三維電子顯微鏡/傅立葉變換
作者：David J DeRosier
名譽教授,
生物系& Rosenstiel 基礎醫學科學研究中心,
布蘭迪斯大學
大多數分子電子顯微鏡的學生都避開學習傅立葉變換。然而，在旨在培養學生分子電子顯微鏡技能的學校，聚集的班級必須參加一兩節關於傅立葉變換的講座。一個關於這個主題的數學講座通常對教職工來說比對學生更有吸引力，學生們利用這個機會做白日夢或乾脆睡覺，因為他們前一天晚上在酒吧裡待了一半的時間。我想，為什麼這樣一個數學運算會對那些只是想知道一些細胞機器的分子結構的人感興趣並不明顯。
我的目標是告訴你為什麼要對你的電子顯微照片進行傅立葉變換，你可以從傅立葉變換中學到什麼，如何在不進行數學計算的情況下思考傅立葉變換，以及如何在需要時生成傅立葉變換。由於顯微鏡和影像分析是視覺化的，我將許多課程以圖片的形式呈現。我無意證明各種變換的特性，而是展示結果。關於這個理論有很多書籍。
傅立葉變換是一種用於分析複雜資料的工具。本質上，它是一個數學函式，可以將基於空間或時間的 data 轉換為幅度和頻率。這使得資料能夠一目瞭然地進行分析，更重要的是，它使調整訊號的特徵變得非常容易。傅立葉變換的應用包括處理和分析聲音、影片、影像以及其他大型、複雜的資料來源。從模擬技術到數字技術的過渡，推動了這種技術的應用增加。由於最初的變換演算法非常長且計算機資源密集，一種名為快速傅立葉變換 (FFT) 的計算機友好版本由 J.W. Cooley 和 J.W. Tukey 在 1965 年獨立發明。
在透射電子顯微鏡影像分析中，傅立葉變換被大量用來去除收集影像中的低解析度資料。去除低解析度資料，即快速傅立葉變換產生的影像的中心，是一種在不丟失太多識別資訊的情況下提高影像對比度的方法。通常需要去除一些高解析度資料，這些資料位於快速傅立葉變換的外部，因為隧道電子顯微鏡的收集方法經常會扭曲資料。執行此步驟的必要性因記錄影像的質量而異。例如，使用直接檢測器而不是膠片將大大提高影像質量，並允許保留更多轉換後的資料，從而導致更高解析度的 3D 重建。
從電子顯微鏡影像中獲取資料並進行轉換也有利於 3D 重建。即使在影像經過處理後，傅立葉變換也是完全且容易逆轉的，因此，3D 重建通常使用 2D 影像的傅立葉變換生成。
傅立葉變換涉及許多不同型別的數學，但傅立葉變換數學中最常見的元素是複數。複數通常以某種形式出現，但常見的形式是 . 現在 i 代表虛數。你可能會問自己，為什麼完全要涉及這些數字或複數數學？其實很簡單，複數使事物很好地結合在一起。而不是為你列出數百個方程並堆砌成千上萬個不同的數學證明讓你去理解，複數縮短了它們，使它們看起來更優雅。複數只是傅立葉方程和變換中出現的一個元素。
圖 1：傅立葉級數公式，普渡大學。
上面列出的圖 1 對傅立葉級數公式的外觀進行了恰當的描述。它用正弦和餘弦表示，這在頻率中很常見。傅立葉級數和變換允許將任何型別的資料轉換為頻率和幅度，並且它也允許我們從資料中刪除某些頻率。這使我們能夠清理大多數資料或影像，在我們的案例中就是影像。這對電子顯微鏡非常有用，因為從 EM 拍攝的許多影像都充滿了像差或影像的未聚焦。傅立葉變換使我們能夠將看到的影像轉換為頻率或幅度，並允許我們修改或“刪除”頻率的某些部分，以便清理影像並糾正資料中看到的或發現的任何像差。然後，透過執行傅立葉變換的逆變換，將頻率轉換回影像，並進行必要的修正。
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