數學永恆定理/婆羅摩笈多定理

婆羅摩笈多定理指出，如果一個圓內接四邊形的對角線互相垂直（即，對角線垂直），那麼從對角線交點到一條邊的垂線總是平分對邊。

這個定理以印度數學家婆羅摩笈多 (598-668) 的名字命名。

證明

陳述

如果任何圓內接四邊形的對角線互相垂直，那麼從對角線交點到一條邊的垂線總是平分對邊。

證明

如果$BM\perp AC$ 且 $EF\perp BC,$ 那麼根據婆羅摩笈多定理，$AF=FD,$

命題： 設 $ABCD$ 是一個圓內接四邊形，其對角線 $AC$ 和 $BD$ 相互垂直，並在點 $M$ 相交。從點 $M$ 向邊 $BC$ 作垂線 $ME$，並延長 $EM$ 與對邊 $AD$ 相交於點 $F$。需要證明 $AF=DF$。

證明： $\angle CBD=\angle CAD$ [因為兩者都是擷取同一弧 $CD$ 的圓周角]

或者，$\angle CBM=\angle MAF$

這裡，$\angle CMB+\angle CBM+\angle BCM=180$°

或者，$\angle CMB+\angle BCM=180$° $-\angle CBM$

同樣，$\angle CME+\angle CEM+\angle ECM=180$°

或者，$\angle CME+\angle CMB+\angle BCM=180$° [因為 $\angle CMB=\angle CEM=90$° 以及 $\angle BCM=\angle ECM$]

或者，$\angle CME+180$° $-\angle CBM=180$°

或者，$\angle CME=\angle CBM$

或者，$\angle AMF=\angle MAF$ [因為，\angle AMF = \angle CME; 對頂角]

因此，$AF=MF$

同樣地，$\angle MDF=\angle DMF$ 以及 $MF=DF$

或者，$AF=DF$ [證畢]