個標量。當等於零時：向量之間的夾角為 90°。或其中一個向量為零。最大值：向量之間的夾角為 0°

叉積

U = A x B
U = a * b * sin θ
U = (A_y * b_z - a_z * b_y) e_x
+ (A_z * b_x - a_x * b_z) e_y
+ (A_x * b_y - a_y * b_x) e_z

叉積的性質：是一個垂直於 A 和 B 的向量